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    高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念教课内容课件ppt

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念教课内容课件ppt,文件包含722同角三角函数关系pptx、722同角三角函数关系doc等2份课件配套教学资源,其中PPT共56页, 欢迎下载使用。

    7.2.2 同角三角函数关系

    课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.

    素养要求 通过同角三角函数的基本关系式的应用,重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

    1.思考 (1)写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.

     

     

    sin α

    cos α

    tan α

    sin2αcos2α

    30°

     

     

     

     

     

    45°

     

     

     

     

     

    60°

     

     

     

     

     

    提示 下列各角的三角函数值为:

     

     

    sin α

    cos α

    tan α

    sin2αcos2α

    30°

    1

     

    45°

    1

    1

    1

    60°

    1

    由表可看出:

    sin230°cos230°1,  tan  30°

    sin245°cos245°1, tan  45°

    sin260°cos260°1,  tan  60°.

    (2)设角α的终边与单位圆交于点P(xy),根据三角函数的定义知ysin αxcos αtan α.

    能否根据xy的关系得到sin αcos αtan α的关系?

    提示 sin2αcos2α1tan α.

    公式sin2αcos2α1tan α  对任意角都成立吗?

    提示 sin2αcos2α1对任意角α均成立,当αkπkZ时,tan α 成立.

    2.填空 (1)同角三角函数关系

    平方关系:sin2αcos2α1.

    商数关系:tan α(αkπkZ).

    (2)同角三角函数关系的变形

    sin2αcos2α1的变形公式:

    sin2α1cos2αcos2α1sin2α.

    tan α的变形公式:

    sin αcos__αtan__αcos α.

    温馨提醒 同角三角函数的基本关系式中,同角有两层含义,一是角相同,二是对任意一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达式无关,如:sin23αcos23α1sin2(αβ)cos2(αβ)1都成立.

    3.做一做 思考辨析,判断正误

    (1)因为sin2πcos21,所以sin2αcos2β1成立,其中αβ为任意. (  )

    (2)对任意角θsin2cos21都成立.(  )

    (3)对任意角αtan α都成立.(  )

    提示 (1)× 由同角三角函数的基本关系式知,sin2αcos2α1,必须是同一个角的正弦值或余弦值.α为任意角.

    (2) 在sin2αcos2α1,令α可得sin2cos21.

    (3)× 当αkπkZ时不成立.

                  

    题型一 利用同角三角函数关系式求值及切弦互化求值

    1 (1)已知sin α,求cos αtan α的值.

     sin α>0

    α是第一或第二象限角.

    α是第一象限角时,cos α>0tan α>0

    cos α

    tan α

    α是第二象限角时,cos α<0tan α<0

    cos α=-

    =-=-

    tan α=-.

    综上所述,cos αtan αcos α=-tan α=-.

    (2)已知tan α,且α是第三象限角,求sin αcos α的值.

     由tan α,得

    sin αcos α.

    sin2αcos2α1

    ①②cos2αcos2α1,即cos2α.

    α是第三象限角,

    cos α=-sin αcos α=-.

    迁移1 在例1(2)的条件下,求的值.

     法一(代入法) tan α

    sin αcos α

    原式=

    =-.

    法二(弦化切) 

    =-.

    迁移2 在例1(2)的条件下,求2sin2αsin αcos αcos2α的值.

     法一(代入法) 由(迁移1)sin αcos α

    sin2αcos2α1

    cos2αcos2α1,即cos2α.

    2sin2αsin αcos αcos2α2×cos2αcos2αcos2αcos2α×.

    法二(弦化切) 2sin2αsin αcos αcos2α

    .

    思维升华 (1)已知sin α(cos αtan α)求其他两个三角函数值,即知一求二时,常用以下方式求解.

    (2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.

    (3)已知tan α的值,求关于sin αcos α齐次式的值时,对齐次分式可分子、分母同时除以cos αcos2α,将正弦、余弦转化正切,从而求值;对于二次齐次整式,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2αcos2α,从而分子、分母同除cos2α进行求值.

    训练1 (1)已知cos α=-,求sin αtan α的值.

    解 cos α=-<0

    α是第二或第三象限角,

    α是第二象限角时,则

    sin α

    tan α=-.

    α是第三象限角时,则

    sin α=-=-tan α.

    (2)已知tan α=-4,求3sin αcos α的值.

     3sin αcos α

    =-.

    .

    题型二 sin α±cos α型的求值问题

    2 已知sin θcos θ(0<θ<π),求sin θcos θsin θcos θ的值.

     因为sin θcos θ(0<θ<π)

    所以(sin θcos θ)2

    sin2θ2sin θcos θcos2θ

    所以sin θcos θ=-.

    由上知θ为第二象限角,

    所以sin θcos θ>0

    所以sin θcos θ

    .

    思维升华 已知sin α±cos αsin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:

    (1)(sin αcos α)212sin αcos α

    (2)(sin αcos α)212sin αcos α

    (3)(sin αcos α)2(sin αcos α)22

    (4)(sin αcos α)2(sin αcos α)24sin αcos α.

    上述三角恒等式告诉我们,已知sin αcos αsin αcos αsin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.

    训练2 ABC中,已知sin Acos A.

    (1)sin Acos A的值;

    (2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形;

    (3)tan A的值.

     (1)sin Acos A

    两边平方得12sin AcosA

    sin Acos A=-.

    (2)sin Acos A=-<0,且0<A

    可知cos A<0A为钝角,∴△ABC是钝角三角形.

    (3)(sin Acos A)212sin Acos A1

    sin A>0cos A<0

    sin Acos A>0sin Acos A.

    ①②可得sin Acos A=-

    tan A=-.

    题型三 利用同角三角函数关系式化简

    3 化简:

    (1)

    (2)

    (3)sin2αtan α2sin αcos α.

     (1)原式=

    =-2tan2α.

    (2)原式=

    1.

    (3)原式=sin2α·cos2α·2sin αcos α

    .

    思维升华 三角函数式的化简技巧

    (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.

    (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.

    (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2αcos2α1,以降低函数次数,达到化简的目的.

    训练3 化简:sin2αsin2βsin2αsin2βcos2αcos2β________.

    答案 1

    解析 原式=sin2αsin2β(1sin2α)cos2αcos2β

    sin2αsin2βcos2αcos2αcos2β

    sin2αcos2α(sin2βcos2β)

    sin2αcos2α1.

    题型四 利用同角三角函数关系式证明

    4 求证:.

    证明 法一 因为左边

    =右边,

    所以原等式成立.

    法二 因为右边=

    =左边,

    所以原等式成立.

    思维升华 证明三角恒等式的思路

    (1)从一边开始证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则;

    (2)证明左右两边等于同一个式子;

    (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1

    (4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.

    训练4 求证:.

    证明 右边=

    =左边,

    原等式成立.

    [课堂小结]

    1.掌握2个关系

    (1)平方关系:sin2 αcos2α1.

    (2)商数关系:tan α(αkπkZ).

    2.掌握3个应用

    同角三角函数关系

    3.注意1个易错点

    求值时,若α的范围无法确定,则一定要对α所在象限分类讨论.

                  

     

    一、基础达标

    1.(多选)如果α是第二象限角,则下列各式中成立的是(  )

    A.tan α=-

    B.cos α=-

    C.sin α=-

    D.tan α

    答案 BD

    解析 由商数关系可知A不正确,D正确;当α为第二象限角时, cos α<0sin α>0,故B正确,C不正确.

    2.已知sin αcos α=-,则sin αcos α等于(  )

    A.       B.    C.                                                                        D.

    答案 C

    解析 因为sin αcos α=-,两边平方可得12sin α·cos α,所以2sin αcos α=-,即sin αcos α=-.

    3.已知sin α=-,且α为第四象限角,则tan α(  )

    A.    B.       C.                                             D.

    答案 B

    解析 sin α=-α为第四象限角,

    cos αtan α=-.

    4.已知α是三角形的一个内角,且sin αcos α,那么这个三角形的形状为(  )

    A.锐角三角形      B.钝角三角形

    C.等边三角形      D.等腰直角三角形

    答案 B

    解析 sin αcos α

    (sin αcos α)2

    12sin αcos α

    sin α·cos α=-<0.

    α是三角形一内角,

    α,即三角形为钝角三角形.

    5.化简sin2αcos4αsin2αcos2α的结果是(  )

    A.      B.      C.1                                                          D.

    答案 C

    解析 原式=sin2αcos2α(cos2αsin2α)sin2αcos2α1.

    6.化简(1tan215°)·cos215°________.

    答案 1

    解析 (1tan215°)cos215°·cos215°

    ·cos215°1.

    7.α是第三象限角且cos α=-,则sin α________tan α________.

    答案 - 

    解析 α是第三象限角且cos α=-

    sin α=-=-

    tan α.

    8.已知cos α=-,且tan α>0,则________.

    答案 

    析 cos α<0tan α>0α是第三象限角,所以sin α=-

    故原式=sin α(1sin α)

    ×=-.

    9.求证:·1.

    证明 ·

    ·

    ·

    1.

    10.已知sin α2cos α

    (1)tan α的值;

    (2)的值.

     (1)因为sin α2cos α,所以sin α2cos α

    代入sin2αcos2α1可得5cos2α4cos α40,所以(cos α2)20,故cos αsin α,所以tan α.

    (2)因为

    所以将tan α代入,

    得原式=.

    二、能力提升

    11.已知sin θcos θ,则sin θcos θ等于(  )

    A.    B.       C.                                                           D.

    答案 B

    解析 由(sin θcos θ)212sin θcos θ,得2sin θcos θ

    (sin θcos θ)212sin θcos θ

    0<θ<,知sin θcos θ<0

    所以sin θcos θ=-.

    12.已知sin α3cos α,则sin2αcos2α________.

    答案 

    解析 sin α3cos αtan α3

    sin2αcos2α

    .

    13.证明:sin α(1tan α)cos α.

    证明 左边=sin αcos α·sin α·cos α·

    =右边,

    原等式成立.

    三、创新拓展

    14.(1)分别计算cos4sin4cos2sin2cos的值,你有什么发现?

    (2)分别计算cos4sin4cos2sin2cos的值,你有什么发现?

    (3)证明:xRcos2xsin2xcos4xsin4x.

    (4)推测xRcos2xsin2xcos 2x的关系,不需证明.

    (1)解 cos4sin4

    cos2sin2

    cos2sin2

    cos .

    (2)解 cos4sin4

    cos2sin20

    cos2sin20cos 0.

    (3)证明 cos4xsin4x(cos2xsin2x)·(cos2xsin2x)cos2xsin2x.

    (4)解 推测cos2xsin2xcos 2x.

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