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    2020届二轮复习小题考法——函数的概念与性质课时作业(全国通用)

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    课时跟踪检测(十八) 小题考法——函数的概念与性质
    A组——10+7提速练
    一、选择题
    1.(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f(x)=则f(f(4))的值为(  )
    A.-         B.-9
    C. D.9
    解析:选C 因为f(x)=所以f(f(4))=f(-2)=.
    2.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(  )
    A.函数f(x)是偶函数
    B.函数f(x)是减函数
    C.函数f(x)是周期函数
    D.函数f(x)的值域为[-1,+∞)
    解析:选D 由函数f(x)的解析式,知f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数.当x>0时,f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cos x,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x) ∈[-1,1].所以函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D.
    3.(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(  )

    解析:选D 法一:令f(x)=-x4+x2+2,
    则f′(x)=-4x3+2x,
    令f′(x)=0,得x=0或x=±,
    则f′(x)>0的解集为∪,
    f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为∪,f(x)单调递减,结合图象知选D.
    法二:当x=1时,y=2,所以排除A、B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.
    4.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f(x)的图象可能是(  )

    解析:选B 函数f(x-1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图象.因为函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,排除A、C、D,故选B.
    5.(2019届高三·镇海中学测试)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-3x+a(a∈R),则f(-2)=(  )
    A.-1 B.-5
    C.1 D.5
    解析:选D 因为f(x)为定义在R上的奇函数,
    所以f(0)=1+a=0,即a=-1.
    故f(x)=log2(x+2)-3x-1(x≥0),
    所以f(-2)=-f(2)=5.故选D.
    6.(2018·诸暨高三期末)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中错误的是(  )
    A.y=g(f(x)+1)为偶函数
    B.y=g(f(x))为奇函数
    C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称
    D.y=f(g(x+1))为偶函数
    解析:选B 由题可知
    选项A,g(f(-x)+1)=g(-f(x)+1)=g(1+f(x)),
    所以y=g(f(x)+1)为偶函数,正确;
    选项B,g(f(-x))=g(-f(x))=g(2+f(x)),
    所以y=g(f(x))不一定为奇函数,错误;
    选项C,f(g(-x))=f(g(2+x)),所以y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称,正确;
    选项D,f(g(-x+1))=f(g(x+1)),所以y=f(g(x+1))为偶函数,正确.
    综上,故选B.
    7.函数y=+在[-2,2]上的图象大致为(  )

    解析:选B 当x∈(0,2]时,函数y==,x2>0恒成立,令g(x)=ln x+1,则g(x)在(0,2]上单调递增,当x=时,y=0,则当x∈时,y=<0,x∈时,y=>0,∴函数y=在(0,2]上只有一个零点,排除A、C、D,只有选项B符合题意.
    8.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )
    A.-50 B.0
    C.2 D.50
    解析:选C 法一:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
    ∴f(1-x)=-f(x-1).
    由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1),
    ∴f(x+2)=-f(x),
    ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
    ∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
    由f(x)为奇函数得f(0)=0.
    又∵f(1-x)=f(1+x),
    ∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
    ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.
    又f(1)=2,∴f(-1)=-2,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)
    =0×12+f(49)+f(50)
    =f(1)+f(2)=2+0=2.
    法二:由题意可设f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.
    9.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的图象经过点A(m1,f(m1))和点B(m2,f(m2)),f(1)=0.若a2+[f(m1)+f(m2)]a+f(m1)·f(m2)=0,则(  )
    A.b≥0 B.b<0
    C.3a+c≤0 D.3a-c<0
    解析:选A ∵函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),
    满足f(1)=0,∴a+b+c=0.
    若a≤0,∵a>b>c,∴b<0,c<0,
    则有a+b+c<0,这与a+b+c=0矛盾,∴a>0成立.
    若c≥0,则有b>0,a>0,
    此时a+b+c>0,这与a+b+c=0矛盾,
    ∴c<0成立.
    ∵a2+[f(m1)+f(m2)]·a+f(m1)·f(m2)=0,
    ∴[a+f(m1)]·[a+f(m2)]=0,
    ∴m1,m2是方程f(x)=-a的两根,
    ∴Δ=b2-4a(a+c)=b(b+4a)=b(3a-c)≥0,
    而a>0,c<0,
    ∴3a-c>0,∴b≥0.故选A.
    10.已知函数f(x)=若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是(  )
    A.(1,2] B.(-∞,2]
    C.(0,2] D.[2,+∞)
    解析:选A 依题意,当x≥1时,f(x)=1+log2x单调递增,f(x)=1+log2x在区间[1,+∞)上的值域是[1,+∞).因此,要使函数f(x)的值域是R,则需函数f(x)在(-∞,1)上的值域M⊇(-∞,1).①当a-1<0,即a<1时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,函数f(x)在(-∞,1)上的值域M=(-a+3,+∞),显然此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a<1不满足题意;②当a-1=0,即a=1时,函数f(x)在(-∞,1)上的值域M={2},此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a=1不满足题意;③当a-1>0,即a>1时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,函数f(x)在(-∞,1)上的值域M=(-∞,-a+3),由M⊇(-∞,1)得解得1 二、填空题
    11.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f =f ,则f(0)=________,f(6)=________.
    解析:函数f(x)在[-1,1]上为奇函数,故f(0)=0,
    又由题意知当x>时,f =f ,
    则f(x+1)=f(x).
    又当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),
    ∴f(6)=f(1)=-f(-1).
    又当x<0时,f(x)=x3-1,
    ∴f(-1)=-2,∴f(6)=2.
    答案:0 2
    12.(2018·台州第一次调考)若函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则a=________,函数f(x)的值域为____________.
    解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
    ∵f(x)是奇函数,
    ∴f(-x)=-f(x)恒成立,
    ∴a-=-恒成立,
    ∴a=+=+==-1.
    ∴f(x)=-1-,当x∈(0,+∞)时,2x>1,
    ∴2x-1>0,∴>0,∴f(x)<-1;
    当x∈(-∞,0)时,0<2x<1,
    ∴-1<2x-1<0,∴<-1,
    ∴->2,∴f(x)>1,
    故函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
    答案:-1 (-∞,-1)∪(1,+∞)

    13.(2018·绍兴柯桥区模拟)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-2)>0,则x的取值范围是________.
    解析:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,
    且f(2)=0,
    ∴f(2)=f(-2)=0,
    则不等式f(x-2)>0,等价为f(|x-2|)>f(2),
    ∴|x-2|<2,
    即-2 ∴x的取值范围是(0,4).
    答案:(0,4)
    14.已知函数f(x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x∈[1,m](m>1),都有f(x-2)≤g(x),则m的取值范围是________.
    解析:作出函数y1=e|x-2|和y=g(x)的图象,如图所示,由图可知当x=1时,y1=g(1),又当x=4时,y1=e24时,由ex-2≤4e5-x,得e2x-7≤4,即2x-7≤ln 4,解得x≤+ln 2,又m>1,
    ∴1 答案:
    15.在实数集R上定义一种运算“★”,对于任意给定的a,b∈R,a★b为唯一确定的实数,且具有下列三条性质:
    (1)a★b=b★a;(2)a★0=a;(3)(a★b)★c=c★(ab)+(a★c)+(c★b)-2c.
    关于函数f(x)=x★,有如下说法:
    ①函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为3;
    ②函数f(x)为偶函数;
    ③函数f(x)为奇函数;
    ④函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);
    ⑤函数f(x)不是周期函数.
    其中正确说法的序号为________.
    解析:对于新运算“★”的性质(3),令c=0,则(a★b)★0=0★(ab)+(a★0)+(0★b)=ab+a+b,即a★b=ab+a+b.∴f(x)=x★=1+x+,当x>0时,f(x)=1+x+≥1+2 =3,当且仅当x=,即x=1时取等号,∴函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为3,故①正确;函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(1)=1+1+1=3,f(-1)=1-1-1=-1,∴f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1),∴函数f(x)为非奇非偶函数,故②③错误;根据函数的单调性,知函数f(x)=1+x+的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故④正确;由④知,函数f(x)=1+x+不是周期函数,故⑤正确.综上所述,所有正确说法的序号为①④⑤.
    答案:①④⑤
    16.(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数f(x)=ln-2,g(x)和f(x)的图象关于原点对称,将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度,再向下平移b(b>0)个单位长度,若对于任意实数a,平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点,则b的最小值为________.
    解析:由f(x)=ln-2,知x>0,f(x)≥ln e-2=-1,∴f(x)min=-1,此时x=.
    在同一直角坐标系中,作出f(x),g(x)的图象(图略),若对于任意的a,平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点,则平移后g(x)的图象的最高点不能在f(x)图象的最低点的上方,则1-b≤-1,则b的最小值为2.
    答案:2
    17.(2018·山东高考)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________.
    ①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;
    ④f(x)=x2+2.
    解析:设g(x)=exf(x),对于①,g(x)=ex·2-x,
    则g′(x)=(ex·2-x)′=ex·2-x(1-ln 2)>0,
    所以函数g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故①符合要求;
    对于②,g(x)=ex·3-x,
    则g′(x)=(ex·3-x)′=ex·3-x(1-ln 3)<0,
    所以函数g(x)在(-∞,+∞)上为减函数,故②不符合要求;
    对于③,g(x)=ex·x3,
    则g′(x)=(ex·x3)′=ex·(x3+3x2),
    显然函数g(x)在(-∞,+∞)上不单调,故③不符合要求;
    对于④,g(x)=ex·(x2+2),
    则g′(x)=[ex·(x2+2)]′=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0,
    所以函数g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故④符合要求.
    综上,具有M性质的函数的序号为①④.
    答案:①④
    B组——能力小题保分练
    1.(2019届高三·浙江新高考名校联考)函数f(x)=ln |x|+x2的大致图象是(  )

    解析:选A 因为f(-x)=ln |-x|+(-x)2=ln |x|+x2=f(x),所以f(x)是偶函数,于是其图象关于y轴对称,排除D;当x>0时,f(x)=ln x+x2,f′(x)=+x≥2,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除B;当x∈(0,1)时,f′(x)>2,且f′(x)是减函数,当x>1时,f′(x)>2,且f′(x)是增函数,因此,当x趋近于0或x趋近于+∞时,曲线较陡,因此排除C.故选A.
    2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(  )
    A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 解析:选D 因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
    由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).
    因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,
    所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
    所以f(-1) 3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(  )
    A.f(x)=x2-2ln |x|
    B.f(x)=x2-ln |x|
    C.f(x)=|x|-2ln |x|
    D.f(x)=|x|-ln |x|
    解析:选B 由图象知,函数f(x)是偶函数,四个选项都是偶函数,故只需考虑x>0时的图象即可.对于选项A,当x>0时,f(x)=x2-2ln x,所以f′(x)=2x-=,因此f(x)在x=1处取得极小值,故A错误;对于选项B,当x>0时,f(x)=x2-ln x,所以f′(x)=2x-=,因此f(x)在x=处取得极小值,故B正确;对于选项C,当x>0时,f(x)=x-2ln x,所以f′(x)=1-=,因此f(x)在x=2处取得极小值,故C错误;对于选项D,当x>0时,f(x)=x-ln x,所以f′(x)=1-=,因此f(x)在x=1处取得极小值,故D错误.故选B.
    4.定义:F(x)=max{f(t)|-1≤t≤x≤1},G(x)=min{f(t)|-1≤t≤x≤1},其中max{m,n}表示m,n中的较大者,min{m,n}表示m,n中的较小者.已知函数f(x)=2ax2+bx,则下列说法一定正确的是(  )
    A.若F(-1)=F(1),则f(-1)>f(1)
    B.若G(1)=F(-1),则F(-1) C.若f(-1)=f(1),则G(-1)>G(1)
    D.若G(-1)=G(1),则f(-1)>f(1)
    解析:选B 依据题意,由≤4可得f(x)=2ax2+bx的图象的对称轴x=-∈[-1,1],由F(-1)=F(1)知f(-1)=F(1),F(1)为f(t)在t∈[-1,1]上的最大值,无法排除f(-1)=f(1)的可能,所以A错误;由G(1)=F(-1)=f(-1)知,f(t)在t∈[-1,1]上的最小值为f(-1),所以F(-1)=f(-1) 5.(2018·杭州模拟)设集合A={x|x2-|x+a|+2a<0,a∈R},B={x|x<2}.若A≠∅且A⊆B,则实数a的取值范围是________.
    解析:由题意知x2-|x+a|+2a<0⇒x2<|x+a|-2a,其解集A≠∅时,可设A={m<x<n}.
    首先,若n=2时,则|2+a|-2a=4,
    解得a=-2,满足A⊆B.
    由函数y=|x+a|-2a的图象可知,当a<-2时,n>2,不满足A⊆B,不合题意,即可知a≥-2;考虑函数y=|x+a|-2a的右支与y=x2相切时,则x+a-2a=x2,即x2-x+a=0,解得a=.
    又当a≥时,A=∅,即可知a<.
    综上可知:-2≤a<.
    或考虑函数y=|x+a|和函数y=x2+2a进行数形结合.
    答案:
    6.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为________.
    解析:设P ,则|PA|2=(x-a)2+2=2-2a+2a2-2,
    令t=x+,则t≥2(x>0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.
    ①当a≤2时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,
    由题意知,2a2-4a+2=8,
    解得a=-1或a=3(舍去).
    ②当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.
    由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍去),
    综上知,a=-1,.
    答案:-1,

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