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课时作业(五) 函数的单调性与最值

试卷
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课时作业(五) 函数的单调性与最值01
课时作业(五) 函数的单调性与最值02
课时作业(五) 函数的单调性与最值03
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课时作业() 函数的单调性与最值

一、选择题

1下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是(  )

Ay   By(x1)2

Cy2x         Dylog0.5(x1)

解析:B项函数在(0,1)上单调递减,(1,+)上单调递增;C项中的函数在(0,+)上单调递减;D项中的函数在(0,+)上单调递减.

答案:A

2f(x)(  )

A(1)(1,+)上是增函数

B(1)(1,+)上是减函数

C(1)(1,+)上是增函数

D(1)(1,+)上是减函数

解析:f(x)的定义域为{x|x1}.又f(x)1,根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)(1)(1,+)上为增函数.

答案:C

3.下列函数f(x)图象中,满足f()>f(3)>f(2)的只可能是(  )

解析:因为f()>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除AB.C中,f()<f(0)1f(3)>f(0),即f()<f(3),排除C,选D.

答案:D

4.已知函数f(x)log2x,若x1(1,2)x2(2,+),则(  )

Af(x1)<0f(x2)<0  Bf(x1)<0f(x2)>0

Cf(x1)>0f(x2)<0  Df(x1)>0f(x2)>0

解析:因为函数f(x)log2x(1,+)上为增函数,且f(2)0

所以当x1(1,2)时,f(x1)<f(2)0

x2(2,+)时,f(x2)>f(2)0

f(x1)<0f(x2)>0.故选B.

答案:B

5(2017·泉州模拟)已知函数f(x)R上为减函数,则实数a的取值范围是(  )

A(0,1)        B(0)

C()   D.(1)

解析:由于函数f(x)R上的减函数,所以满足解得0<a<.

答案:B

6(2017·浦东一模)如果函数yf(x)在区间I上是增函数,且函数y在区间I上是减函数,那么称函数yf(x)是区间I上的缓增函数,区间I叫作缓增区间”.若函数f(x)x2x是区间I上的缓增函数,则缓增区间I(  )

A[1,+)  B[0]

C[0,1]       D[1]

解析:因为函数f(x)x2x的对称轴为x1

所以函数yf(x)在区间[1,+)上是增函数,又当x1时,x1,令g(x)x1(x1),则g(x),由g(x)01x,即函数x1在区间[1]上单调递减,故缓增区间I[1]

答案:D

二、填空题

7已知定义在R上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)<f(2x3)x的取值范围是________

解析:依题意得,不等式f(x)<f(2x3)等价于x<2x3,由此解得x>3,即满足f(x)<f(2x3)x的取值范围是(3,+)

答案:(3,+)

8.用min{abc}表示abc三个数中的最小值,则函数f(x)min{4x1x4,-x8}的最大值是________

解析:在同一坐标系中分别作出函数y4x1yx4y=-x8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)min{4x1x4,-x8}的图象,如图所示,不难看出函数f(x)x2时取得最大值6.故填6.

答案:6

9.若函数yylog3(x2)(3,+)上具有相同的单调性,则实数k的取值范围是________

解析:ylog3(x2)的定义域为(2,+)

且为增函数,故在(3,+)上是增函数.

又函数y2

使其在(3,+)上是增函数,

4k<0,得k<4.

即实数k的取值范围是(,-4)

答案:(,-4)

三、解答题

10判断函数g(x)(1,+)上的单调性.

解析:方法一:定义法

任取x1x2(1,+),且x1<x2

g(x1)g(x2)

因为1<x1<x2

所以x1x2<0(x11)(x21)>0

因此g(x1)g(x2)<0,即g(x1)<g(x2)

g(x)(1,+)上是增函数.

方法二:导数法

g(x)>0

g(x)(1,+)上是增函数.

11已知函数f(x)a.

(1)求证:函数yf(x)(0,+)上是增函数;

(2)f(x)<2x(1,+)上恒成立,求实数a的取值范围.

解析:(1)证明:当x(0,+)时,

f(x)a

0<x1<x2,则x1x2>0x2x1>0

f(x2)f(x1)(a)(a)

>0

f(x)(0,+)上是增函数.

(2)由题意a<2x(1,+)上恒成立,

h(x)2x

a<h(x)(1,+)上恒成立.

任取x1x2(1,+)x1<x2

h(x1)h(x2)(x1x2)(2).

1<x1<x2x1x2<0x1x2>1

2>0h(x1)<h(x2)

h(x)(1,+)上单调递增.

ah(1),即a3

a的取值范围是(3]

12已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2),且当x>1时,f(x)<0.

(1)f(1)的值;

(2)证明:f(x)为单调递减函数;

(3)f(3)=-1,求f(x)[2,9]上的最小值.

解析:(1)x1x2>0

代入得f(1)f(x1)f(x1)0

f(1)0.

(2)证明:任取x1x2(0,+)

x1>x2,则>1.

由于当x>1时,f(x)<0

所以f<0

f(x1)f(x2)<0

因此f(x1)<f(x2)

所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.

(3)因为f(x)(0,+)上是单调递减函数,

所以f(x)[2,9]上的最小值为f(9)

ff(x1)f(x2)得,

ff(9)f(3),而f(3)=-1

所以f(9)=-2.

f(x)[2,9]上的最小值为-2.

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