2020届高考数学二轮教师用书：第二章第1节　函数的概念及其表示

第1节　函数的概念及其表示

1．函数与映射的概念

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的　定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合　{f(x)|x∈A}　叫做函数的　值域　.

(2)如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和　列表法　.

4．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因　对应关系　不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

1．函数是特殊的映射，是A，B为非空数集的映射，其特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性．

2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．

3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)

(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(5)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　 )

(6)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　　 )

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×

[小题查验]

1．函数y＝ln (1－x)的定义域为(　　 )

A．(0,1)　　　　　　　　 B．[0,1)

C．(0,1]  D．[0,1]

解析：B　[由解得0≤x<1，所以函数y＝ln (1－x)的定义域为[0,1)．故选B.]

2．已知函数f(x)＝则f的值是(　　 )

A．9  B.

C．－9  D．－

解析：B　[f＝log2＝log22－2＝－2，

f＝f(－2)＝3－2＝.]

3．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　 )

解析：C　[由选项知A值域不是[0,1]，B定义域不是[0,1]，D不是函数，只有C符合题意. 故选C.]

4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是　________　；值域是　________　；其中只与x的一个值对应的y值的范围是　________　.

答案：[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]

5．(教材改编)函数f(x)＝的定义域是　________　.

答案：[4,5)∪(5，＋∞)

6．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝　________　.

解析：由f(1)＝f(2)＝0，得所以所以f(x)＝x2－3x＋2，所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.

答案：6

考点一　函数的概念(自主练透)

数学抽象——与函数概念有关的新定义问题中的核心素养

以学习过的函数概念及相关知识为依托，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，分析新问题，运用所学函数概念的相关知识，解决新问题．

[题组集训]

1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：B　[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.]

2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)

A．f(x)＝|x|，g(x)＝

B．f(x)＝，g(x)＝()2

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝·，g(x)＝

解析：A　[A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．

B中，f(x)＝|x|，g(x)＝x (x≥0)，

∴两函数的定义域不同．

C中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1，

∴两函数的定义域不同．

D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}，

g(x)＝ (x2－1≥0)，

g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．

∴两函数的定义域不同．故选A.]

3．设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；

④f(x)＝2x－2－x; ⑤f(x)＝2sin x－1.

其中是“美丽函数”的序号有　______________　.

解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．

①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；

②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；

③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；

④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；

⑤中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．

故本题正确答案为②③④.

答案：②③④

函数的三要素

定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．

考点二　求函数的解析式(师生共研)

[典例]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝______________________________.

(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为　________　.

(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为________________________________________________________________________．

[解析]　(1)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.

故f(x)＝x2－1，x≥1.

法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，

∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，即f(x)＝x2－1，x≥1.

(2)法一(利用一般式)：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

∴所求二次函数的解析式为

f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二(利用顶点式)：

设f(x)＝a(x－m)2＋n.

∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线的对称轴为x＝＝.

∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.

∴y＝f(x)＝a2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，

解得a＝－4，

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三(利用零点式)：

由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍)．

∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

(3)当x∈(－1,1)时，

有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①

以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg (－x＋1)．②

由①②消去f(－x)得，

f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．

[答案]　(1)x2－1(x≥1)

(2)f(x)＝－4x2＋4x＋7

(3)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)

函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

[跟踪训练]

(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝　________　.

(2)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为　______　.

(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝　________　.

解析：(1)因为f(x)是一次函数，

可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，

因此应有，解得

故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.

(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，

又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)．

(3)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，

则得f＝2f(x)·－1.

由解得f(x)＝＋.

答案：(1) 2x＋7

(2) f(x)＝lg(x＞1)

(3)＋

考点三　函数的定义域(多维探究)

[命题角度1]　求给定函数解析式的定义域　

1．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为　________________　.

解析：由得解得0＜x≤2，

故所求函数的定义域为(0,2]．

答案：(0,2]

2．函数y＝＋(x－1)0的定义域是　________　.

解析：由得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．

答案：{x|－3<x<2且x≠1}

[命题角度2]　求抽象函数的定义域　

3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　 )

A．(－1,1)　　　　　　　 B.

C．(－1,0)  D.

解析：B　[由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即所求函数的定义域为.]

[互动探究]

已知函数f(2x＋1)的定义域是(－1,0)，则f(x)的定义域为　________　.

解析：由已知x∈(－1,0)，所以2x＋1∈(－1,1)，故f(x)的定义域为(－1,1)．

答案：(－1,1)

[命题角度3]　已知定义域确定参数问题　

4．(2019·合肥市模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为　______　.

解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

答案：[－1,0]

求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

提醒：(1)如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域．

(2)所求定义域须用集合或区间表示．

考点四　分段函数及应用(多维探究)

[命题角度1]　求函数值、值域(最值)　

1．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　 )

A．3　　　　　　　　 B．6

C．9  D．12

解析：C　[根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，

∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.]

2．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为　________　.

解析：由题意知，f(x)＝

当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]．故当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．

答案：[－4,6]

[命题角度2]　解方程或解不等式问题　

3．(2019·凉山州模拟)已知函数f(x)＝，则方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是　__________　.

解析：∵函数f(x)＝，

方程f(1＋x2)＝f(2x)，

∴当x＜0时，2＝e2x＋1，解得x＝0，不成立；

当x≥0时，f(1＋x2)＝f(2x)＝2，成立．

∴方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是{x|x≥0}．

答案：{x|x≥0}．

4．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　________　.

解析：当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，所以x<1.

当x≥1时，x≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.

综上可知x的取值范围是(－∞，8]．

答案：(－∞，8]

分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．

1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　 )

解析：B　[可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]

2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　 )

A．y＝x　　　　　　　　 B．y＝lg x

C．y＝2x  D．y＝

解析：D　[函数y＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足要求；函数y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y＝的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]

3．已知f＝＋，则f(x)＝(　　)

A．(x＋1)2(x≠1)  B．(x－1)2(x≠1)

C．x2－x＋1(x≠1)  D．x2＋x＋1(x≠1)

解析：C　[f＝＋＝－＋1，令＝t，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故选C.]

4．已知函数f(x)＝，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　 )

A．－  B．－

C．－  D．－

解析：A　[当a≤1时，2a－1－2＝－3，无解；

当a>1时，－log2(a＋1)＝－3，得a＝7，

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.]

5．(2020·嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为(　　)

A．2a  B．a

C．2  D．a或2

解析：B　[因为函数f(x)＝

所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.]

6．图中的图象所表示的函数的解析式f(x)＝　________　.

解析：由图象知每段为线段．

设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，和，(2,0)分别代入求解，得

答案：f(x)＝

7．若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是　________　.

解析：∵1≤f(x)≤3，∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，

∴－5≤1－2f(x＋3)≤－1，即F(x)的值域为[－5，－1]．

答案： [－5，－1]

8．(2020·东莞市模拟)已知函数f(x)＝ax－b(a＞0)，f(f(x))＝4x－3，则f(2)＝　__________　.

解析：∵f(x)＝ax－b，

∴f(f(x))＝f(ax－b)＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b＝4x－3.

∴，且a＞0，∴a＝2，b＝1.

∴f(x)＝2x－1，∴f(2)＝2×2－1＝3.

答案：3

9．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)＞2x＋5.

解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

∵f(0)＝1，∴c＝1.

把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有

a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.

∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.

∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由x2－x＋1＞2x＋5，即x2－3x－4＞0，

解得x＞4或x＜－1.

故原不等式解集为{x|x＞4，或x＜－1}．

10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝

(1)求f(g(2))与g(f(2))；

(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．

解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，

g(f(2))＝g(3)＝2.

(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；

当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.

所以f(g(x))＝

同理可得g(f(x))＝