课时质量评价9 二次函数与幂函数练习题
展开A组 全考点巩固练
1．函数y＝eq \r(3,x2)的图象大致是( )
C 解析：y＝eq \r(3,x2)＝xeq \s\up9(eq \f(2,3))，其定义域为x∈R，排除A，B．又0
A．1或3 B．1 C．3 D．2
B 解析：由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，解得m＝1.
3．二次函数f (x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f (x)的最大值是5，则该函数的解析式是( )
A．f (x)＝2x2－8x＋11
B．f (x)＝－2x2＋8x－1
C．f (x)＝2x2－4x＋3
D．f (x)＝－2x2＋4x＋3
D 解析：二次函数f (x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，则图象的对称轴为x＝1.又由函数的最大值是5，可设f (x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)．于是3＝a＋5，解得a＝－2.故f (x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3.故选D．
4．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xeq \s\up6(m2－m－2)的图象不过原点，则( )
A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2
C．m＝2D．m＝1
B 解析：因为幂函数y＝(m2－3m＋3)xeq \s\up6(m2－m－2)的图象不过原点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2≤0，,m2－3m＋3＝1，))解得m＝1或2，符合题意．故选B．
5．(2020·洛阳一中检测)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f (x)的图象可能是( )
D 解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C．又f (0)＝c＜0，排除选项B．故选D．
6．已知二次函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在[0,2]上单调递增．若f (a)≥f (0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞)B．(－∞，0]
C．[0,4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
C 解析：由题意可知函数f (x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)．若f (a)≥f (0)，从图象观察可知0≤a≤4.
7．若函数f (x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f (x)的最大值是( )
A．－4 B．4 C．4或－4 D．不存在
B 解析：依题意，函数f (x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，f (x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.当x2＝3时，f (x)取得最大值4.
8．已知f (x)＝x2，g(x)＝xeq \s\up9(eq \f(1,2))，h(x)＝x－2.当0
9．(2020·潍坊模拟)若(a＋1)eq \s\up9(－eq \f(1,3)) <(3－2a)eq \s\up9(－eq \f(1,3))，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2))) 解析：不等式(a＋1)eq \s\up9(－eq \f(1,3))<(3－2a)eq \s\up9(－eq \f(1,3))等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
(－∞，－3] 解析：只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．而函数f (x)＝x2－4x在(0,1]上单调递减，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.
11．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c
B组 新高考培优练
12．若f (x)＝ax2＋ax－1在R上满足f (x)＜0恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0]B．(－∞，－4)
C．(－4,0)D．(－4,0]
D 解析：①当a＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R.②当a＜0时，二次函数y＝ax2＋ax－1的图象开口向下．由不等式的解集为R，得到二次函数的图象与x轴没有交点，即Δ＝a2＋4a＜0，即a(a＋4)＜0，解得－4＜a＜0.
③当a＞0时，二次函数y＝ax2＋ax－1的图象开口向上，函数值y＜0不恒成立，故解集不可能为R.
综上，a的取值范围为(－4,0]．故选D．
13．(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
ABD 解析：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数即为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)．故选ABD．
14．(多选题)设函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f (4＋t)＝f (－t)成立，则f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )
A．f (－1)B．f (1)
C．f (2)D．f (5)
ACD 解析：因为对任意实数t都有f (4＋t)＝f (－t)成立，所以函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a＜0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)．
15．若函数f (x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1,1]恒有f (x)≥0，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析：∀x∈[－1,1]，f (x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1.(*)
当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立．
当x∈[－1,1)时，(*)式等价于a≥eq \f(1,x－1)恒成立．
又t＝eq \f(1,x－1)在[－1,1)上单调递减，a≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)))max＝－eq \f(1,2).综上知a≥－eq \f(1,2).
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