高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念课时作业

7.2.2　同角三角函数关系

基础过关练

题组一　利用同角三角函数关系求值

1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.- B.- C. D.

2.已知tan α=,α∈,则cos α=(　　)

A.± B. C.- D.

3.已知sin α=-,且α是第四象限角,则tan α=　　　. 

4.(2019江苏连云港灌南华侨双语学校高一月考)已知sin θ-cos θ=,则sin θcos θ的值是　　　　. 

5.已知cos α=-,tan α>0,则=　　　　. 

题组二　利用同角三角函数关系化简与证明

6.化简的结果是(　　)

A.cos 160° B.±|cos 160°|

C.±cos 160° D.-cos 160°

7.化简:(1+tan2α)·cos2α=　　　　. 

8.已知,则=　　　　. 

9.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.

题组三　齐次式的求值问题

10.(2020广东佛山南海中学高三模拟)已知sin α=2cos α,则sin αcos α=(　　)

A.- B.- C. D.

11.(2020江苏南通如皋中学高一上学期期末)若tan θ=2,则2sin2θ-3sin θcos θ=(　　)

A.10 B.± C.2 D.

12.已知=2,则sin θcos θ的值是(　　)

A. B.± C. D.-

13.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=　　　　. 

14.已知tan α=,求下列各式的值.

(1);

(2);

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.

能力提升练

题组一　利用同角三角函数关系式求值

1.(2020江苏连云港海头高级中学月考,)已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则tan α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.- B. C.- D.

2.(2020安徽阜阳颍上二中高一阶段考试,)已知sin α+cos α=-,且,则cos α-sin α的值为(　　)

A.- B. C.- D.

3.(多选)()若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)

A.tan α=-

B.=sin α-cos α

C.cos α=-

D.=sin α+cos α

4.()设a>0,a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x=　　　　. 

5.(2020江苏连云港灌南华侨双语学校高一月考,)已知0<x<π,sin x+cos x=.

(1)求sin x-cos x的值;

(2)求tan x的值.

题组二　利用同角三角函数关系式化简与证明

6.(2018河北卓越联盟高一下学期月考,)已知α为第四象限角,cos α +sin α的化简结果为(　　)

A.2-sin α-cos α B.sin α+cos α-2

C.sin α-cos α D.cos α-sin α

7.(2018江苏扬州中学高一月考,)求证:.

题组三　齐次式的求值问题

8.(2020江苏丰县民族中学高一期中,)已知P(-,y)为角β的终边上一点,且sin β=,则=(　　)

A.± B.- C. D.±2

9.(多选)()下列计算或化简结果正确的有(　　)

A.若sin θ·cos θ=,则tan θ+=2

B.若tan x=,则=1

C.若sin α=,则tan α=2

D.若α为第一象限角,则=2

10.()(1)已知sin α+cos α=,求sin αcos α及sin4α+cos4α的值;

(2)已知tan α=-,计算的值.

答案全解全析

7.2.2　同角三角函数关系

基础过关练

1.A　因为α是第二象限角,所以cos α<0,

所以cos α=-.

2.C　因为tan α=,

所以sin α=cos α.

又因为sin2α+cos2α=1,

所以+cos2α=1,

整理得cos2α=,解得cos α=±.

又因为α∈,所以cos α<0,

所以cos α=-.

3.答案　-

解析　∵α是第四象限角,∴cos α>0,tan α<0.∵sin α=-,∴cos α=,∴tan α=.

4.答案　

解析　由sin θ-cos θ=,平方可得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1-2sin θcos θ=,

则sin θcos θ=.

5.答案　-

解析　由cos α=-<0,tan α>0知α是第三象限角,则sin α=-,

故

=sin α(1+sin α)=.

6.D　因为160°为第二象限角,

所以=|cos 160°|=-cos 160°,故选D.

7.答案　1

解析　原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.

8.答案　-

解析　由1-sin2x=cos2x,得=1,

即=1,

可得.

9.证明　因为tan2α=2tan2β+1,

所以tan2α+1=2tan2β+2,

所以,

所以,

所以cos2β=2cos2α,

所以1-sin2β=2(1-sin2α),

即sin2β=2sin2α-1.

10.C　由题意得tan α=2,

则sin αcos α=.故选C.

11.D　已知tan θ=2,则2sin2θ-3sin θcos θ=,

故选D.

12.C　解法一:由=2,得=2,解得tan θ=3,故sin θcos θ=,故选C.

解法二:由题意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),则(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2,

解得sin θcos θ=.

13.答案　10

解析　根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义式,可以求得tan α=,则=10.

14.解析　(1),将tan α=代入,

原式=.

(2),

将tan α=代入,原式=.

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α

=

=,

将tan α=代入,原式=.

能力提升练

1.C　因为sin α+cos α=,

所以1+2sin αcos α=,

所以2sin αcos α=-,

又因为α∈(0,π),

所以sin α>0,cos α<0,

所以1-2sin αcos α=,

即(sin α-cos α)2=,

所以sin α-cos α=,

所以sin α=,cos α=-,

所以tan α=,

故选C.

2.B　∵sin α+cos α=-,

∴(sin α+cos α)2=,

即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,

所以2sin αcos α=,

所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,

因为,所以cos α>sin α,所以cos α-sin α=,故选B.

3.BC　由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错误;因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以=sin α-cos α,cos α=-,所以B,C正确,D错误.故选BC.

4.答案　1

解析　已知a>0,a≠1,∵loga(sin x-cos x)=0,∴sin x-cos x=a0=1,

∴(sin x-cos x)2=1,

又∵sin2x+cos2x=1,∴sin x·cos x=0,

∴(sin x+cos x)2=1,

∴sin8x+cos8x=(sin4x-cos4x)2+2sin4x·cos4x

=[(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)]2+2sin4x·cos4x

=[(sin x+cos x)(sin x-cos x)]2+0

=(sin x+cos x)2(sin x-cos x)2=1.

5.解析　(1)∵sin x+cos x=,

∴(sin x+cos x)2=1+2sin x·cos x=,

∴2sin xcos x=-,

又∵0<x<π,∴sin x>0,

∵2sin xcos x=-<0,∴cos x<0,

∴sin x-cos x>0,∴sin x-cos x=.

(2)由(1)知,

∴,

∴tan x=-.

6.D　因为α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,

根据题意可知

cos α+sin α

=cos α·+sin α·

=

=1-sin α-1+cos α

=cos α-sin α,故选D.

7.证明　证法一:左边=

=

==右边.

故原等式成立.

证法二:右边=

=

=

==左边.

故原等式成立.

8.B　因为|OP|=,所以由正弦函数的概念可得,解得y=,所以tan β=,所以,故选B.

9.AD　A正确,tan θ+=2;

B不正确,=2;

C不正确,∵α的范围不确定,∴tan α的符号不确定;

D正确,∵α为第一象限角,∴原式==2.故选AD.

10.解析　(1)∵sin α+cos α=,两边平方并化简得1+2sin αcos α=2,

∴sin αcos α=,

∴sin4α+cos4α

=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α

=1-2(sin αcos α)2=1-2×.

(2)∵tan α=-,∴=-5.