2020届二轮复习小题考法——直线与圆课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（十三） 小题考法——直线与圆
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)
A．0　　　　　　　　 　B.
C.或0 D.或0
解析：选D　因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝，故选D.
2．(2018·宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l过圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，当原点到直线l距离最大时，直线l的方程为(　　)
A．y＝2 B．x－2y－5＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0
解析：选D　设圆心为M，则M(1,2)．
当l与OM垂直时，原点到l的距离最大．作出示意图如图，
∵kOM＝2，∴l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　依题意，注意到|AB|＝＝等价于圆心O到直线l的距离等于，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件．
4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
解析：选C　三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－.故实数m的取值最多有4个，故选C.
5．(2018·温州模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选B　设直线AC的倾斜角为β，直线AB的倾斜角为α，
即有tan β＝tan 2α＝.
又tan β＝，tan α＝，
所以＝，解得a＝.
6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－2)2＋(y－2)2＝2
解析：选D　由题意知，曲线方程为(x－6)2＋(y－6)2＝(3)2，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝5，故最小圆的半径为＝，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
7．(2018·长沙模拟)若直线(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)被圆C：(x－1)2＋y2＝4所截得的弦为MN，则|MN|的最小值是(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C　直线方程(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)可化为λ(2x＋y＋1)＋(－x＋2y＋2)＝0(λ∈R)，若则所以直线恒过圆C：(x－1)2＋y2＝4内的定点P(0，－1)，当直线(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)与直线CP垂直时，|MN|最小，此时|MN|＝2＝2＝2.故选C.
8．(2018·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选B　由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.
9．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
解析：选B　两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.
由2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，当且仅当“a＝b”时等号成立．所以a＋b的最小值为－3.
10．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　)
A．(4,6) B．[4,6]
C．(4,5) D．(4,5]
解析：选A　设直线4x－3y＋m＝0与直线4x－3y－2＝0之间的距离为1，则有＝1，m＝3或m＝－7.圆心(3，－5)到直线4x－3y＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x－3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.
二、填空题
11．直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1，1)到直线l的距离的最大值为________．
解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令解得∴直线l恒过定点(－2,3)．不妨记Q(－2,3)，则P(1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ|＝＝.
答案：(－2,3)　
12．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为r＝2，即＝＝2，得a2＋b2＝(2＋1)2＋(1－2)2＝18.
答案：18
13．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝2，则a＝________.
解析：若过点M的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，故切线方程为y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.
由＝，得a＝±.
答案：x＝2或3x＋4y－10＝0　±
14．已知⊙C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋x－2k＝0与⊙C交于A，B两点，当|AB|取最大值时，k＝________；当△ABC的面积最大时，k＝________.
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB为直径，|AB|最大，此时k＝1.设∠ACB＝θ，则S△ABC＝×1×1×sin θ＝sin θ，当θ＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为，由d＝＝，解得k＝0或k＝6.
答案：1　0或6
15．已知圆O：x2＋y2＝r2与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OA⊥OB，则直线OP的斜率是________，r＝________.
解析：两圆的方程相减得，4x－4＝0，则点P的横坐标x＝1.易知P为AB的中点，因为OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP为等边三角形，所以∠APO＝60°，因为AB∥x轴，所以∠POC＝60°，所以直线OP的斜率为.设P(1，y1)，则y1＝，所以P(1，)，代入圆O，解得r＝2.

答案：　2
16．(2018·浦江模拟)设A是直线y＝x－4上一点，P，Q是圆C：x2＋(y－2)2＝17上不同的两点，若圆心C是△APQ的重心．则△APQ面积的最大值为________．
解析：如图，∵圆心C是△APQ的重心，∴AC⊥PQ，
设C到PQ的距离为x，则PQ＝2，
则A到PQ的距离为3x，
∴S△PAQ＝×2×3x
＝3·x≤3·＝.
当且仅当＝x，即x＝时等号成立．
∴△APQ面积的最大值为.
答案：
17．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)| ①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；
③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0 其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)
解析：集合{(x，y)| 答案：②④
B组——能力小题保分练
1．若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
解析：选C　当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形AOB的三个顶点，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，即＝1，解得k＝；当k>时，|＋|>||，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故<2，即k<2.综上，k的取值范围为[，2)．
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.
当2－r>1，即0 当2－r＝1，即r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；
当0<2－r<1，即1 当2－r＝0，即r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当0 当r－2＝1，即r＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；
当r－2>1，即r>3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.
综上，当0 4．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　把圆的方程化为标准方程得，(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，则ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，当b＝时，ab有最大值，故ab的取值范围为.
5．已知点A(3,0)，若圆C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在点P，使|PA|＝2|PO|，其中O为坐标原点，则圆心C的横坐标t的取值范围为________．
解析：设点P(x，y)，因为|PA|＝2|PO|，所以＝2，化简得(x＋1)2＋y2＝4，所以点P在以M(－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意
知，点P(x，y)在圆C上，所以圆C与圆M有公共点，则1≤|CM|≤3，即1≤ ≤3，开方得1≤5t2－14t＋17≤9.不等式5t2－14t＋16≥0的解集为
R；由5t2－14t＋8≤0，得≤t≤2.所以圆心C的横坐标t的取值范围为.
答案：
6．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]