高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品第2课时2课时教案设计

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品第2课时2课时教案设计，共12页。







1．会解简单的分式不等式．


2．会解不等式恒成立问题．


3．会利用一元二次不等式解决一些实际问题.





1．如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的相关位置？


[答案] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac三种取值情况(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)来确定


2．若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？


[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1＋4a<0，))，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R





题型一 解简单的分式不等式


【典例1】 解下列不等式：


(1)eq \f(x＋2,1－x)<0；(2)eq \f(x＋1,x－2)≤2.


[思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得．


[解] (1)由eq \f(x＋2,1－x)<0，得eq \f(x＋2,x－1)>0，


此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，


∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．


(2)解法一：移项得eq \f(x＋1,x－2)－2≤0，


左边通分并化简得eq \f(－x＋5,x－2)≤0，即eq \f(x－5,x－2)≥0，


它的同解不等式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))


∴x<2或x≥5.


∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．


解法二：原不等式可化为eq \f(x－5,x－2)≥0，


此不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≥0，,x－2>0，))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≤0，,x－2<0，))②


解①得x≥5，解②得x<2，


∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．





(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．


(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．


[针对训练]


1．解下列不等式：


(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；


(2)eq \f(2－x,x＋3)>1.


[解] (1)原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－13x＋1≥0，,3x＋1≠0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,3)或x≥\f(1,2)，,x≠－\f(1,3)，))


∴x<－eq \f(1,3)或x≥eq \f(1,2)，


∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,3)或x≥\f(1,2))))).


(2)解法一：原不等式可化为


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,2－x>x＋3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3<0，,2－x

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－3，,x<－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－3，,x>－\f(1,2)，))


∴－3

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

解法二：原不等式可化为eq \f(2－x－x＋3,x＋3)>0，


化简得eq \f(－2x－1,x＋3)>0，即eq \f(2x＋1,x＋3)<0，


∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

题型二 有关一元二次不等式恒成立的问题


【典例2】 已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．


[思路导引] 原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a，故应分a＝0与a≠0两种情况分类讨论．


[解] 若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即x>－1，不合题意，故a≠0.


令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，


∵原不等式对任意x∈R都成立，


∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，


∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a－13a＋1>0))


∴a<－eq \f(1,3).


[变式] 若将本例改为：不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，如何求a的取值范围？


[解] 不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，


即不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0的解集为R，也就是不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对任意的x∈R恒成立．故a的取值范围是a<－eq \f(1,3).





不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))


一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))


一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))


[针对训练]


2．设a≠0，不等式ax2－x＋a>0的解集为R，求实数a的取值范围．


[解] 由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－4a2<0))


解得：a>eq \f(1,2).∴a的取值范围为a>eq \f(1,2).


题型三 一元二次不等式的实际应用


【典例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．


(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；


(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．


[思路导引] (1)按“税收＝收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式；(2)将不等关系用不等式表示，从而求解．


[解] (1)降低税率后的税率为(10－x)%，


农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，


收购总金额为200a(1＋2x%)万元．


依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%


＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．


依题意得：eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，


化简得，x2＋40x－84≤0，


∴－42≤x≤2.


又∵0

∴x的取值范围是0




一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．


[针对训练]


3．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．


[解] 由题意列出不等式


S甲＝0.1x＋0.01x2>12，


S乙＝0.05x＋0.005x2>10.


分别求解，得


x<－40，或x>30.


x<－50，或x>40.


由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.


经比较知乙车超过限速，应负主要责任．


课堂归纳小结


1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来.


2.当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可.





1．不等式eq \f(x－2,x＋3)>0的解集是( )


A．{x|－32}


C．{x|x<－3或x>2} D．{x|x<－2或x>3}


[解析] 不等式eq \f(x－2,x＋3)>0⇔(x－2)(x＋3)>0的解集是{x|x<－3或x>2}，所以C选项是正确的．


[答案] C


2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))\f(x－2,x)≤0))，则A∩B＝( )


A．{x|－1≤x<0} B．{x|0

C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}


[解析] ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0

[答案] B


3．若不等式x2＋mx＋eq \f(m,2)>0的解集为R，则实数m的取值范围是( )


A．m>2 B．m<2


C．m<0或m>2 D．0

[解析] 由题意得Δ＝m2－4×eq \f(m,2)<0，即m2－2m<0，解得0

[答案] D


4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )


A．－4≤a≤4 B．－4

C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4


[解析] 依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.


[答案] A


5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0

A．100台 B．120台 C．150台 D．180台


[解析] 3000＋20x－0.1x2≤25x


⇔x2＋50x－30000≥0，


解得x≤－200(舍去)或x≥150.


[答案] C


课后作业(十四)


复习巩固


一、选择题


1．不等式eq \f(4x＋2,3x－1)>0的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2)))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－\f(1,2)

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－\f(1,2)))


[解析] eq \f(4x＋2,3x－1)>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>eq \f(1,3)或x<－eq \f(1,2)，此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2))).


[答案] A


2．不等式eq \f(2－x,x＋1)<1的解集是( )


A．{x|x>1} B．{x|－1

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－1或x>\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－1

[解析] 原不等式等价于eq \f(2－x,x＋1)－1<0⇔eq \f(1－2x,x＋1)<0⇔(x＋1)·(1－2x)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或


x>eq \f(1,2).


[答案] C


3．不等式eq \f(x＋5,x－12)≥2的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤x≤\f(1,2)))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<1或1

D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1))))


[解析] ∵原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5≥2x－12，,x≠1，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－5x－3≤0，,x≠1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))


即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1)))).


[答案] D


4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )





A．15≤x≤30 B．12≤x≤25


C．10≤x≤30 D．20≤x≤30


[解析] 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.


[答案] C


5．设集合P＝{m|－4

A．PQ B．QP


C．P＝Q D．P∩Q＝Q


[解析] 对Q：若mx2－mx－1<0对x∈R恒成立，则：①当m＝0时，－1<0恒成立．②当m≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4

由①②得Q＝{m|－4

[答案] A


二、填空题


6．不等式eq \f(x＋1,x)≤3的解集为________．


[解析] eq \f(x＋1,x)≤3⇔eq \f(x＋1,x)－3≤0⇔eq \f(2x－1,x)≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥eq \f(1,2).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<0或x≥\f(1,2)))


7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．


[解析] 由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥eq \f(4,3).


[答案] m≥eq \f(4,3)


8．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．


[解析] 由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4

[答案] －4

三、解答题


9．解下列分式不等式：


(1)eq \f(x＋1,2x－3)≤1；


(2)eq \f(2x＋1,1－x)<0.


[解] (1)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，


∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，


解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).


(2)由eq \f(2x＋1,1－x)<0得eq \f(x＋\f(1,2),x－1)>0，


此不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(x－1)>0，


解得x<－eq \f(1,2)或x>1，


∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>1)))).


10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．


[解] 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，


所以a＝2时成立．


当a－2≠0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ<0.))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,4a－22－4a－2－4<0.))解得－2

综上所述可知：－2

综合运用


11．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是


________.


[解析] 根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－eq \f(1,2)

[答案] －eq \f(1,2)

12．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合为________．


[解析] ①当a＝0时，满足题意；


②当a≠0时，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0，))解得0

综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}．


[答案] {a|0≤a≤4}


13．已知关于x的不等式eq \f(ax－1,x＋1)<0的解集是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－1或x>－\f(1,2)))，则a＝________.


[解析] eq \f(ax－1,x＋1)<0⇔(ax－1)(x＋1)<0，根据解集的结构可知，a<0且eq \f(1,a)＝－eq \f(1,2)，∴a＝－2.


[答案] －2


14．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．


[解析] ∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．


令y＝－2x2＋9x.


∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝eq \f(9,4)，


∴ymin＝9，∴a<9.


∴a的取值范围为a<9.


[答案] a<9


15．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.


(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；


(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?


注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．


[解] (1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至eq \f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))


(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．


(2)依题意，有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))


整理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))解此不等式，得0.60≤x≤0.75.


∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.