2020届二轮复习排列学案（全国通用）

排列(一)

学习目标　1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.

知识点一　排列的定义

从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.

思考1　让你安排这项活动需要分几步？

答案　分两步.第1步确定上午的同学；

第2步确定下午的同学.

思考2　甲丙和丙甲是相同的排法吗？

答案　不是.

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

知识点二　排列数及排列数公式

思考1　从1,2,3,4这4个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的两位数？

答案　4×3＝12个.

思考2　从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？

答案　4×3×2＝24个.

思考3　从几个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？

答案　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种.

类型一　排列的概念

例1　下列问题是排列问题的为________.

①选2个小组分别去植树和种菜；

②选2个小组分别去种菜；

③某班40名同学在假期互发短信；

④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；

⑤10个车站，站与站间的车票.

解析　①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；

②不存在顺序问题，不是排列问题；

③存在顺序问题，是排列问题；

④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；

⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.

答案　①③④⑤

反思与感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的思路

跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?

(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.

(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.

类型二　排列数的计算或证明

例2　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；

(2)计算；

(3)求证A－A＝mA.

解　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素，

∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.

(2)

＝

＝＝1.

(3)方法一　∵A－A＝－

＝·＝·

＝m·＝mA，

∴A－A＝mA.

方法二　A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A个.

含有a1的可这样进行排列：

先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法.

故A＝mA＋A，

∴mA＝A－A.

反思与感悟　1.连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，而正整数的个数是所选取元素的个数，这种题型是排列数公式的逆用.

2.应用排列数公式解题时，一般先写出它们的式子，再提取公因式，然后计算，这样会减少运算量，另外，应用排列数的定义解题，也是一种常用方法.

跟踪训练2　解不等式：A<6A.

解　由A<6A，得<6×，

化简得x2－19x＋84<0，

解之得7<x<12， ①

又所以2≤x≤8， ②

由①、②及x∈N*，得x＝8.

类型三　排列的列举问题

例3　写出下列问题的所有排列：

(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？

解　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示.

故符合题意的机票种类有：

北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.

(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.

所以符合题意的所有排列是：

BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种.

反思与感悟　用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏.

跟踪训练3　从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.

(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.

(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.

解　(1)组成三位数分三个步骤：

第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；

第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；

第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.

由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.

画出下列树形图：

由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,

230,231,301,302,310,312,320,321.

(2)直接画出树形图：

由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.

1.4×5×6×…(n－1)·n等于(　　)

A.A   B.A

C.(n－4)!   D.A

答案　D

解析　从4,5，…到n共n－4＋1＝n－3个数，所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n－1)＝A.

2.下列问题属于排列问题的是(　　)

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.

A.①④   B.①②

C.④   D.①③④

答案　A

解析　根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.

3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　)

A.6个  B.10个  C.12个  D.16个

答案　C

解析　符合题意的商有A＝4×3＝12个.

4.写出下列问题的所有排列.

(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；

(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.

解　(1)四名同学站成一排，共有A＝24个不同的排列，它们是：

甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；

乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；

丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；

丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲.

(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是：

12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.

1.判断一个问题是否是排列的思路

排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.

2.关于排列数的两个公式

(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.

(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运用.

一、选择题

1.α∈N*，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于(　　)

A.A   B.A

C.A   D.A

答案　D

解析　从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数.∴(27－α)(28－α)…(34－α)＝A.

2.已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有(　　)

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

答案　B

解析　由排列的定义知①④是排列问题.

3.已知A＝132，则n等于(　　)

A.11  B.12  C.13  D.14

答案　B

解析　A＝n(n－1)＝132，

解得，n＝12或－11(舍去).

4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)

A.6  B.4  C.8  D.10

答案　B

解析　列树形图如下：

丙甲乙乙甲　　乙甲丙丙甲，共4种.

5.2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为(　　)

A.12  B.24  C.36  D.60

答案　D

解析　由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种).

6.下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A.

B.n(n－1)(n－2)…(n－m)

C.

D.AA

答案　D

解析　A＝，

而AA＝n×＝，

∴AA＝A.

二、填空题

7.＝________.

答案　2

解析　

＝＝2.

8.满足不等式>12的最小正整数n的值为________.

答案　10

解析　＝＝>12

得：(n－5)(n－6)>12.

解得： n>9或n<2(应舍去).

∴最小正整数n的值为10.

9.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.

答案　18

解析　由于lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝20－2＝18.

10.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了62种，则n＝________，m＝________.

答案　15　2

解析　由题意得：A－A＝62，

(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.

整理得：m(2n＋m－1)＝62＝2×31.

∵m，n均为正整数，∴2n＋m－1也为正整数.

∴得：n＝15，m＝2.

11.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种(填数字).

答案　36

解析　司机，售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知共有AA＝36(种)不同的安排方法.

三、解答题

12.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.

解　如图，

由树形图可写出所有不同试验方法如下：

a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.

13.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？

解　由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙.

若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，

共5种.

同样甲第一次发球给丙，也有5种情况.

由分类加法计数原理，共有5＋5＝10(种)不同传球方法.