高中第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀练习题

这是一份高中第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十) 弧度制


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )


A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}


B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·2π＋\f(3,4)π，))k∈Z))


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(3π,4)，))k∈Z))


D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(π,4)，))k∈Z))


D [由图知，角α的取值集合为





eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ＋\f(3π,4)，))n∈Z))∪


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ－\f(π,4)，))n∈Z))


＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2n＋1π－\f(π,4)，))n∈Z))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ－\f(π,4)))，n∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)))，k∈Z))．]


2．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )





A B C D


C [当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C．]


3．下列表示中不正确的是( )


A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}


B．终边在y轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))


C．终边在坐标轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))


D．终边在直线y＝x上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)))＋2kπ，k∈Z))


D [D错误，终边在直线y＝x上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))．]


4．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( )


A．120° B．eq \f(2π,3)


C．eq \r(3) D．2


C [设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq \r(3)R，弧长等于eq \r(3)R的圆心角的弧度数为α＝eq \f(\r(3)R,R)＝eq \r(3)．]


5．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq \f(π,6)，则劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))的长为( )





A．eq \f(4π,3) B．π


C．eq \f(2π,3) D．eq \f(π,3)


A [如图，连接AO，OB．





因为∠ACB＝eq \f(π,6)，所以∠AOB＝eq \f(π,3)，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))的长为eq \f(π,3)·r＝eq \f(4π,3)．]


二、填空题


6．已知角α的终边与eq \f(π,3)的终边相同，在[0,2π)内终边与角eq \f(α,3)角的终边相同的角为 ．


eq \f(π,9)，eq \f(7,9)π，eq \f(13,9)π [由题意得α＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，


故eq \f(α,3)＝eq \f(2kπ,3)＋eq \f(π,9)(k∈Z)，


又∵0≤eq \f(α,3)<2π，所以当k＝0,1,2时，


有eq \f(α,3)＝eq \f(π,9)，eq \f(7,9)π，eq \f(13,9)π满足题意．]


7．如图，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是 ．





eq \f(175π,36) [∵40°＝40×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,9)，30°＝30×eq \f(π,180)＝eq \f(π,6)，


∴S＝eq \f(1,2)r2·eq \f(2π,9)＋eq \f(1,2)r2·eq \f(π,6)＝eq \f(175π,36)．]


8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，弦长为40eq \r(3) m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为 m2．(其中π≈3，eq \r(3)≈1．73)


16 [因为圆心角为eq \f(2π,3)，弦长为40eq \r(3) m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为eq \f(1,2)(40eq \r(3)×20＋20×20)＝(400eq \r(3)＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×402－eq \f(1,2)×20×40eq \r(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 600π,3)－400\r(3)))m2，因此两者之差为eq \f(1 600π,3)－400eq \r(3)－(400eq \r(3)＋200)≈16 m2．]


三、解答题


9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．


(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．


[解] (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq \f(5π,12)＝－10π＋eq \f(5π,12)，是第一象限角．


(2)－60°＋360°·k＝－eq \f(π,180)×60＋2π·k＝－eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．


10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．





[解] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋2kπ＜α＜\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z))))．


(2)若将终边为OA的一个角改写为－eq \f(π,6)，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ＜α≤\f(5π,12)))＋2kπ，k∈Z))．


(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ≤α≤\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))．


(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋kπ＜α＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z))))．





1．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转eq \f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转( )





A．eq \f(π,8) B．eq \f(π,4)


C．eq \f(π,2) D．π


B [设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以eq \f(150,2)×eq \f(π,2)＝eq \f(300,2)×θ，解得θ＝eq \f(π,4)，故选B．]


2．角α的终边与eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ ．


－eq \f(11,3)π，－eq \f(5,3)π，eq \f(π,3)，eq \f(7,3)π [与α终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋eq \f(π,3)＜4π，


化简得：－eq \f(13,6)＜k＜eq \f(11,6)，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，


∴α＝－eq \f(11,3)π，－eq \f(5,3)π，eq \f(π,3)，eq \f(7,3)π．]


3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470～1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2．





704 [如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(24＝rθ，,64＝r＋16θ，))解得：r＝eq \f(48,5)，





所以，S＝S扇形OCD－S扇形OAB＝eq \f(1,2)×64×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(48,5)＋16))－eq \f(1,2)×24×eq \f(48,5)＝704 cm2．]


4．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝ ．


[－4，－π]∪[0，π] [如图所示





∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]


5．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：


(1)弧AB的长；


(2)扇形所含弓形的面积．


[解] (1)因为120°＝eq \f(120,180)π＝eq \f(2,3)π，





所以l＝α·r＝eq \f(2,3)π×6＝4π，


所以弧AB的长为4π．


(2)因为S扇形AOB＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4π×6＝12π，


如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，


于是有S△OAB＝eq \f(1,2)AB·OD＝eq \f(1,2)×2×6cs 30°×3＝9eq \r(3)．


所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9eq \r(3)．