湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系学案

这是一份湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系学案，共4页。

01 基础题


知识点1 利用根与系数的关系求一元二次方程两根的和与积


1．(昆明中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(C)


A．－4 B．－1


C．1 D．4


2．(钦州中考)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(A)


A．－10 B．10


C．－16 D．16


3．(凉山中考)已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D)


A．－eq \f(4,3) B.eq \f(8,3)


C．－eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)


4．已知一元二次方程x2－3x－3＝0的两根为α与β，则eq \f(1,α)＋eq \f(1,β)的值为(A)


A．－1 B．1


C．－2 D．2


5．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．


(1)2x2－4x－3＝0；


(2)x2－4x＋3＝7.


解：(1)x1＋x2＝－eq \f(－4,2)＝2，x1x2＝eq \f(－3,2)＝－eq \f(3,2).


(2)原方程整理为x2－4x－4＝0，


∴x1＋x2＝4，x1x2＝－4.





知识点2 一元二次方程根与系数的关系的运用


6．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(A)


A．－2 B．2


C．4 D．－3


7．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝－1，那么p，q的值分别是(B)


A．1，－2 B．－1，－2


C．－1，2 D．1，2


8．若关于x的一元二次方程x2－4(m＋1)x＋4m－1＝0的两根互为相反数，则m的值是(D)


A．m＝－eq \f(1,4) B．m＞eq \f(1,4)


C．m＞－eq \f(1,4)且m≠0 D．m＝－1


9．已知x1，x2是方程x2－2x＋a＝0的两个实数根，且x1＋2x2＝－1，求x1，x2和a的值．


解：根据题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝－a，


又∵x1＋2x2＝－1，


∴x1＝5，x2＝－3.


∴a＝5×(－3)＝－15.








02 中档题


10．已知一元二次方程x2－x＋2＝0，则下列说法正确的是(D)


A．两根之和为1


B．两根之积为2


C．两根的平方和为－3


D．没有实数根


11．若m、n是方程x2－2 015x＋2 016＝0的两根，则(m2－2 016m＋2 016)(n2－2 016n＋2 016)的值是(D)


A．2 013


B．2 014


C．2 015


D．2 016


12．(莱芜中考)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝－1．


13．在解某个关于x的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2，则这个方程为x2－10x＋9＝0．


14．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：


(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)；(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)；(3)(x1＋1)(x2＋1)．


解：∵x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，


∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3.


(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3＝30.


(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,1),x1x2)＝eq \f(30,3)＝10.


(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1


＝3＋(－6)＋1＝－2.








15．(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．


(1)求m的取值范围；


(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．


解：(1)根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，


解得m≤4.


(2)根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，


∵2x1x2＋x1＋x2≥20，


∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3.


又∵m≤4，


∴m的取值范围为3≤m≤4.











03 综合题


16．(鄂州中考)关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0.


(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；


(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．


解：(1)证明：①当k－1＝0，即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，解得x＝－1，故方程有一个根；


②当k－1≠0，即k≠1时，方程为一元二次方程．


Δ＝(2k)2－4×2(k－1)＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根．


综上所述：无论k为何值，方程总有实数根．


(2)根据一元二次方程的两个根分别为x1，x2，由一元二次方程的根与系数的关系，得


x1＋x2＝eq \f(－2k,k－1)，x1x2＝eq \f(2,k－1)，


则S＝eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＋x1＋x2


＝eq \f(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2),x1x2)＋x1＋x2


＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＋x1＋x2


＝eq \f(（\f(－2k,k－1)）2－\f(4,k－1),\f(2,k－1))＋eq \f(－2k,k－1)


＝eq \f(2k2,k－1)－2＋eq \f(－2k,k－1)


＝2k－2.


当S＝2时，2k－2＝2，解得k＝2.


∴S的值能为2，此时k的值为2.