2020届高考数学二轮教师用书：层级一第三练不等式、合情推理

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1．利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点．

2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．

3．利用不等式解决实际问题．

4．以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．

[真题体验]

1．(2019·全国Ⅱ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．

解析：画出线性区域如图，

由z＝3x－y，知y＝3x－z，平移直线y＝3x，过点(3,0)时，z最大，即zmax＝3×3－0＝9.

答案：9

2．(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为____________．

解析：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.＝＝≥＝4，

等号当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立．

答案：4

3．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

解析：总费用4x＋×6＝4≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．

答案：30

4．(全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

解析：D　[四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良(若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然)，→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．]

[主干整合]

1．不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法．

一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a≠0，Δ＝b2－4ac＞0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．

(2)简单分式不等式的解法．

①＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)．

②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．

2．几个不等式

(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．

(2)ab≤2(a，b∈R)．

(3) ≥≥ ≥(a＞0，b＞0)．

(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．

3．简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．

热点一　不等式的性质及解法

[题组突破]

1．(2019·全国Ⅱ卷)若a＞b，则(　　)

A．ln(a－b)＞0　　　　　　 B．3a＜3b

C．a3－b3＞0  D．|a|＞|b|

解析：C　[若a＞b，则a3＞b3，即a3－b3＞0.]

2．(2019·烟台三模)设p：x2－x－20＞0，q：＜0，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：A　[当p成立时，x2－x－20＞0，解之得x＞5或x＜－4，在此条件下＜0成立，显然充分性成立．当q成立时，＜0，解之得x＜－2或－1＜x＜1或x＞2，显然必要性不成立，因此p是q的充分不必要条件．]

3．(2020·西安模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x－1)≤0的解集为(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|0≤x≤3}

C．{x|1≤x≤2}  D．{x|1≤x≤3}

解析：D　[由题意，得f(x－1)＝当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}．]

解不等式的常见策略

(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．

(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．

热点二　简单的线性规划

[题组突破]

1．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题

①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧q

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③　　　　　　　　 　 B．①②

C．②③  D．③④

解析：A　[本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．如图，平面区域D为阴影部分，由得即A(2,4)，直线2x＋y＝9与直线2x＋y＝12均过区域D，则p真q假，有p假q真，所以①③真②④假．故选A.]

2．(2020·湖北黄冈模拟)已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.

解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小．联立方程，得得A(2，－2－k)，此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.

答案：－2

3．若实数x，y满足约束条件则的最小值为________．

解析：

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.

答案：－

4．(2020·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时，漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．

解析：

设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件

z＝1 500x＋2 000y.

画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．

答案：2 100 000

简单的线性规划问题的解题策略

在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路步骤为：

(1)根据约束条件作出可行域．

(2)根据所要求的目标函数的最值，令目标函数z＝0，将所得直线平移，得到可行解，并确定最优解．

(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解．

热点三　基本不等式的应用

[例1]　(1)(2020·长春调研)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．

(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋的最大值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B.

C.  D．2

[解析]　(1)∵a，b∈R，ab＞0，

∴≥＝4ab＋≥2 ＝4.

当且仅当即时取得等号．

故的最小值为4.

(2)由题意知，2ab＝8，所以b＝.因为2≤a≤10，

所以＋＝＋

＝1＋≤1＋＝，

当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.

[答案]　(1)4　(2)C

利用不等式求最值的解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．

(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．

(1)(2020·山师附中模拟)已知a＞1，b＞1，且ab＋2＝2(a＋b)，则ab的最小值为____________．

解析：因为ab＋2＝2(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时取等号，所以(－2)2≥2.

因为a＞1，b＞1，所以≥2＋，ab≥6＋4.

即ab的最小值为6＋4.

答案：6＋4

(2)(2019·昆明二模)已知正实数a，b满足a＋3b＝7，则＋的最小值为____________．

解析：＋＝[(a＋1)＋3(2＋b)]＝≥，当且仅当＝时取等号．

答案：

(3)(双空填空题)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．

解析：本题考查基本不等式的应用．∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.

答案：2　

热点四　合情推理

[例2]　(1)(2020·济南模拟)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角．以下数表的构造思路就来源于杨辉三角．

从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为(　　)

A．2 018×21 008　　　　　　 B．2 018×21 009

C．2 020×21 008  D．2 020×21 009

[解析]　C　[通解　当第一行有2个数时，最后一行为4＝2×21，

当第一行有3个数时，最后一行为12＝3×22，

当第一行有4个数时，最后一行为32＝4×23，

当第一行有5个数时，最后一行为80＝5×24，

依次类推，当第一行有1 010个数时，最后一行为a＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故选C.

优解　该三角形数表，从第一行开始，每行中间的数或中间两数的均值依次为1 010,2 020,4 040,8 080，…，易知上述数列是一个首项为1 010，公比为2的等比数列．该三角形数表共有1 010行，所以最后一行的数a＝1 010×21 010－1＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故选C.]

(2)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一个一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，

甲说：“是C或D作品获得一等奖”；

乙说：“B作品获得一等奖”；

丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；

丁说：“是C作品获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．

[解析]　若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是B.

[答案]　B

合情推理的解题思路

(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．

(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．

(3)归纳推理的关键是找规律，类比推理的关键是看共性．

(1)(2019·临沂三模)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：C　[设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝.]

(2)(2020·江苏两市联考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　　　　　　　 N(n,3)＝n2＋n，

正方形数   N(n,4)＝n2，

五边形数   N(n,5)＝n2－n，

六边形数   N(n,6)＝2n2－n，

……   ……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(8,12)＝________.

解析：原已知式子可以化为N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，N(n,4)＝n2＝n2＋n，N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，由归纳推理可得N(n，k)＝n2＋n，

故N(8,12)＝×82＋×8＝288.

答案：288

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2019·潍坊三模)设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋＞2.上述三个式子恒成立的有(　　)

A．0　　　　　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

解析：B　[①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋＞2或＋＜－2，故选B.]

2．(2019·龙岩质检)若函数f(x)＝则“0＜x＜1”是“f(x)＜0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：A　[当0＜x＜1时，f(x)＝log2x＜0，

所以“0＜x＜1”⇒“f(x)＜0”；

若f(x)＜0，则或

解得0＜x＜1或－1＜x≤0，所以－1＜x＜1，

所以“f(x)＜0”⇒/ “0＜x＜1”．故选A.]

3．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)

A．－7  B．1

C．5  D．7

解析：

C　[本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解．题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查．

由题意，作出可行域如图阴影部分所示.

设z＝3x＋y，y＝z－3x，

当直线l0∶y＝z－3x经过点(2，－1)时，z取最大值5.故选C.]

4．(2020·广州模拟)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．(1，＋∞)  D．(－∞，－1)

解析：A　[令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2，

①顶点横坐标x＝－≤0，要使关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则应满足f(5)＞0，解得a＞－；

②－＞0时，要使关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，也应满足f(5)＞0，解得a＞－.

综上可知：实数a的取值范围是，故选A.]

5．已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如下的形状：

a1

a2　a3　a4

a5　a6　a7　a8　a9

……

记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,2)＝(　　)

A.67   B.68

C.101  D.102

解析：D　[由A(m，n)表示第m行的第n个数可知，A(11,2)表示第11行的第2个数，根据图形可知：每一行的最后一项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一项的项数为102＝100，即为a100，所以第11行的第2项的项数为100＋2＝102，所以A(11,2)＝a102＝102，故选D.]

6．(2019·泉州三模)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为(　　)

A．2  B．2

C．4  D．8

解析：C　[因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，

所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.

所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(当且仅当即时，等号成立)，

所以2m＋4n的最小值为4，故选C.]

7．(2019·浙江卷)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：A　[易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a，b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果．

当a＞0，b＞0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时，有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a＝1，b＝4时，满足ab≤4，但此时a＋b＝5＞4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．]

8．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．已知a，b都是正数，且>，则a<b

B．已知f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，f′(x)≥0，则f(1)<f(2)一定成立

C．命题：“∃x∈R，使得x2－2x＋1<0”的否定是真命题

D．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件

解析：AC　[本题考查函数的性质，不等式的性质，比较大小以及充分必要条件．A.已知a，b都是正数，由>，得ab＋b>ab＋a，则a<b，正确；B.若f(x)是常数，则f(1)<f(2)不成立；C.命题：“∃x∈R，使得x2－2x＋1<0”是假命题，则它的否定是真命题；D.“x≤1且y≤1”⇒“x＋y≤2”，反之不成立，则“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充分不必要条件．]

9．(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)

A．甲、乙、丙  B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲  D．甲、丙、乙

解析：A　[若甲预测正确，则乙、丙预测都不对，那么三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．]

10．(2019·沧州三模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次司机甲、乙同时加同价格的油，但两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　)

A．司机甲的均价低

B．司机乙的均价低

C．油价先高后低司机甲的均价低

D．油价先低后高司机甲的均价低

解析：B　[设司机甲每次加m升油，司机乙每次加n元钱的油，第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升．

司机甲这两次加油的均价为＝(元/升)

司机乙这两次加油的均价为＝(元/升)

因为x≠y，

所以＝＞＝1.

即司机乙这两次加油的均价低．]

11．(2020·西安模拟)已知实数x，y满足约束条件若约束条件表示的平面区域的面积为9，则z＝x＋y的最小值为(　　)

A．－2  B．－

C．2  D.

解析：

C　[由题意可知，可行域如图中△ABC及其内部所示，联立，

得

可得A，联立，

得可得C(3a＋3，a)，

所以|AC|＝a，故△ABC的面积为×a×a＝9，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故A(0,2)．作出直线y＝－x，平移该直线，当直线经过可行域内的A点时，z取得最小值，且zmin＝2，选C.]

12．(2020·厦门模拟)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)

A．6＋2  B．7＋2

C．6＋4  D．7＋4

解析：D　[因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2019·吉林三模)已知正实数x，y满足xy＋x＋y＝17，则x＋2y＋3的最小值为________．

解析：由题意，得y＝＞0，x＞0，则0＜x＜17，所以x＋2y＋3＝x＋＋3＝(x＋1)＋≥2 ＝12，当且仅当x＝5时取等号，故x＋2y＋3的最小值为12.

答案：12

14．(2020·绵阳诊断)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第11行第2个数(从左往右数)为________．

……

解析：由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，则第11行的第二个数为－＝.

答案：

15.

(2019·青岛三模)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．

解析：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝π×b2a.

答案：π×b2a

16．(与物理知识交汇)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.

①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；

②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．

解析：①当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1 900.

当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．

②当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.

当且仅当v＝10米/秒时，车流量最大为2 000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．

答案：1 900　100