初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.4 一元二次方程根与系数的关系优秀教学课件ppt

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2.4一元二次方程根与系数的关系
湘教版数学九年级上册
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理解一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
学习目标
复习交流
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) 当b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.当b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.当b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
新课导入
 
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探索一元二次方程的根与系数的关系
知识讲解
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
x2+px+q=0
x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
解析：根据求根公式,得
 
 
由此得到一元二次方程两个实数根之间的关系.
证明：
归纳
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
满足上述关系的前提条件
注意
b2-4ac≥0.
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比.
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1 ， x2的和与积.
例1
（3）7x2 －5＝ x + 8.
（1）2x2 －3x + 1= 0;
（2）x2 －3 x + 2 = 10;
解：
 
 
 
 
下列方程的两根和与两根积各是多少？ ⑴ x2－3x+1=0 ； ⑵ 3x2－2x=2； ⑶ 2x2+3x=0； ⑷ 3x2=1 .
练一练
例2
已知关于x的方程x2 +3x +q = 0的一个根为－3，求它的另一个根及q的值.
解：设x2 +3x +q = 0的另一个根为 x2，则
（－3）+x2＝－3.
解得x2＝0.
 
 
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
 
练一练
★ 一元二次方程的根与系数的关系的应用
解：根据根与系数的关系可知：
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
例3
若关于x的方程x2＋(a-1) x＋a2＝0的两个根互为倒数，求a的值．
例4
解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a2＝1．解得a＝±1．当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1．所以a＝-1．
总结
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
常见的变形:
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( 　 )A．－10 B．10 C．－16 D．16
3．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( 　 )A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
　A
D
D
2．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( 　 )A．2 B．－2 C．4 D．－3
随堂训练
4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = .
5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = , q= .
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6.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4. （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：（1）根据根与系数的关系可得， 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得k=-7.
（2）因为k=-7,所以
7．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足 ＝16＋x1x2，求实数k的值．
 
根与系数的关系（韦达定理）
内 容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
常见变形
课堂小结