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2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题五第1讲 直线与圆
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第1讲 直线与圆
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C． D．2
解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得a＝－.
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.
答案：(x－)2＋y2＝
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
所以M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，所以|MN|＝4，故选C.
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.
答案：4
[山东省学习指导意见]
1．直线与方程
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．
(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．
2．圆与方程
(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．
直线的方程
[考法全练]
1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选A.
2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为( )
A．7 B．0或7
C．0 D．4
解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.
3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6]
C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6]
解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．
解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．若直线l3与l关于点(1，1)对称，则直线l3的直线方程是________．
解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．
又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则
，解得
即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.
因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则
＝.
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.
法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知
解得
因为(x1，y1)在l1上，
所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.
因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则
＝.
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－2y－1＝0 x－y＋1＝0
(1)两直线的位置关系问题的解题策略
求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．
(2)轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于
直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关
于直线的对称
有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决
圆的方程
[典型例题]
在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【解】 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.
求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
[对点训练]
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．
C．(－2，0) D．
解析：选D.若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
解析：选A.设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.
3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为( )
A． B．
C． D．2
解析：选C.圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1，0)，则|OM|＝1，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.
直线与圆、圆与圆的综合问题
[典型例题]
命题角度一 切线问题
已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A． B．
C． D．
【解析】 因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．所以圆心C的坐标是，且半径的平方r2＝，
所以圆C的方程为(x－2＋m)2＋＝，①
又x2＋y2＝1，②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，
即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直线AB过定点.故选B.
【答案】 B
过一点求圆的切线方程的方法
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法
若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法
当切线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．
命题角度二 弦长问题
已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．
(1)求圆C的方程；
(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
【解】 (1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，
即＝＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.
因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1.
又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，
所以S＝|PQ|·|MN|
＝×2××2×
＝2
＝2≤2
＝2＝7，
当且仅当d1＝d时，等号成立，
所以四边形PMQN面积的最大值为7.
求解圆的弦长的3种方法
关系法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)
距离法
联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
命题角度三 直线与圆的综合问题
已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求·；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值．
【解】 (1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，
故可设C(a，a)，圆C的半径为r.
因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝＝，
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.
当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，
直线PA的方程为y＝x＋2，令y＝0得M.
直线PB的方程为y＝(x－2)，令x＝0得N.
所以|AN|·|BM|＝
＝4＋4
＝4＋4×
＝4＋4×
＝4＋4×＝8，
综上，|AN|·|BM|为定值8.
讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
[对点训练]
1．(2020·山东高考模拟)已知点A为曲线y＝x＋(x>0)上的动点，B为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选A.根据题意，可在同一直角坐标系中作出y＝x＋(x>0)和圆(x－2)2＋y2＝2的图象，由数形结合易知当A(2，4)，B(2，1)时 ，|AB|有最小值3，故选A.
2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，)，N(1，－)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C过点M(1，)，N(1，－)，
所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，
故设圆心为C(a，0)，易知a>0，
又圆C与y轴相切，
所以圆C的半径r＝a，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.
因为点M(1，)在圆C上，
所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)记直线OA的斜率为k(k≠0)，
则其方程为y＝kx.
联立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
所以A.
由k·kOB＝－2，得kOB＝－，直线OB的方程为y＝－x，
在点A的坐标中用－代替k，得B.
当直线l的斜率不存在时，＝，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝.
当直线l的斜率存在时，≠，即k2≠2.
则直线l的斜率为＝
＝＝.
故直线l的方程为y－＝.
即y＝，所以直线l过定点.
综上，直线l恒过定点，定点坐标为.
一、选择题
1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )
A．(3，) B．(2，)
C．(1，) D．
解析：选C.直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝2
B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选A.由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )
A．0
A． B．
C．5 D．10
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选C.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.
法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.
二、填空题
7．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，
所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB
＝sin∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，
于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，
则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.
答案：－
8．已知圆O：x2＋y2＝4到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．
解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d
9．(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2
三、解答题
10．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，
由题意得＝·，
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．
(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.
设直线CD：y＝－x＋t，
由解得点P，
由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝，
而|NP|2＝＋，|ED|2＝3，
|EP|2＝，
所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，
所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立又x＋mx2－2＝0，
可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，
又因为圆C的半径为1，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以＝1，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，
所以设圆心C为(a，2a－4)，
又因为圆C的半径为1，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有
＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2－1≤≤2＋1，
解得0≤a≤，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
第1讲 直线与圆
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C． D．2
解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得a＝－.
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.
答案：(x－)2＋y2＝
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
所以M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，所以|MN|＝4，故选C.
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.
答案：4
[山东省学习指导意见]
1．直线与方程
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．
(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．
2．圆与方程
(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．
直线的方程
[考法全练]
1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选A.
2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为( )
A．7 B．0或7
C．0 D．4
解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.
3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6]
C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6]
解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．
解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．若直线l3与l关于点(1，1)对称，则直线l3的直线方程是________．
解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．
又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则
，解得
即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.
因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则
＝.
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.
法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知
解得
因为(x1，y1)在l1上，
所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.
因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则
＝.
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－2y－1＝0 x－y＋1＝0
(1)两直线的位置关系问题的解题策略
求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．
(2)轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于
直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关
于直线的对称
有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决
圆的方程
[典型例题]
在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【解】 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.
求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
[对点训练]
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．
C．(－2，0) D．
解析：选D.若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
解析：选A.设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.
3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为( )
A． B．
C． D．2
解析：选C.圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1，0)，则|OM|＝1，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.
直线与圆、圆与圆的综合问题
[典型例题]
命题角度一 切线问题
已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A． B．
C． D．
【解析】 因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．所以圆心C的坐标是，且半径的平方r2＝，
所以圆C的方程为(x－2＋m)2＋＝，①
又x2＋y2＝1，②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，
即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直线AB过定点.故选B.
【答案】 B
过一点求圆的切线方程的方法
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法
若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法
当切线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．
命题角度二 弦长问题
已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．
(1)求圆C的方程；
(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
【解】 (1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，
即＝＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.
因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1.
又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，
所以S＝|PQ|·|MN|
＝×2××2×
＝2
＝2≤2
＝2＝7，
当且仅当d1＝d时，等号成立，
所以四边形PMQN面积的最大值为7.
求解圆的弦长的3种方法
关系法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)
距离法
联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
命题角度三 直线与圆的综合问题
已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求·；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值．
【解】 (1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，
故可设C(a，a)，圆C的半径为r.
因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝＝，
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.
当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，
直线PA的方程为y＝x＋2，令y＝0得M.
直线PB的方程为y＝(x－2)，令x＝0得N.
所以|AN|·|BM|＝
＝4＋4
＝4＋4×
＝4＋4×
＝4＋4×＝8，
综上，|AN|·|BM|为定值8.
讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
[对点训练]
1．(2020·山东高考模拟)已知点A为曲线y＝x＋(x>0)上的动点，B为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选A.根据题意，可在同一直角坐标系中作出y＝x＋(x>0)和圆(x－2)2＋y2＝2的图象，由数形结合易知当A(2，4)，B(2，1)时 ，|AB|有最小值3，故选A.
2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，)，N(1，－)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C过点M(1，)，N(1，－)，
所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，
故设圆心为C(a，0)，易知a>0，
又圆C与y轴相切，
所以圆C的半径r＝a，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.
因为点M(1，)在圆C上，
所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)记直线OA的斜率为k(k≠0)，
则其方程为y＝kx.
联立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
所以A.
由k·kOB＝－2，得kOB＝－，直线OB的方程为y＝－x，
在点A的坐标中用－代替k，得B.
当直线l的斜率不存在时，＝，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝.
当直线l的斜率存在时，≠，即k2≠2.
则直线l的斜率为＝
＝＝.
故直线l的方程为y－＝.
即y＝，所以直线l过定点.
综上，直线l恒过定点，定点坐标为.
一、选择题
1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )
A．(3，) B．(2，)
C．(1，) D．
解析：选C.直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝2
B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选A.由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )
A．0
A． B．
C．5 D．10
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选C.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.
法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.
二、填空题
7．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，
所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB
＝sin∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，
于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，
则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.
答案：－
8．已知圆O：x2＋y2＝4到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．
解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d
9．(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2
三、解答题
10．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，
由题意得＝·，
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．
(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.
设直线CD：y＝－x＋t，
由解得点P，
由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝，
而|NP|2＝＋，|ED|2＝3，
|EP|2＝，
所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，
所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立又x＋mx2－2＝0，
可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，
又因为圆C的半径为1，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以＝1，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，
所以设圆心C为(a，2a－4)，
又因为圆C的半径为1，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有
＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2－1≤≤2＋1，
解得0≤a≤，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
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