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2020届二轮复习小题考法——三角恒等变换与解三角形课时作业(全国通用)

试卷
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课时跟踪检测(三)小题考法——三角恒等变换与解三角形

A——107提速练

一、选择题

1.已知ABC中,ABa1,则b(  )

A2          B1

C   D

解析:D 由正弦定理,得,即,所以b,故选D.

2.在ABC中,内角ABC的对边分别是abc,若c2absin Basin A

asin C,则sin B(  )

A.   B

C.   D

解析:A 由bsin Basin Aasin C,得b2a2acc2aba

cos B,则sin B.

3(2019届高三·温州十校联考)ABC中,若tan Atan B>1,则ABC(  )

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.无法确定

解析:A 因为AB都为三角形中的内角,

tan Atan B>1,得1tan Atan B<0

tan A>0tan B>0,即AB为锐角,

所以tan(AB)<0

AB,即C为锐角,

所以ABC是锐角三角形.

4.已知sin β,且sin(αβ)cos α,则tan(αβ)(  )

A.-2    B2

C.-    D

 

解析:A sin β,且<β

cos β=-tan β=-.

sin(αβ)sin αcos βcos αsin βcos α

tan α=-

tan(αβ)=-2.

5.在ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,且2asin A(2sin Bsin C)b(2cb)sin C,则A(  )

A60°   B120°

C30°   D150°

解析:B 由已知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理a2b2c22bccos A,得cos A=-,又A为三角形的内角,故A120°.

6.在ABC中,内角ABC的对边分别是abc,已知b2c2,且C,则ABC的面积为(  )

A1   B1

C2   D

解析:B 由正弦定理,得sin B,又c>b,且B(0π),所以B,所以A,所以ABC的面积Sbcsin A×2×2sin×2×2×1.

7(2018·衢州期中)ABC中,若B2Aa1b,则c(  )

A2   B2

C.   D1

解析:B 在ABC中,B2Aa1b

由正弦定理

可得

cos AABCπAB

c2.

8.在ABC中,A60°BCDAB边上不同于AB的任意一点,CDBCD的面积为1,则AC的长为(  )

A2   B

C   D

解析:D 由SBCD1,可得×CD×BC×sinDCB1,即sinDCB,所以cosDCBcosDCB=-,又DCB<ACB180°AB120°B<120°,所以cosDCB>,所以cosDCB.BCD中,cosDCB,解得BD2,所以cosDBC,所以sinDBC.

ABC中,由正弦定理可得AC,故选D.

9(2019届高三·台州中学检测)ABC中,若AB1BC2,则角C的取值范围是(  )

A.   B.

C.   D.

解析:A 因为cAB1aBC2bAC.根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可知1<b<3,根据余弦定理cos C(a2b2c2)(4b21)(3b2)2.所以0<C.故选A.

10(2018·济南外国语学校月考)ABC的内角ABC的对边分别为abc.已知sin(BA)sin(BA)2sin 2A,且cC,则ABC的面积是(  )

A B3

C1   D3

解析:A ABC中,CBABA2Asin(BA)sin(BA)2sin 2Asin Csin2sin 2A,即sin Ccos 2Asin 2A2sin 2A,整理得sinsin Csin.A2A,解得A.A时,Btan C,解得aSABCacsin B;当A时,Btan C,解得bSABCbc.综上,ABC的面积是.

二、填空题

11.在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,已知B30°ABC的面积为,且sin Asin C2sin B,则b的值为________

解析:由已知可得acsin 30°,解得ac6.因为sin Asin C2sin B,所以由正弦定理可得ac2b.由余弦定理知b2a2c22accos B(ac)22acac4b2126,解得b242b1b=-1(舍去)

答案1

12(2018·温州期中)ABC中,内角ABC的对边分别为abc,若a1b2cos B,则c________ABC的面积S________.

解析:a1b2cos B

由余弦定理b2a2c22accos B,可得2212c22×1×c×,整理得2c2c60

解得c2(负值舍去)

sin B

SABCacsin B×1×2×.

答案:2 

13(2018·浙江高考)已知ABCABAC4BC2.DAB延长线上一点,BD2,连接CD,则BDC的面积是________cosBDC________.

解析:ABC中,ABAC4BC2,由余弦定理得cosABC

sinABCsinCBD

所以SBDCBD·BCsinCBD×2×2×.

因为BDBC2,所以CDBABC

cosCDB.

答案: 

14.在ABC中,AD为边BC上的中线,AB1AD5ABC45°,则sinADC________AC________.

解析:ABD中,由正弦定理,得,所以sinADB×sinABC×sin 45°

所以sinADCsin(180°ADB)sinADB.

由余弦定理,

AD2AB2BD22AB·BDcosABD

所以5212BD22BDcos45°,得BD4

因为ADABC的边BC上的中线,

所以BC2BD8.

ABC中,由余弦定理,得AC2AB2BC22AB·BCcosABC12(8)22×1×8×cos 45°113,所以AC.

答案 

15.在ABC中,内角ABC所对的边分别为abc.已知AbABC的面积为,则c________B________.

解析:SABCbcsin A××c×,得c1.ABC中,由余弦定理得a2b2c22bccos A6(42)2×(1)×4,则a2.由正弦定理,可得sin B,因为b<c,所以B为锐角,所以B.

答案1 

16.钝角三角形ABC的面积是AB1BC,则AC________.

解析:由题意可得AB·BC·sin B,又AB1BC,所以sin B,所以B45°B135°.B45°时,由余弦定理可得AC1,此时ACAB1BC,易得A90°,与钝角三角形条件矛盾,舍去.所以B135°.由余弦定理可得AC.

答案:

17.已知ABC的内角ABC所对的边分别为abcBC边上的中线长为2,高线长为,且btan A(2cb)tan B,则bc的值为________

解析:因为btan A(2cb)tan B,所以1,所以1,根据正弦定理,得1,即.因为sin(AB)sin C0sin B0,所以cos A,所以A.BC边上的中线为AM,则AM2,因为MBC的中点,所以(),即2(222·),所以c2b2bc32 .BC边上的高线为AH,由SABCAH·BCbc·sin A,得bc,即bc2a ,根据余弦定理,得a2c2b2bc ,联立①②③2322bc,解得bc8bc=-16(舍去)

答案:8

B——能力小题保分练

1.在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,若ABC的面积为S,且2S(ab)2c2,则tan C(  )

A    B

C.-    D.-

解析:C 因为2S(ab)2c2a2b2c22ab,结合面积公式与余弦定理,得absin C2abcos C2ab,即sin C2cos C2,所以(sin C2cos C)24,即4,所以4,解得tan C=-tan C0(舍去),故选C.

2.在锐角ABC中,内角ABC的对边分别为abc,且满足(ab)(sin Asin B)(cb)·sin C.若a,则b2c2的取值范围是(  )

A(5,6]   B(3,5)

C(3,6]   D[5,6]

解析:A 由正弦定理可得,(ab)(ab)(cb)c,即b2c2a2bc,所以cos A,则A.2,所以b2sin Bc2sin C,所以b2c24(sin2Bsin2C)4[sin2Bsin2(AB)]4sin 2Bcos 2B42sin4.ABC是锐角三角形,所以B,则2B,所以sin,所以b2c2的取值范围是(5,6],故选A.

3.在ABC中,BBC边上的高等于BC,则sin A________.

解析:如图,ADABCBC边上的高.设BCa,由题意知ADBCaB,易知BDADaDCa.

RtABD中,ABa.

RtACD中,ACa.

SABCAB·AC·sinBACBC·AD

×a×a·sinBACa·a

sinBAC.

答案:

4.如图,在ABC中,AB,点D在边BC上,BD2DC

cosDACcosC,则AC________.

解析:因为BD2DC,设CDxADy,则BD2x,因为cosDAC

cosC,所以sinDACsinC,在ACD中,由正弦定理可得,即,即yx.cosADBcos(DACC)××,则ADB.ABD中,AB2BD2AD22BD×ADcos,即24x22x22×2x×x×,即x21,所以x1,即BD2DC1AD,在ACD中,AC2CD2AD22CD×ADcos5,得AC.

答案:

5.已知ABC中,ACBCABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D,使BDC,则CD________.

解析:因为SABCAC·BC·sinBCA,即×××sinBCA,所以sinBCA.因为BAC>BDC,所以DAC<,又DACABCACB,所以ACB<,则BCA,所以cosBCA.ABC中,AB2AC2BC22AC·BC·cosBCA262×××2,所以ABAC,所以ABCACB,在BCD中,,即,解得CD.

答案:

6(2018·嘉兴测试)ABC的三边abc所对的角分别为ABC,已知a22b2c2,则________tan B的最大值为________

解析:由正弦定理可得··,再结合余弦定理可得···.a22b2c2,得=-3.由已知条件及大边对大角可知0ACπ,从而由ABCπ可知tan B=-tan(AC)=-=-,因为Cπ,所以

(tan C)22(当且仅当tan C=-时取等号),从而tan B,即tan B的最大值为.

答案:3 

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