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2020届二轮复习小题考法——直线与圆课时作业(全国通用)
展开A组——10+7提速练
一、选择题
1.已知直线l:y=k(x+)和圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=( )
A.0 B.
C.或0 D.或0
解析:选D 因为直线l与圆C相切,所以圆心C(0,1)到直线l的距离d==1,解得k=0或k=,故选D.
2.(2018·宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l过圆(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,当原点到直线l距离最大时,直线l的方程为( )
A.y=2 B.x-2y-5=0
C.x-2y+3=0 D.x+2y-5=0
解析:选D 设圆心为M,则M(1,2).
当l与OM垂直时,原点到l的距离最大.作出示意图如图,
∵kOM=2,∴l的斜率为-.
∴直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
3.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A 依题意,注意到|AB|==等价于圆心O到直线l的距离等于,即有=,k=±1.因此,“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件.
4.若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m的取值最多有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.6个
解析:选C 三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若l1∥l2,则m=4;若l1∥l3,则m=-;若l2∥l3,则m的值不存在;若三条直线相交于同一点,则m=1或-.故实数m的取值最多有4个,故选C.
5.(2018·温州模拟)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍,则a=( )
A. B.
C.1 D.
解析:选B 设直线AC的倾斜角为β,直线AB的倾斜角为α,
即有tan β=tan 2α=.
又tan β=,tan α=,
所以=,解得a=.
6.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A.(x+2)2+(y-2)2=2
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x+2)2+(y+2)2=2
D.(x-2)2+(y-2)2=2
解析:选D 由题意知,曲线方程为(x-6)2+(y-6)2=(3)2,过圆心(6,6)作直线x+y-2=0的垂线,垂线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上,又圆心(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5,故最小圆的半径为=,圆心坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
7.(2018·长沙模拟)若直线(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)被圆C:(x-1)2+y2=4所截得的弦为MN,则|MN|的最小值是( )
A. B.2
C.2 D.4
解析:选C 直线方程(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)可化为λ(2x+y+1)+(-x+2y+2)=0(λ∈R),若则所以直线恒过圆C:(x-1)2+y2=4内的定点P(0,-1),当直线(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)与直线CP垂直时,|MN|最小,此时|MN|=2=2=2.故选C.
8.(2018·合肥质检)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
解析:选B 由题可知,圆心C(1,1),半径r=2.当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=0,计算出弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,所以直线l的方程为y=-x+3,即3x+4y-12=0.
综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选B.
9.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为( )
A.3 B.-3
C.6 D.-6
解析:选B 两个圆恰有三条公切线,则两圆外切,两圆的标准方程为圆C1:(x+a)2+y2=4,圆C2:x2+(y-b)2=1,所以C1(-a,0),C2(0,b),==2+1=3,即a2+b2=9.
由2≤,得(a+b)2≤18,所以-3≤a+b≤3,当且仅当“a=b”时等号成立.所以a+b的最小值为-3.
10.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则半径r的取值范围是( )
A.(4,6) B.[4,6]
C.(4,5) D.(4,5]
解析:选A 设直线4x-3y+m=0与直线4x-3y-2=0之间的距离为1,则有=1,m=3或m=-7.圆心(3,-5)到直线4x-3y+3=0的距离等于6,圆心(3,-5)到直线4x-3y-7=0的距离等于4,因此所求圆半径的取值范围是(4,6),故选A.
二、填空题
11.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点________,P(1,1)到直线l的距离的最大值为________.
解析:直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R),即λ(y-3)+x+2=0,令解得∴直线l恒过定点(-2,3).不妨记Q(-2,3),则P(1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ|==.
答案:(-2,3)
12.若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.
解析:由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等,均为90°,因此圆心到两直线的距离均为r=2,即==2,得a2+b2=(2+1)2+(1-2)2=18.
答案:18
13.已知点M(2,1)及圆x2+y2=4,则过M点的圆的切线方程为________,若直线ax-y+4=0与该圆相交于A,B两点,且|AB|=2,则a=________.
解析:若过点M的圆的切线斜率不存在,则切线方程为x=2,经验证满足条件.若切线斜率存在,可设切线方程为y=k(x-2)+1,由圆心到直线的距离等于半径得=2,解得k=-,故切线方程为y=-(x-2)+1,即3x+4y-10=0.综上,过M点的圆的切线方程为x=2或3x+4y-10=0.
由=,得a=±.
答案:x=2或3x+4y-10=0 ±
14.已知⊙C的方程为x2-2x+y2=0,直线l:kx-y+x-2k=0与⊙C交于A,B两点,当|AB|取最大值时,k=________;当△ABC的面积最大时,k=________.
解析:圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0),半径为1,当直线过圆心时,弦AB为直径,|AB|最大,此时k=1.设∠ACB=θ,则S△ABC=×1×1×sin θ=sin θ,当θ=90°时,△ABC的面积最大,此时圆心到直线的距离为,由d==,解得k=0或k=6.
答案:1 0或6
15.已知圆O:x2+y2=r2与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P,过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A,B(异于P点),且OA⊥OB,则直线OP的斜率是________,r=________.
解析:两圆的方程相减得,4x-4=0,则点P的横坐标x=1.易知P为AB的中点,因为OA⊥OB,所以|OP|=|AP|=|PB|,所以△OAP为等边三角形,所以∠APO=60°,因为AB∥x轴,所以∠POC=60°,所以直线OP的斜率为.设P(1,y1),则y1=,所以P(1,),代入圆O,解得r=2.
答案: 2
16.(2018·浦江模拟)设A是直线y=x-4上一点,P,Q是圆C:x2+(y-2)2=17上不同的两点,若圆心C是△APQ的重心.则△APQ面积的最大值为________.
解析:如图,∵圆心C是△APQ的重心,∴AC⊥PQ,
设C到PQ的距离为x,则PQ=2,
则A到PQ的距离为3x,
∴S△PAQ=×2×3x
=3·x≤3·=.
当且仅当=x,即x=时等号成立.
∴△APQ面积的最大值为.
答案:
17.定义:若平面点集A中的任一个点(x0,y0),总存在正实数r,使得集合{(x,y)|
③{(x,y)||x+y|≤6};④{(x,y)|0
解析:集合{(x,y)|
B组——能力小题保分练
1.若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a取得最大值时a的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 因为圆心到直线的距离d=,则直线被圆截得的弦长L=2=2=2,所以4a2+b2=4.则t=a=·(2a)·≤××=·[8a2+1+2(4-4a2)]=,当且仅当时等号成立,此时a=,故选D.
2.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|≥||,那么k的取值范围是( )
A.(,+∞) B.[,+∞)
C.[,2) D.[,2)
解析:选C 当|+|=||时,O,A,B三点为等腰三角形AOB的三个顶点,其中OA=OB=2,∠AOB=120°,从而圆心O到直线x+y-k=0(k>0)的距离为1,即=1,解得k=;当k>时,|+|>||,又直线与圆x2+y2=4有两个不同的交点,故<2,即k<2.综上,k的取值范围为[,2).
3.已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设条件p:0
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C 圆C:(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离d==2.
当2-r>1,即0
当0<2-r<1,即1
当0
当r-2>1,即r>3时,直线与圆相交,此时圆上有4个点到直线的距离为1.
综上,当0
A. B.
C. D.
解析:选B 把圆的方程化为标准方程得,(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(-1,2),根据题意可知,圆心在直线ax-by+1=0上,把圆心坐标代入直线方程得,-a-2b+1=0,即a=1-2b,则ab=(1-2b)b=-2b2+b=-22+≤,当b=时,ab有最大值,故ab的取值范围为.
5.已知点A(3,0),若圆C:(x-t)2+(y-2t+4)2=1上存在点P,使|PA|=2|PO|,其中O为坐标原点,则圆心C的横坐标t的取值范围为________.
解析:设点P(x,y),因为|PA|=2|PO|,所以=2,化简得(x+1)2+y2=4,所以点P在以M(-1,0)为圆心,2为半径的圆上.由题意
知,点P(x,y)在圆C上,所以圆C与圆M有公共点,则1≤|CM|≤3,即1≤ ≤3,开方得1≤5t2-14t+17≤9.不等式5t2-14t+16≥0的解集为
R;由5t2-14t+8≤0,得≤t≤2.所以圆心C的横坐标t的取值范围为.
答案:
6.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
解析:由题意可知M在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x2+y2=1相切于点P(0,1).当x0=0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求;当x0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x0=±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
答案:[-1,1]