2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tanα.

2.三角函数的诱导公式

1.概念辨析

(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)

(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(　　)

(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.小题热身

(1)若sinα＝，<α<π，则tanα＝________.

答案　－

解析　因为sinα＝，<α<π，

所以cosα＝－＝－＝－，

所以tanα＝＝－.

(2)化简：＝________.

答案　－cosα

解析　原式＝＝－cosα.

(3)sin2490°＝________；cos＝________.

答案　－　－

解析　sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.

cos＝cos＝cos

＝－cos＝－.

(4)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.

答案　－

解析　因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.

题型一　同角三角函数关系式的应用　

角度1　化简与求值

1.(2019·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝(　　)

A.  B．－ 

C.  D．－

答案　A

解析　由任意角三角函数的定义得tanα＝，即＝，所以3cosα＝2sin2α＝2(1－cos2α)．整理得2cos2α＋3cosα－2＝0，

解得cosα＝或cosα＝－2(舍去).

角度2　sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系2.(2019·四川石室中学模拟)已知α为第二象限角，且sinα＋cosα＝，则cosα－sinα＝(　　)

A.  B．－

C．±   D.

答案　B

解析　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－.所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.又因为α为第二象限角．所以cosα<0，sinα>0.所以cosα－sinα<0.所以cosα－sinα＝－.

角度3　“齐次式”问题

3.已知＝5，则cos2α＋sinαcosα的值是(　　)

A.  B．－

C．－3  D．3

答案　A

解析　因为＝5，

所以＝5，解得tanα＝2，所以cos2α＋sinαcosα＝＝＝＝.

1.应用同角三角函数关系式化简、求值的方法

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．

2.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之间的关系问题

(1)方法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．

(2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋cosα，sinα－cosα的符号．如举例说明2.

3.sinα，cosα的齐次式的解法

(1)常见的结构

①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；

②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．

(2)巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.如举例说明3.

1.若α是第二象限角，则tanα化简的结果是(　　)

A.－1  B．1

C．－tan2α  D．tan2α

答案　A

解析　因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，

所以tanα＝·＝－·＝－1.

2.若sin(π－α)＝－2sin，则sinαcosα的值等于(　　)

A.－  B．－

C.或－   D.

答案　A

解析　由sin(π－α)＝－2sin，可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，所以sinαcosα＝＝＝－.

3.已知α∈，sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________.(提示(2－1)2＝9－4)

答案　

解析　因为sinαcosα＝，

所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝＝2.

又因为α∈，所以sinα－cosα<0，所以sinα－cosα＝.

题型二　诱导公式的应用

1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　)

A.1  B．－1

C．0  D．2

答案　C

解析　原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.

2.(2019·安徽六校教育研究会联考)若sin＝，那么cos的值为(　　)

A.  B．－ 

C.  D．－

答案　D

解析　cos＝cos＝－sin＝－.

3.若cos＝a，则cos＋sin的值为________．

答案　0

解析　因为cos＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

所以cos＋sin＝0.

(1)诱导公式的两个应用方向与原则

①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)应用诱导公式的基本流程

(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．

(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中－＝.

1.(2020·石家庄高三摸底)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)

A.－  B．－ 

C.   D.

答案　B

解析　因为角α的终边经过点P(3,4).

所以cosα＝＝.

所以sin＝sin

＝sin＝－sin＝－cosα＝－.

2.已知k∈Z，化简：＝________.

答案　－1

解析　当k为偶数时，原式＝

＝＝－1.

当k为奇数时，原式＝＝＝－1.

综上知，原式＝－1.

题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

1.(2019·郑州模拟)已知cos＝，α∈，则cosα＝(　　)

A.  B．－

C．－   D.

答案　C

解析　因为cos＝cos＝cos＝sinα＝，又α∈，所以cosα＝－＝－.

2.在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为sin＝3sin(π－A)，所以cosA＝3sinA，所以tanA＝，又0<A<π，所以A＝.因为cosA＝－cos(π－B)，即cosA＝cosB，所以cosB＝cos＝，又0<B<π，所以B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.故选C.

3.(2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．

解　(1)f(α)＝

＝＝＝－sinα.

(2)由已知得－sinα<，

∴sinα>－，

∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.

∵－<α<，

∴－<α<.

故α的取值范围为.

同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法

(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.

(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则

tan＝(　　)

A．2  B．－2 

C.  D．±2

答案　D

解析　因为sin(π＋α)＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以cosα＝±＝±，

所以tan＝＝＝±2.

2.化简的结果是(　　)

A．sin3－cos3  B．cos3－sin3

C．±(sin3－cos3)  D．以上都不对

答案　A

解析　因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝＝＝|sin3－cos3|.因为<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.

3．已知tan100°＝k，则sin80°的值等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

答案　B

解析　由已知得tan100°＝k＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k，又因为tan80°＝＝，所以＝k2，注意到k<0，可解得sin80°＝－ .

　组　基础关

1．计算：sin＋cos＝(　　)

A．－1  B．1

C．0   D.－

答案　A

解析　sin＋cos＝sin＋cos＝－sin－cos＝－－＝－1.

2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)

A．－  B．－ 

C.   D.

答案　D

解析　因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－cosθ，所以tanθ＝＝.又因为|θ|<，所以θ＝.

3．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是(　　)

A.   B.

C.  D．－

答案　B

解析　sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝.

4．若0≤2x≤2π，则使＝cos2x成立的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　D

解析　显然cos2x≥0，因为0≤2x≤2π，所以0≤2x≤或≤2x≤2π，所以x∈∪.

5．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于(　　)

A．sin2  B．－sin2

C．cos2  D．－cos2

答案　D

解析　因为r＝＝2，由任意角的三角函数的定义，得sinα＝＝－cos2.

6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)

A．1＋  B．1－

C．1±  D．－1－

答案　B

解析　由已知得Δ＝(2m)2－4×4×m＝4m(m－4)≥0，所以m≤0或m≥4，排除A，C.又因为sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以＝1＋，解得m＝1－或m＝1＋(舍去)．

7．已知tanα＝3，则的值是(　　)

A.  B．2

C．－  D．－2

答案　B

解析　因为tanα＝3，所以

＝＝

＝＝2.

8．化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.

答案　1

解析　(1＋tan2α)(1－sin2α)＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.

9．化简：＝________.

答案　－1

解析　原式＝

＝＝＝－1.

10．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．

答案　－

解析　因为cos(75°＋α)＝，

所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－.

cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－.

所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－.

　组　能力关

1．已知2θ是第一象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tanθ＝(　　)

A.  B．－ 

C.  D．－

答案　A

解析　因为sin4θ＋cos4θ＝，所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sinθcosθ＝，所以＝，所以＝，解得tanθ＝(tanθ＝，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tanθ为小于1的正数)．

2．(2019·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)

A．1  B．－1

C．±1  D．0

答案　B

解析　∵sin＝，∴cos＝，∴在第一象限，且cos<sin，

∴＝＝－1.

3．已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为－<α<0，所以cosα>0，sinα<0，可得cosα－sinα>0，因为(sinα＋cosα)2＋(cosα－sinα)2＝2，所以(cosα－sinα)2＝2－(sinα＋cosα)2＝2－＝，cosα－sinα＝，cos2α－sin2α＝×＝，所以的值为.

4．(2020·沈阳摸底)若＝2，则cosα－3sinα＝(　　)

A．－3  B．3

C．－   D.

答案　C

解析　因为＝2，所以cosα＝2sinα－1.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(2sinα－1)2＝1.整理得5sin2α－4sinα＝0，因为sinα≠0，所以sinα＝.所以cosα＝2sinα－1＝.所以cosα－3sinα＝－＝－.

5．已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)

A.   B.

C．－  D．－

答案　D

解析　因为＋＝，所以cos＝sin＝sin.因为－π<α<－，所以－<α＋<－.又cos＝>0，所以－<α＋<－，所以sin＝－＝－＝－.

6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.

答案　44.5

解析　因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，

设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，

则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，

两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.

7．已知α∈，且满足 ＋＝2，则cos2α＋2sin2α＝________.

答案　

解析　因为α∈，所以 ＋

＝＋＝＋＝，

则＝2，tanα＝2，

而cos2α＋2sin2α＝＝＝.

8．已知sinα＝，求tan(α＋π)＋的值．

解　tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋

＝.

∵sinα＝>0，∴α为第一或第二象限角．

当α为第一象限角时，cosα＝＝，

则原式＝＝；

当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，

则原式＝＝－.