2020届二轮复习两条平行直线间的距离教案（全国通用）
展开2020届二轮复习 两条平行直线间的距离 教案（全国通用）
重点难点
教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.
教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.
思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?
②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？
③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)
活动：
①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:
(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；
(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.
观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=?
学生应能得到猜想：d=.
启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)
证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).
∴P′N=. (*)
∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,
∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.
代入(*)得|P′N|=
即d=,.
②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.
证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.
又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.
讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.
②当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.
应用示例
思路1
例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.
(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.
点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.
变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.
解:=4|3a-6|=20a=20或a=.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.
解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.
|AB|=，
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.
点C到x+y-4=0的距离为h=，
因此，S△ABC=×=5.
点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
变式训练
求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.
解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.
例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,
d=.
点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.
变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.
答案：.
知能训练
课本本节练习.
拓展提升
问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.
解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，
则直线MO′的方程为y-3=x.
直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，
相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.
作业
课本习题3.3 A组9、10；B组2、4.
设计感想
对本节课的教学内容的处理，各种版本的教材的手段不尽相同.“北师大版”给出的方法是先求两条互相垂直的直线的交点坐标再计算距离，并没有推导公式的过程，重在求解过程的“流程”，而不在意运算的繁琐，有让学生感性认识“算法”的味道；“人教版”和“苏教版”思路基本相同，都是先引导学生探索和“北师大版”中的方法一样的解法，但不展现其推导过程，然后采用作辅助线构造直角三角形以简化运算的方法进行公式推导.“苏教版”还用了从具体到抽象的方法以降低思维难度.但为什么会想到要构造直角三角形,这一最需要学生探索的过程无法展现.为解决这个问题，本节课拟吸收各版本的精华，采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.
