初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用第3课时学案

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用第3课时学案，共6页。

01 基础题


知识点1 面积问题


1．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)


A．(x＋1)(x＋2)＝18


B．x2－3x＋16＝0


C．(x－1)(x－2)＝18


D．x2＋3x＋16＝0





2．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为(A)


A．1米 B．1.5米


C．2米 D．2.5米





3．如图，在长70 m，宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的eq \f(1,8)，则路宽x应满足的方程是(B)


A．(40－x)(70－x)＝350


B．(40－2x)(70－3x)＝2 450


C．(40－2x)(70－3x)＝350


D．(40－x)(70－x)＝2 450





4．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：x(x＋1)＝3．








5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为20米，宽为16米．


6．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？





解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得


(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.


则100－4x＝20或100－4x＝80.


∵80＞25，∴x2＝5舍去，


∴AB＝20，BC＝20.


答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．





知识点2 动点问题


7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．若点Q运动t s时，△PBQ的面积为15 cm2，则t的值为(B)





A．2


B．3


C．4


D．5


8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?





解：设x s后△DPQ的面积等于28 cm2，根据题意，得


6×12－eq \f(1,2)×12x－eq \f(1,2)×2x(6－x)－eq \f(1,2)×6×(12－2x)＝28，


即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.


答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.





02 中档题


9．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2米．





10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.





(1)求AE的长(用x的代数式表示)；


(2)当y＝108时，求x的值．


解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，


∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．


∴AE＝2BE.


设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，


∴8a＋2x＝80.


∴a＝－eq \f(1,4)x＋10.


∴AE＝2a＝－eq \f(1,2)x＋20.


(2)∵S矩形ABCD＝AB·BC，


∴3(－eq \f(1,4)x＋10)·x＝108.


整理，得x2－40x＋144＝0.


解得x＝36或4.


故当y＝108时，x的值为36或4.





11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．





(1)当通道宽a为10米时，花圃的面积为800平方米；


(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽．


解：根据题意，得


(40－2a)(60－2a)＝eq \f(5,8)×60×40，


解得a1＝5，a2＝45(舍去)．


答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．





12．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?





解：设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，


则PB＝6－t，QB＝2t，


过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.


∵∠ABC＝30°，


∴QE＝eq \f(1,2)QB＝t.


根据题意，得eq \f(1,2)·(6－t)·t＝4.


即t2－6t＋8＝0.


解得t1＝2，t2＝4.


当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意，舍去，∴t＝2.


答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.


03 综合题


13．某小区有一长100 m，宽80 m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m，不大于60 m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：eq \r(3)≈1.732)





解：由题意可得4x(x－10)×50＋[80×100－4x(x－10)]×60＝469 000，


整理，得x2－10x－275＝0.


∴x＝5±10eq \r(3)(负值舍去)．


∴x＝5＋10eq \r(3)≈22.32.


∵50≤100－2x≤60，∴20≤x≤25.


∴投资46.9万元能完成工程任务．


又∵小区投资46.9万元，x取整数，


∴x≥23且x为整数．


∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m，宽为13 m；方案二：一块矩形绿地的长为24 m，宽为14 m；


方案三：一块矩形绿地的长为25 m，宽为15 m.