课时作业(七) 二次函数与幂函数 练习

课时作业(七)　二次函数与幂函数

一、选择题

1．幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．0　　　　　　B．1

C．2            D．3

解析：∵y＝x (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，

∴m2－4m<0，即0<m<4.

又∵函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，

∴m2－4m为偶数，因此m＝2.

答案：C

2．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)

A．a≥3   B．a≤3

C．a<－3  D．a≤－3

解析：函数f(x)是抛物线，对称轴是x＝－2a，

∴f(x)的减区间为(－∞，－2a)．

∵f(x)在(－∞，6)内单调递减，

∴－2a≥6，∴a≤－3.

答案：D

3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则不等式f(|x|)≤2的解集是(　　)

A.{x|－4≤x≤4}       B．{x|0≤x≤4}

C．{x|－≤x≤}   D．{x|0<x≤}

解析：由题意知＝()α，∴α＝，

∴f(x)＝x，

由|x|≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：A

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　)

A．f(2)<f(1)<f(4)  B．f(1)<f(2)<f(4)

C．f(2)<f(4)<f(1)  D．f(4)<f(2)<f(1)

解析：∵f(2＋t)＝f(2－t)，

∴f(x)关于x＝2对称，又开口向上．

∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝f(3)．

∴f(2)<f(3)<f(4)，

即f(2)<f(1)<f(4)，故选A.

答案：A

5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A．[0,4]      B.

C. [，＋∞)  D.

解析：二次函数图象的对称轴为x＝，且f()＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.

答案：D

6．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0)  B．(－∞，－3]

C．[－2,0]  D．[－3,0]

解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，

故a＝0时满足题意，

当a≠0时，要使f(x)在[－1，＋∞)上是减函数，

则有

解得－3≤a<0.

综上可知实数a的取值范围是[－3,0]．故选D.

答案：D

二、填空题

7．(2017·陕西质量检测(一))若x>1时，xa－1<1，则a的取值范围是________．

解析：因为x>1，xa－1<1，所以a－1<0，解得a<1.

答案：a<1

8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝x＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)<f(10－2a)，

∴解得∴3<a<5.

故a的取值范围是(3,5)．

答案：(3,5)

9．(2017·武汉调研)设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，求函数g(x)的值域是________．

解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，由于函数g(x)是二次函数，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

三、解答题

10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)

(1)是幂函数；

(2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数．

解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.

(2)若f(x)是幂函数，且又是(0，＋∞)上的增函数，

则∴

∴m＝－1.

11．已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．

解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，

∴f(x)min＝f(1)＝－2.

(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.

①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在[0,1]内，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．

∴f(x)min＝f＝－＝－.

②当>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上单调递减．

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

综上所述f(x)min＝

12．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x.

∴∴

因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．