苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第2课时同步达标检测题

第7章三角函数

7.2　三角函数概念

7.2.3　三角函数的诱导公式

第2课时　诱导公式五、六

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知sin 25.3°=a,则cos 115.3°=(　　)

A.a B.-a

C.a2 D.

答案B

解析cos 115.3°=cos(90°+25.3°)=-sin 25.3°=-a.

2.已知sin(π+α)=,则cosα-π的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析由sin(π+α)=得sin α=-,所以cosα-π=cosπ-α=-sin α=,故选A.

3.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　)

A. B. C.- D.-

答案D

解析sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-2cos(α+75°)=-2×=-.故选D.

4.若cos α=,且α是第四象限角,则tanα+=　　　　. 

答案

解析由题意得sin α=-=-,

所以tanα+=tan+α==-=-.

5.若已知tan(3π+α)=2,则

=　　　　　　. 

答案2

解析∵tan(3π+α)=2,∴tan α=2,

∴原式=

=

==2.

6.已知角α的终边在第三象限,与单位圆的交点为A-,y0.

(1)求y0的值;

(2)求tan(α-3π)sin2-α+2cos+αcos(π-α)的值.

解(1)由题意,角α的终边在第三象限,与单位圆的交点为A-,y0,则OA==1,解得y0=-.

(2)由(1)可知sin α=-,cos α=-,tan α=2,则tan(α-3π)sin2-α+2cos+αcos(π-α)=tan αcos2α+2sin αcos α=sin αcos α+2sin αcos α=3sin αcos α=.

7.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求的值.

解因为5x2-7x-6=0的两根为x=2或x=-,

又因为α为第三象限角,

所以sin α=-,

所以cos α=-=-.

所以tan α=.

故原式=

=tan α=.

关键能力提升练

8.已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)

A.sin(-x)=-sin x

B.sin-x=-cos x

C.cos+x=tan x

D.cos(π-x)=cos x

答案A

解析sin(-x)=-sin x,故A恒成立;sin-x=cos x≠-cos x,故B不成立;cos+x=-sin x,故C不成立;cos(π-x)=-cos x,故D不成立.

9.tan 210°+sin 300°=(　　)

A.- B. C. D.-

答案A

解析tan 210°+sin 300°=tan(180°+30°)+sin(360°-60°)=tan 30°-sin 60°==-.

10.如果角θ的终边经过点-,那么sin+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)等于(　　)

A.- B. C. D.-

答案B

解析易知sin θ=,cos θ=-,tan θ=-.原式=cos θ-cos θ-tan θ=.

11.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则=(　　)

A.-2 B.2 C.0 D.

答案B

解析由已知可得,tan θ=2,则原式==2.

12.已知α为锐角,2tan(π-α)-3cos+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是 (　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由已知可知-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,所以tan α=3.又tan α=,所以9=.所以sin2α=.因为α为锐角,所以sin α=.

13.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)

A.sin(-x)=sin x

B.sin-x=cos x

C.cos+x=-sin x

D.若θ∈,π,则=sin θ-cos θ

答案CD

解析∵sin(-x)=-sin x,故A不成立;

∵sin-x=-cos x,故B不成立;

∵cos+x=-sin x,故C成立;

,

原式==|sin θ-cos θ|,

∵θ∈,π,∴sin θ>0,cos θ<0,

∴sin θ-cos θ>0,

∴=sin θ-cos θ.故D成立.

14.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)

A.sin β= B.cos(π+β)=

C.tan β= D.tan β=

答案AC

解析∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,

若α+β=,则β=-α.

A中,sin β=sin-α=cos α=±,故A符合条件;

B中,cos(π+β)=-cos-α=-sin α=-,故B不符合条件;

C中,tan β=,即sin β=cos β,

又sin2β+cos2β=1,

所以sin β=±,故C符合条件;

D中,tan β=,

即sin β=cos β,

又sin2β+cos2β=1,

所以sin β=±,故D不符合条件.

15.化简:=　　　　. 

答案-1

解析原式==-1.

16.已知sinθ-=,则sinθ+=　　　　　,cosθ-=　　　　. 

答案-

解析sinθ+=sinπ+θ-

=-sinθ-=-.

cosθ-=cosθ--

=sinθ-=.

17.已知cos+α=2sinα-,则=　　　　. 

答案

解析因为cos+α=2sinα-,

所以sin α=2cos α.

原式=.

18.(2021黑龙江大庆检测)已知sin α=-,且α是第　　　　象限角. 

从①一,②二,③三,④四这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:

(1)求cos α,tan α的值;

(2)化简求值:.

解(1)因为sin α=-,

所以α为第三象限或第四象限角;

若选③,cos α=-=-,

tan α=;

若选④,cos α=,tan α==-;

(2)原式=

==cos2α

=1--2=.

19.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.

解由条件,得

①2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=.

又α∈,∴α=或α=-.

将α=代入②,得cos β=.

又β∈(0,π),∴β=,代入①可知符合.

将α=-代入②得cos β=,

又β∈(0,π),∴β=,代入①可知不符合.

综上可知,存在α=,β=满足条件.

学科素养拔高练

20.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么

(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?

(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.

(1)解由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cos A1>0,cos B1>0,cos C1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形.

(2)证明由题意可知

若A2,B2,C2全为锐角,则

A2+B2+C2=-A1+-B1+-C1=-(A1+B1+C1)=,不合题意.

又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π,故必有一个角为钝角.