2020届高考数学二轮教师用书：第二章第8节　函数与方程

第8节　函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②　f(a)·f(b)<0　；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　一分为二　使区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　 )

(2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 )

(3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 )

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 )

(5) 若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

[小题查验]

1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 )

解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.]

2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　 )

A．(－2，－1)　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

解析：B　[易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．

而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选B.]

3．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 )

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]

4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为　________　.

解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.

答案：1.56

5．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　________　.

解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示．

直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即<a<.

答案：

考点一　判断函数零点的个数(师生共研)

[典例]　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　 )

A．3　　　　　　　　　　 B．2

C．7  D．0

(2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝ x在上的根的个数是(　　 )

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　(1)法一：由f(x)＝0得或，解得x＝－2，或x＝e.

因此函数f(x)共有2个零点．

法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．

(2)因为f(x)为偶函数，

所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝x在上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝ x在上有三个根. 故选C.

[答案]　(1)B　(2)C

[互动探究]

若将本例(1)中“x”变为“|x|”，则方程f(x)＝ |x|在[－3,3]上所有根的和为　______　.

解析：由本例(1)解析知f(x)＝ |x|在[－3,3]上有六个不同根，不妨设为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，由图象关于y轴的对称性知：x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝0.

答案：0

判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法

(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．

(2)零点存在性定理法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．

(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)

[跟踪训练]

(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点个数是(　　 )

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：C　[f(x)＝0时，得或解得x＝－1或x＝1.故选C.]

(2)(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：B　[本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)＝0，得sin x＝0或cos x＝1，∵x∈[0,2π]，∴x＝0、π或2π，∴f(x)在[0,2π]的零点个数是3，故选B.]

考点二　确定函数零点所在的区间(自主练透)

[题组集训]

1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 )

A．(a，b)和(b，c)内　　　 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内  D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]

2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　 )

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：B　[法一　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．

法二　易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，

且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.

所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．]

3．(2019·大理州一模)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 )

A．a＜b＜c  B．b＜a＜c

C．c＜a＜b  D．a＜c＜b

解析：D　[令f(x)＝2x＋x＝0，解得x＜0，令g(x)＝x－1＝0，解得x＝1，

由h(x)＝log3x＋x，令h＝－1＋＜0，h(1)＝1＞0，又函数h(x)是增函数，因此h(x)的零点x0∈.则b＞c＞a.]

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

考点三　函数零点的应用(子母变式)

数学建模——唇齿相依的函数与方程

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．

方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．

[母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为　________　.

[解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0.

[答案]　

[子题1]　若本例中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是　______　.

解析：由本例解析知a＝－或a≥0.

答案：[0，＋∞)∪

[子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是　______　.

解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0，化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)

解析：C　[A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象，故选C.]

2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．2

C．1  D．0

解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.]

3．(2020·乌鲁木齐市一模)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：C　[因为f＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间上，故选C.]

4．(2020·玉溪市模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解有(　　 )

A．2个  B．3个

C．4个  D．多于4个

解析：C　[由f(x＋2)＝f(x)可得函数的周期为2，

又函数为偶函数且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，

故可作出函数f(x)的图象．

∴方程f(x)＝log3|x|的解个数等价于y＝f(x)与y＝log3|x|图象的交点个数，

由图象可得它们有4个交点，故方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4，故选C.]

5．(2020·西宁市模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　　 )

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：B　[∵f(x＋1)＝－f(x)，

∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

∴f(x)的周期为2.

∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，

故f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又g(x)＝|x－1|(－1＜x＜3)的图象关于直线x＝1对称，作出f(x)和g(x)的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在(－1,3)上共有4个交点，

∴所有交点的横坐标之和为2×2＝4.故选B.]

6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为　________　.

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，

解得a＝－.

答案：－

7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝　________　.

解析：∵2<a<3<b<4，∴f(1)＝loga1＋1－b＝1－b<0，f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b，

又∵loga3>1，－1<3－b<0，

∴f(3)>0，即f(2)f(3)<0，故x0∈(2,3)，即n＝2.

答案：2

8．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为　________　.

解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以或解得x＝－1或x＝或x＝，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为.

答案：

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，

令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.

∴函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，

∴b2－4a(b－1)>0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，

所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0,1)．

10．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)∵f(x)＝＝

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b且－1＝1－，∴＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．