知识点一　　　古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

1．判断正误

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)

(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)

2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(　C　)

A．(男，女)，(男，男)，(女，女)

B．(男，女)，(女，男)

C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)

D．(男，男)，(女，女)

解析：由于两个孩子出生有先后之分，所以基本事件有四种情况．

知识点二　　　　古典概型的概率公式

P(A)＝

3．一袋中装有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，现从中随机摸出两球，其中有白球的概率是(　D　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析：所求概率P＝＝.

4．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是(　D　)

A.   B.

C.   D.

解析：所求概率P＝＝，故选D.

1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．

2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

考向一　　　基本事件与古典概型

【例1】　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．

(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

【解】　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．

又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．

(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，

故一次摸球摸到白球的可能性为，

同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，

显然这三个基本事件出现的可能性不相等，

故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.

有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；

(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．

解：(1)这个试验的基本事件为

(1,1)(1,2)(1,3)，(1,4)，

(2,1)(2,2)(2,3)，(2,4)，

(3,1)(3,2)(3,3)，(3,4)，

(4,1)(4,2)(4,3)，(4,4)．

(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

考向二　　　古典概型的求法

方向1　求古典概型

【例2】　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．

【解】　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.

则P(B)＝＝，P(C)＝＝.

由互斥事件的概率加法公式，

得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，

故所求事件的概率为.

1．求A中学至多有1人入选代表队的概率．

解：设“A中学至多有1人入选代表队”为事件A，“A中学无人入选代表队”为事件B，“A中学有1人入选代表队”为事件C，则

P(B)＝＝，

P(C)＝＝，

由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为.

2．求B中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率．

解：设“B中学入选代表队的女生人数多于男生人数”为事件A，则P(A)＝＋＝，即B中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率为.

方向2　古典概型与平面向量、解析几何的交汇

【例3】　(1)设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)(2019·湘中名校联考)从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　(1)有序数对(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝＝.

(2)从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P＝，故选A.

【答案】　(1)A　(2)A

方向3　古典概型与统计的交汇

【例4】　(2019·河南新乡一模)为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度，需要抽检一批轮胎(共10个)，已知这批轮胎宽度(单位：mm)的折线图如下图所示：

(1)求这批轮胎宽度的平均值；

(2)现将这批轮胎送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批轮胎中任取5个作检验，这5个轮胎的宽度都在[194,196]内，则称这批轮胎合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批轮胎就认定不合格．

①求这批轮胎第一次抽检就合格的概率；

②记X为这批轮胎的抽检次数，求X的分布列及数学期望．

【解】　(1)这批轮胎宽度的平均值为

＋＝195(mm)．

(2)①这批轮胎宽度在[194,196]内的个数为6，故这批轮胎第一次抽检就合格的概率为P0＝＝.

②X的可能取值为1,2，P(X＝1)＝P0＝，P(X＝2)＝1－P0＝.

则X的分布列为

故E(X)＝1×＋2×＝.

求解古典概型的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.

1．(方向1)甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：所有的排法有A＝24种，若甲丙之间恰好为乙，则有AA种排法；若甲丙之间恰好为丁，则有A种排法，故所求的概率为P＝＝＝.

2．(方向2)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点在直线2x－y＝1上的概率为(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1,1)，(2,3)，(3,5)，所以所求概率为＝.

3．(方向3)(2019·湖南两校联考)微信是现代生活中进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”，已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为32.

(1)确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；

(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

解：(1)根据题意，

有

解得x＝9，y＝6，∴p＝0.15，q＝0.10，

补全频率分布直方图如下图所示．

(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“微信达人”有10×＝4人，“非微信达人”有10×＝6人，ξ的可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

∴ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.