2019版高考数学（理）创新大一轮北师大通用版讲义：第十二章推理与证明、算法、复数第1节


第1节　归纳与类比
最新考纲　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

知 识 梳 理
1.合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.
由特殊到特殊
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(　　)
解析　(1)类比推理的结论不一定正确.
(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)
A.28 B.32
C.33 D.27
解析　5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，
推出x－20＝12，所以x＝32.
答案　B
3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A.结论正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.全不正确
解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
答案　C
4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n(n∈N+)个不等式是______________________.
解析　根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<.
答案　＋＋…＋<
5.(教材习题改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N+)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________.
答案　b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N+)

考点一　归纳推理
【例1】 (1)(2018·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫作完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为__________.
(2)(2018·济宁模拟)已知ai>0(i＝1，2，3，…，n)，观察下列不等式：
≥；
≥；
≥；
……
照此规律，当n∈N+，n≥2时，≥________.
解析　(1)由题意，如果2n－1是质数，则2n－1(2n－1)是完全数，例如：6＝21＋22＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，…；若2n－1(2n－1)＝8 128，解得n＝7，所以8 128可表示为26(27－1)＝26＋27＋…＋212.
(2)根据题意有≥(n∈N+，n≥2).
答案　(1)26＋27＋…＋212　(2)
规律方法　归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.
(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.
(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.
(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.
【训练1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为(　　)
A.45 B.55 C.65 D.66
(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　　　N(n，3)＝n2＋n，
正方形数 N(n，4)＝n2，
五边形数 N(n，5)＝n2－n，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝____________.
解析　(1)第1个图中，小石子有1个，
第2个图中，小石子有3＝1＋2个，
第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，
第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，
……
故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55.
(2)三角形数　N(n，3)＝n2＋n＝，
正方形数　N(n，4)＝n2＝，
五边形数　N(n，5)＝n2－n＝，
六边形数　N(n，6)＝2n2－n＝，
k边形数　N(n，k)＝，
所以N(10，24)＝＝＝1 000.
答案　(1)B　(2)1 000
考点二　类比推理
【例2】 (1)(一题多解)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)
A.dn＝ B.dn＝
C.dn＝ D.dn＝
(2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________.
解析　(1)法一　从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.
法二　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.
(2)椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2a.
答案　(1)D　(2)πb2a
规律方法　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.
【训练2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________________.

解析　(1)令1＋＝x(x>0)，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故选C.
(2)利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.
用“体积法”证明如下：
＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.
答案　(1)C　(2)＋＋＋＝1
考点三　演绎推理
【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N+).证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
规律方法　演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.
【训练3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则(　　)
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩.
答案　D

基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第(　　)
A.22项 B.23项 C.24项 D.25项
解析　两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.
答案　C
2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”，但推理形式错误
D.使用了“三段论”，但小前提错误
解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.
答案　C
3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)
解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).
答案　D
4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A.28 B.76 C.123 D.199
解析　观察规律，归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案　C
5.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”.
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是(　　)
A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙
解析　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.
答案　D
6.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为(　　)
A.42 B.65 C.143 D.169
解析　可以通过列表归纳分析得到.
凸多边形
4
5
6
7
8
…
对角线条数
2
2＋3
2＋3＋4
2＋3＋4＋5
2＋3＋4＋5＋6
…
∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65条对角线.
答案　B
7.(2018·石家庄模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A. B. C.－1 D.＋1
解析　设“黄金双曲线”方程为－＝1，
则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0).
在“黄金双曲线”中，因为⊥，
所以·＝0.
又＝(c，b)，＝(－a，b).
所以b2＝ac.
又b2＝c2－a2，
所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2，得e＝.
答案　A
8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N+)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N+)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，
所以n＝8，故共有8层.
答案　C
二、填空题
9.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.
解析　进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
答案　14
10.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________.
解析　观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝＝.
答案　13＋23＋…＋n3＝
11.(2018·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝
am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：____________________________________________________________________.
解析　等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”
答案　在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n
12.已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立.
解析　对于函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点A，
B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，
类比可知应有＜sin 成立.
答案　＜sin
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2018·南昌调研)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2 016a2 017>1，<0，下列结论中正确的是(　　)
A.q<0
B.a2 016a2 018－1>0
C.T2 016是数列{Tn}中的最大项
D.S2 016>S2 017
解析　由a1>1，a2 016a2 017>1得q>0，由<0，a1>1得a2 016>1，a2 017<1，0 答案　C
14.(2018·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直.设回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，从点O到点A1的回形线为第1圈(长为7)，从点A1到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为________.
解析　第1圈的长为2(1＋2)＋1＝7，
第2圈的长为2(3＋4)＋1＝15，
第3圈的长为2(5＋6)＋1＝23，
则第n圈的长为2[(2n－1)＋2n]＋1＝8n－1，
当n＝8时，第8圈的长度为8×8－1＝63.
答案　63
15.若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.
解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
答案　－＝1
16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.
②该小组人数的最小值为________.
解析　设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数.
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.
答案　①6　②12