2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第5章第2节　等差数列及其前n项和


第二节　等差数列及其前n项和
[考纲传真]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
(3)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d.
(4)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[常用结论]
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)
A.　　 　B.　　 　C．2　　 　 D．－
A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.]
3．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A．31 B．32 C．33 D．34
B　[设数列{an}的公差为d，
法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，
又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.
法二：由得
∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
　[由题意可知即解得－1＜d＜－.]
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
180　[∵{an}为等差数列，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，
∴a2＋a8＝2a5＝180.]

等差数列基本量的运算

1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　 　 B．13　　 　C．14　　 　 D．15
B　[由题意得S5＝＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.故选B.]
2．已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3 700，则数列的公差d，项数n分别为(　　)
A．d＝0.34，n＝100 B．d＝0.34，n＝99
C．d＝，n＝100 D．d＝，n＝99
C　[由
得解得故选C.]
3．(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝(　　)
A．33 B．16 C．13 D．12
C　[由得
解得或
当a1＝1，d＝2时，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13；
当a1＝13，d＝－2时，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13.
综上可知a1a7＝13.故选C.]
4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为(　　)
A．－n＋(n∈N*，n≤5)
B.n＋(n∈N*，n≤5)
C.n＋(n∈N*，n≤5)
D．－n＋(n∈N*，n≤5)
D　[由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差为d，则
∴
∴
∴通项公式为an＝＋(n－1)×＝－n(n∈N*，n≤5)，故选D.]
[规律方法]　解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.

等差数列的判定与证明

【例1】　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋＞.
[解]　(1)证明：∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋＞＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－＝.
[规律方法]　等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
等差数列的性质及应用

【例2】　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0　　　 B．37　　　C．100　　　 D．－37
(2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)
A．20 B．22 C．24 D．8
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
(1)C　(2)C　(3)B　[(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(3)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.]
[规律方法]　等差数列的常用性质和结论
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列.
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)
A．39 B．20 C．19 D．10
(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)
A. B. C. D.
(1)B　(2)C　[(1)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.
(2)由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C.]

等差数列前n项和的最值问题

【例3】　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解]　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－.
法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，
当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
[规律方法]　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法.
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
易错警示：易忽视n∈N＋.
(1)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为(　　)
A．5 B．6 C．5或6 D．11
(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．
(1)C　(2)110　[(1)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．
(2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，
Sn＝na1＋d＝20n－×2
＝－n2＋21n＝－2＋2，
又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.]


1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　 B．－10　　　C．10　　　 D．12
B　[设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)
A．－24 B．－3 C．3 D．8
A　[由已知条件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
故选A.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
C　[∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.]

4．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.