数学浙教版第2章 特殊三角形综合与测试单元测试一课一练

这是一份数学浙教版第2章 特殊三角形综合与测试单元测试一课一练，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)


1．下列图形中，是轴对称图形的是(A)





2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)


A. a＝1，b＝2，c＝3 B. a＝2，b＝3，c＝4


C. a＝2，b＝4，c＝5 D. a＝3，b＝4，c＝5


3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个


4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)


A．20° B．35°


C．40° D．70°


(第4题)


(第5题)








5．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于(B)


A. 65° B. 50° C. 60° D. 57.5°


【解】 ∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来的，


∴DF＝AD.


∵D是AB的中点，∴AD＝BD.∴BD＝DF.


∴∠B＝∠BFD.


∵∠B＝65°，


∴∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝180°－65°－65°＝50°.





(第6题)


6．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)


A. 2 B. eq \r(2)


C. eq \r(3) D. 2eq \r(,3)


7．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝(B)


A．25 B．31


C．32 D．40


,(第7题)) , (第8题))


8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)


①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4





(第9题)


9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)


A．20° B．25° C．30° D．45°





(第9题解)


【解】 如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，


则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB.


∵△ABC是等边三角形，


∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4.


∴∠AME＝∠AEM＝60°.∴AM＝AE＝2.


∴BM＝AB－AM＝2.


∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.


∵EM∥BC，∴AD⊥EM.


∴点E和点M关于AD对称．


连结CM交AD于点F，连结EF，


则此时EF＋CF的值最小．


∵AC＝BC，AM＝BM，


∴∠ECF＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°.


10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE.其中正确的是(C)


A. ② B. ①②③


C. ①②④ D. ①②③④


(第10题)


(第10题解)








【解】 如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF.


∵CE⊥AB，EF＝BE，


∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B.


∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC.


∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC.


在△ACD和△ACF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠D＝∠AFC，,∠DAC＝∠FAC，,AC＝AC，))


∴△ACD≌△ACF(AAS)．


∴AD＝AF，CD＝CF.∴CD＝CB，故①正确．


AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．


根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，


故③错误．


AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．


综上所述，正确的是①②④.


二、填空题(每小题3分，共30分)


11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝30°．


,(第11题)) ,(第12题))


12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD是__8__ cm.


13．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝87°．


,(第13题)) ,(第14题))


14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4∶5∶6．


15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．


(第15题)








【解】 ∵AC＝AD＝DB，


∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.


设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝eq \f(α,2).


∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－eq \f(α,2).


∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，


∴2α＋102°－eq \f(α,2)＝180°，


解得α＝52°，即∠ADC＝52°.


16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是eq \f(63,2)．


, (第16题)) , (第16题解))


【解】 如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA，由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，


∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)BC·OD＋eq \f(1,2)AC·OF＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋AC)·OD＝eq \f(1,2)×21×3＝eq \f(63,2).


17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是eq \f(24,5)．


,(第17题)) ,(第17题解))


【解】 过点A作AD⊥BC于点D，如解图．


∵AB＝AC＝5，BC＝6，


∴BD＝eq \f(1,2)BC＝3，


∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝4.


易得当BP⊥AC时，BP有最小值．


此时eq \f(1,2)AD·BC＝eq \f(1,2)BP·AC，


得4×6＝5BP，∴BP＝eq \f(24,5).


18．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．


(第18题)


(第18题解)








【解】 如解图，连结C′C.


∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，


∴CM＝A′M＝C′M＝eq \f(1,2)AC＝5，


∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°.


∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5.





(第19题)


19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝eq \f(5,2n＋1)．


【解】 ∵第一个正方形的边长为1，


第二个正方形的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(1)＝eq \f(\r(2),2)，


第三个正方形的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，


……


第n个正方形的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(n－1)，


∴第n个正方形的面积为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(n－1)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2n－1)，


第n个等腰直角三角形的面积为eq \f(1,2n－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2n＋1)，


∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝eq \f(1,2n－1)＋eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(5,2n＋1).





(第20题)


20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处．若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1＋eq \r(3)．


【解】 ∵将△ACD沿直线AD翻折，点C与点E重合，


∴∠AED＝∠ACD＝90°，ED＝CD＝1.


易得当点P与点D重合时，△PEB的周长最小，最小值为BD＋ED＋EB.


∵∠ABC＝60°，∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，


∴BD＝2BE.


设BE＝x，则BD＝2x.


由勾股定理，得12＋x2＝(2x)2，解得x＝eq \f(\r(3),3)，即BE＝eq \f(\r(3),3).∴BD＝eq \f(2 \r(3),3).


∴BD＋ED＋EB＝1＋eq \r(3)，即△PEB的周长的最小值是1＋eq \r(3).


三、解答题(共40分)


21．(6分)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.





(第21题)


【解】 ∵AB＝AC＝AD，


∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.


∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.


∵AD∥BC，


∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝2∠D.


又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.





(第22题)





22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．


【解】 △DEF是等边三角形．理由如下：


∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，


∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，


∴∠AFD＝30°，


∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°.


同理，∠FDE＝∠DEF＝60°.


∴△DEF是等边三角形．





(第23题)





23．(8分)如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.


(1)求证：∠1＝∠2.


(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．


(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．


【解】 (1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，


∴CE＝DE，∴∠1＝∠2.


(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OE＝OE，,EC＝ED，))


∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．∴OC＝OD.


又∵CE＝DE，∴OE是线段CD的垂直平分线．


(3)∵∠1＝30°，∠OCE＝90°，∴∠OCD＝60°.


∵OC＝OD，


∴△OCD是边长为2的等边三角形，


∴CD＝OC＝2，∠COD＝60°，


∴∠COE＝∠DOE＝eq \f(1,2)∠COD＝30°，


∴OE＝2CE.


设CE＝x，则OE＝2x.


由勾股定理，得(2x)2＝x2＋22，


解得x＝eq \f(2\r(,3),3)，即CE＝eq \f(2\r(,3),3)，OE＝eq \f(4\r(,3),3).


∵∠1＝30°，∠EFC＝90°，


∴EF＝eq \f(1,2)CE＝eq \f(\r(3),3)，∴OF＝OE－EF＝eq \r(3)，


∴S△OCD－S△CDE＝eq \f(1,2)·CD·OF－eq \f(1,2)·CD·EF＝eq \f(2\r(,3),3).


24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.


(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．


(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．


(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝2eq \r(,2)，求此时线段CF的长(直接写出结果)．





(第24题)


【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，


∴DF＝BF＝eq \f(1,2)BE，CF＝eq \f(1,2)BE，∴DF＝CF.


∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.


∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF.


∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，


∴∠DFE＝2∠DBF.


同理，∠CFE＝2∠CBF，


∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF.


(2)(1)中的结论仍然成立．


证明：如解图①，延长DF交BC于点G.


∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC.


∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.


∵F为BE的中点，∴EF＝BF.


∴△DEF≌△GBF(AAS)．∴DE＝GB，DF＝GF.


∵AD＝DE，∴AD＝GB.


∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，


即DC＝GC.


∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．


∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF.





(第24题解)


(3)如解图②，延长DF交BA于点H.


∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，


∴AC＝BC，AD＝DE，


∠AED＝∠ABC＝45°.


由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，


∴AE∥BC，


∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.


∵F是BE的中点，∴EF＝BF.


又∵∠DFE＝∠HFB，


∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED＝BH.


∵BC＝AC＝2eq \r(,2)，∠ACB＝90°，∴AB＝4.


∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3.


∵∠BAD＝90°，∴DH＝eq \r(10)，


∴DF＝eq \f(\r(10),2).∴CF＝eq \f(\r(10),2).


25．(10分)问题探究：


(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．


深入探究：


(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．


(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．





(第25题)


【解】 (1)BD＝CE.理由如下：


∵∠BAE＝∠CAD，


∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD.


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴BD＝CE.


(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EA，EB，EC.


∵∠ACD＝∠ADC＝45°，


∴AC＝AD，∠CAD＝90°，


∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD.


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴EC＝BD.


∵AE＝AB＝7，∴BE＝eq \r(72＋72)＝7 eq \r(2).


易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，


∴∠CBE＝45°＋45°＝90°.


∴EC＝eq \r(BE2＋BC2)＝eq \r(（7 \r(2)）2＋32)＝eq \r(107).


∴BD＝EC＝eq \r(107).





(第25题解)


(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E.


∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°.


又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°.


∴AE＝AB＝7，∴BE＝eq \r(72＋72)＝7 eq \r(2).


∵∠ACD＝∠ADC＝45°，


∴∠DAC＝90°＝∠BAE，


∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD.


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴EC＝BD.


又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝7 eq \r(2)－3.