2020届高考数学二轮教师用书：层级一第二练复数、平面向量

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1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，难度较低，纯属送分题目．

2．平面向量是高考必考内容，每年每卷有一个小题，难度中档，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点．

[真题体验]

1．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：C　[＝－3－2i，对应的点为(－3，－2)，在第三象限．]

2．(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：B　[∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0.即a·b＝|b|2；∴cos〈a，b〉＝＝＝.

故〈a，b〉＝，故选B.]

3．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：C　[本题考查平面向量及充分必要条件．

由题意得|a－3b|＝，

|3a＋b|＝.

充分性：∵|a－3b|＝|3a＋b|

∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2

又∵|a|＝1，|b|＝1，∴a2＝b2＝1

∴a2＋9b2＝9a2＋b2

∴－6a·b＝6a·b

即a·b＝0，∴a⊥b.

充分性得证．

必要性：

∵a⊥b，∴a·b＝0

又∵|a|＝|b|＝1，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2

∴(a－3b)2＝(3a＋b)2

∴|a－3b|＝|3a＋b|

必要性得证．故选C.]

4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

解析：2a＋b＝2(1,2)＋(2，－2)＝(4,2)，

c∥(2a＋b)，∴1×2－4λ＝0，解得λ＝.

答案：

[主干整合]

1．复数运算中常用的结论

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

2．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)．

3．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则＝(＋)．

4．三角形重心坐标的求法：

(1)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.

(2)·＝·＝·⇔O为△ABC的垂心．

5．平面向量数量积性质：a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．

热点一　复数的概念与运算

[题组突破]

1．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1　　　　　 B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：C　[|z－i|＝1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1.选C.]

2．(2020·苏州模拟)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A．1或－1   B.或－

C．－  D.

解析：A　[∵z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.

∵z＝a＋i，∴|z|＝，∴＝2，∴a＝±1.故选A.]

3．(2020·湖北八校联考)已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若为纯虚数，则|z1|＝(　　)

A.   B.

C．2  D.

解析：D　[由于＝＝＝为纯虚数，则a＝1，则|z1|＝，故选D.]

4．设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3  B．p1，p4

C．p2，p3  D．p2，p4

解析：B　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．

对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B.]

解决复数问题的两种思想方法

1．复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

2．复数的“方程思想”：即把复数z当作未知数，从解方程的角度求解z.

热点二　平面向量的运算及应用

平面向量的线性运算

[例1]　(1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－　　　　　 B.－

C.＋  D.＋

[解析]　

A　[如图，＝－＝－

＝－

＝－－＝－.]

(2)(2020·无锡模拟)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

[解析]　

解法一　如图，＝＋，||＝2，

||＝||＝4，

所以＝4＋2.

所以λ＋μ＝6.

解法二　以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系(图略)，

则A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)．即A(1,0)，C(3，)，B.

由＝λ＋μ得，所以所以λ＋μ＝6.

[答案]　6

平面向量的线性运算技巧

(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．

(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

平面向量数量积的应用

[例2]　(1)(2020·石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)

A.   B.

C.  D.

[解析]　A　[∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.]

(2)(2018·天津卷)

如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)

A.   B.

C.  D．3

[解析]　

A　[建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，

E点在CD上，则＝λ(0≤λ≤1)，设E(x，y)，

则：＝λ，

即，

据此可得：E，且：

＝，＝，

由数量积的坐标运算法则可得：

·＝＋λ×，

整理可得：·＝(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1)，

结合二次函数的性质可知，当λ＝时，·取得最小值.故选A.]

涉及数量积、模和最值的解题思路

(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路；

①直接利用数量积的定义计算，此时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．

②建立平面直角坐标系，通过坐标运算求解．

(2)求解向量数量积的最值(范围)问题，通常建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算得到含有参数的等式，或是转化为函数的最值，或是利用基本不等式求最值，或是利用几何意义求最值(范围)．

(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，若＝a，＝b，则向量＝(　　)

A.a＋b  B．－a－b

C．－a＋b  D.a－b

解析：C　[＝＋＝－＝－(＋)＝－a＋b.]

(2)(2019·江苏卷)如图，

在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．

解析：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合和方程思想解题．如图，过点D作DF∥CE，交AB于点F，由BE＝2EA，D为BC中点，知BF＝FE＝EA，AO＝OD.

6·＝3·(－)＝(＋)·(－)

＝(＋)·＝

＝＝·－2＋2＝·，

得2＝2，即||＝||，故＝.

答案：

(3)(双空填空题)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.

解析：本题考查向量数量积的垂直性质．由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2×＝6.

答案：　6

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2020·昆明模拟)已知复数z＝则(　　)

A．z的模为2　　　 　　　 B．z的实部为1

C．z的虚部为－1  D．z的共轭复数为1＋i

解析：C　[根据题意可知，＝＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为，z的共轭复数为－1＋i，故选C.]

2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：C　[由题意可设＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，

∴解得∴z＝2a＋i＝1＋i，

∴|z|＝，故选C.]

3．(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3  B．－2

C．2  D．3

解析：C　[∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，

∴||＝  ＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，

∴·＝(2,3)·(1,0)＝2.]

4．(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：C　[本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想．

∵A、B、C三点不共线，

∴|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔|＋|2＞|－|2⇔·＞0⇔与 的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件，故选C.]

5．(2020·南昌模拟)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：A　[根据欧拉公式得ei＝cos＋isin＝＋i，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限．]

6．(2019·吉林三模)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)

A．2i  B．i

C．－i  D．－2i

解析：D　[设z＝ai(a≠0，a∈R)，则

＝＝＝，

因为是实数，所以2＋a＝0⇒a＝－2，故z＝－2i.]

7．(2020·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：

A　[如图，∵＝2，∴＝＋，

∴·(＋)＝－2，

∵AM＝1且＝2，∴||＝，

∴·(＋)＝－.]

8．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2的共轭复数

B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数

C．复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)

D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝1

解析：BC　[本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算．对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y,2x－y)，即解得故D错误．故选BC.]

9．(2019·张家界三模)边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足＝＋，则·＝(　　)

A．－   B.

C.  D.

解析：A　[·＝2×2×cos＝2，·＝(－)·(－)＝·＝·－－＋·＝－×22－×22＋＝－.]

10.

在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)

A.a－b   B.a＋b

C．－a＋b  D．－a－b

解析：

B　[如图，过点F作BC的平行线交DE于G，

则G是DE的中点，且＝＝，

∴＝，易知△AHD∽△FHG，

从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，

∴＝＝a＋b，故选B.]

11．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A.－1   B.＋1

C．2  D．2－

解析：A　[设e＝(1,0)，b＝(x，y)，

则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1

如图所示，a＝，b＝，(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，∠AOx＝.)

∴|a－b|min＝|CD|－1＝－1.(其中CD⊥OA.)]

12．(2020·贵阳模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：

C　[不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，

∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2020·潍坊模拟)复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，则实数a的值为________．

解析：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i

＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

＝＋(a2＋2a－15)i.

∵1＋z2是实数，

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.

∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.

答案：3

14．(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝____________.

解析：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

因为c＝2a－b，a·b＝0，

所以a·c＝2a2－a·b＝2，

|c|2＝4|a|2－4a·b＋5|b|2＝9，所以|c|＝3，

所以cos〈a，c〉＝.＝＝.

答案：

15．(双空填空题)设复数z＝2 018＋2 019，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________.

解析：本题考查复数代数形式的乘除运算、乘方运算及复数的基本概念．

∵＝＝－i，

＝＝i，

∴z＝2 018＋2 019＝(－i)2 018＋i2 019＝i2＋i3＝－1－i，

∴＝－1＋i，则的虚部为1，|z|＝.

答案：1　

16．(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝____________.

解析：

如图，过点B作AE的平行线交AD于F，

因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．

因为∠BAD＝30°，AB＝2，所以AF＝2，即＝.

因为＝＝－＝－，

所以·＝(－)＝·－2－2＝×2×5×－12－10＝－1.

答案：－1