高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念精品学案设计

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7.2 三角函数概念


7.2.1 任意角的三角函数








在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？





1．任意角三角函数的定义


在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq \r(x2＋y2)>0)，那么


sin α，cs α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．


思考1：对于确定的角α，sin α，cs α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？


[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．


思考2：若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cs α，tan α的值怎样表示？


[提示] sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)．


2．三角函数在各象限的符号





3．三角函数线


(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；


有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．


(2)三角函数线








1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( )


(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( )


(3)α与α＋π有相同的正切线．( )


[提示] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．


[答案] (1)√ (2)× (3)√


2．若角α的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，则sin α＝ ；cs α＝ ；tan α＝ ．


－eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(2),2) －1 [由题意可知


|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－0))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－0))eq \s\up12(2))＝1，


∴sin α＝eq \f(－\f(\r(2),2),1)＝－eq \f(\r(2),2)；cs α＝eq \f(\f(\r(2),2),1)＝eq \f(\r(2),2)；


tan α＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1．]


3．(1)若α在第三象限，则sin αcs α 0；(填“＞”或“＜”)


(2)cs 3tan 4 0．(填“>”或“<”)


(1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，


∴sin α＜0，cs α＜0，∴sin αcs α＞0．


(2)∵eq \f(π,2)<3<π，π<4

∴3是第二象限角，4是第三象限角．


∴cs 3<0，tan 4>0．∴cs 3tan 4<0．]








【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cs α，tan α的值．


(2)当α＝－eq \f(π,3)时，求sin α，cs α，tan α的值．


[思路点拨] (1)以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cs α，tan α的值．


(2)先求出角α的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求出sin α，cs α，tan α的值．


[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，


所以sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(2,－1)＝－2．


当α的终边在第四象限时，


在α终边上取一点P′(1，－2)，


则r＝eq \r(12＋－22)＝eq \r(5)，


所以sin α＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(－2,1)＝－2．


(2) 当α＝－eq \f(π,3)时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x>0，y<0)


根据直角三角形中锐角eq \f(π,3)的邻边是斜边的一半，得x＝eq \f(1,2)，由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝1，y<0，解得y＝－eq \f(\r(3),2)，


所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))．因此sin α＝eq \f(－\f(\r(3),2),1)＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(\f(1,2),1)＝eq \f(1,2)，tan α＝eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq \r(3)．





1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法


(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．


(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．


2．已知特殊角α，求三角函数值的方法


(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．


(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P到原点的距离r＝1)


3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．





eq \([跟进训练])


1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ．


[解] 由题意知r＝eq \r(x2＋9)，由三角函数定义得cs θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9))．


又∵cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x．


∵x≠0，∴x＝±1．


当x＝1时，P(1,3)，


此时sin θ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，


tan θ＝eq \f(3,1)＝3．


当x＝－1时，P(－1,3)，


此时sin θ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,－1)＝－3．


2． 当α＝eq \f(4π,3)时，求sin α，cs α，tan α的值．


[解] 当α＝eq \f(4π,3)时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x<0，y<0)


根据直角三角形中锐角eq \f(π,3)的邻边是斜边的一半，得x＝－eq \f(1,2)，由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝1，y<0，


解得y＝－eq \f(\r(3),2)， 所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))．因此sin α＝eq \f(－\f(\r(3),2),1)＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(－\f(1,2),1)＝－eq \f(1,2)，tan α＝eq \f(－\f(\r(3),2),－\f(1,2))＝eq \r(3)．


【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P(cs α，tan α)在第 象限．


(2)判断下列各式的符号：


①sin 183°；②tan eq \f(7π,4)；③cs 5．


[思路点拨] 先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．


(1)四 [∵α是第四象限角，


∴cs α>0，tan α<0，


∴点P(cs α，tan α)在第四象限．]


(2)[解] ①∵180°<183°<270°，


∴sin 183°<0；


②∵eq \f(3π,2)

∴tan eq \f(7π,4)<0；


③∵eq \f(3π,2)<5<2π，


∴cs 5>0．





对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.





eq \([跟进训练])


3．判断下列式子的符号：


(1)tan 108°·cs 305°；(2)eq \f(cs \f(5π,6)·tan \f(11π,6),sin \f(2π,3))；


(3)tan 120°·sin 269°．


[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0．


∵305°是第四象限角，∴cs 305°＞0．


从而tan 108°·cs 305°＜0．


(2)∵eq \f(5π,6)是第二象限角，eq \f(11π,6)是第四象限角，eq \f(2π,3)是第二象限角，


∴cs eq \f(5π,6)＜0，taneq \f(11π,6)＜0，sin eq \f(2π,3)＞0．


从而eq \f(cs \f(5π,6)·tan \f(11π,6),sin \f(2π,3))＞0．


(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，


∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0．


从而tan 120°·sin 269°＞0．


[探究问题]


1．在单位圆中，满足sin α＝eq \f(1,2)的正弦线有几条？试在图中明确．


[提示] 两条，如图所示，MP1与NP2都等于eq \f(1,2)．





2．满足sin α≥eq \f(1,2)的角的范围是多少？试在单位圆中给予明确．


[提示] 如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)))≤α≤2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))．





【例3】 求函数f(x)＝eq \r(1－2cs x)＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(\r(2),2)))的定义域．


[思路点拨] 借助单位圆解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0,sin x－\f(\r(2),2)＞0))便可．


[解] 由题意，自变量x应满足不等式组





eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,sin x－\f(\r(2),2)＞0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x≤\f(1,2)，,sin x＞\f(\r(2),2).))


则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，


∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤x＜2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))))．





1．利用三角函数线解三角不等式的方法


(1)正弦、余弦型不等式的解法


对于sin x≥b，cs x≥a(sin x≤b，cs x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．


(2)正切型不等式的解法


对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．


2．利用三角函数线求函数的定义域


解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．





eq \([跟进训练])


4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：


(1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(2)cs α≤－eq \f(1,2)．


[解] (1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))．





(2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))．








1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．


2．本节课要重点掌握的规律方法


(1)三角函数的定义及应用；


(2)三角函数值符号的判断；


(3)三角函数线的画法及应用．


3．本节课的易错点


(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．


(2)画三角函数线的位置以及表示方法．





1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．


由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．


故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]


2．(多选题)下列判断正确的是( )


A．当－eq \f(3π,4)<α<－eq \f(π,2)时，sin α

B．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α等于－eq \f(3,2)


C．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为eq \f(11π,6)．


D．sin 2·cs 3·tan 4>0


ABC [对于A：如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，





观察可知sin α

对于B：由OP2＝eq \f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f(3,4)，y＝±eq \f(\r(3),2)．当y＝eq \f(\r(3),2)时，sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2)．


当y＝－eq \f(\r(3),2)时，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \r(3)，此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2)．所以sin α·tan α＝－eq \f(3,2)．所以B正确．


对于C：因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3)，又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，


所以θ＝eq \f(11π,6)．所以C正确．对于D：因为sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cs 3·tan 4<0，所以D错误．故选ABC．]


3．角α的终边经过点P(－b,4)且cs α＝－eq \f(3,5)，则b的值为 ．


3 [由三角函数的定义可知eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＞0，,\f(b2,b2＋16)＝\f(9,25)，))解得b＝3．]


4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．


[解] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(4t2＋－3t2)＝5|t|，


当t＞0时，r＝5t，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)．


当t＜0时，r＝－5t，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)．


综上可知，sin α＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)；


或sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)


2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)


3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学抽象核心素养．
名称
定义
定义域
正弦
sin α＝eq \f(y,r)
R
余弦
cs α＝eq \f(x,r)
R
正切
tan α＝eq \f(y,x)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
三角函数的定义及应用
三角函数值的符号
应用三角函数线解三角不等式