2019届二轮复习应用向量方法解决简单的平面几何问题学案（全国通用）

第04节  应用向量方法解决简单的平面几何问题

【考纲解读】

【知识清单】

1．平面向量在几何中的应用

1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

2．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

3. 向量共线的充要条件的坐标表示

若，则⇔.

4. 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：

（1）a·b＝a1b1＋a2b2.

（2）a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

【重点难点突破】

考点1  平面向量在几何中的应用

【1-1】【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】已知是所在平面上一点，满足，则点 (　　)

A． 在过点与垂直的直线上    B． 在的平分线所在直线上

C． 在过点边的中线所在直线上    D． 以上都不对

【答案】A

【1-2】【上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断】在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（   ）

A． 菱形    B． 矩形    C． 直角梯形    D． 等腰梯形

【答案】A

【解析】由题意，根据两个向量相等的定义，由，可知与平行且相等，所以四边形为平行四边形，又，即，亦是平行四边形的对角线互相垂直，因此可判断平行四边形为菱形．  

【1-3】【2017浙江杭州二模】设为所在平面上一点，且满足.若的面积为8，则的面积为          .

【答案】14 ]

【解析】由 得，设，（如图所示）于是可得点在边上， ，且，则 ，由，

所以 ，所以，又因为，所以，则

【领悟技法】

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

【触类旁通】

【变式一】【2017届宁夏回族自治区固原市第一中学第5次月考】若O为△ABC所在平面内任一点，且满足 ，则△ABC的形状为(　　)

A． 等腰三角形    B． 直角三角形

C． 正三角形    D． 等腰直角三角形

【答案】A

【变式二】设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（    ）

A． 内心    B． 外心    C． 重心    D． 垂心

【答案】B

考点2 平面向量的综合应用

【2-1】【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会第一次联考】如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴， 轴的非负半轴上滑动， 为中点，则的最大值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】设，则, ,

,  学 .

+2

, 学  ] 

∴的最大值为

故选：B.

【2-2】【2018浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=           时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

【2-3】【2017江苏，16】 已知向量

   （1）若a∥b,求x的值；

   （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值. 学  ]

【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.

【领悟技法】

1.涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要.

2.涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题.

【触类旁通】

【变式一】【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为

A.     B.    C.     D. 0

【答案】C

【变式二】【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为        ．

【答案】3

【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.

详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，

由得或，

因为，所以

【变式三】【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

(1)    求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

【答案】(1) ；(2)证明见解析.    

【解析】

， 学  ]

.

由得，又由（1）知，故.

所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

【易错试题常警惕】

易错典例：在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM1⊥轴于M1，过N作NN1⊥轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．

  （Ⅰ）求曲线C的方程；

  （Ⅱ）证明不存在直线，使得；

  （Ⅲ）过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

易错分析：本题解答有两处易于出错，一是平向量的应用意识不强，不能正确应用平面向量的基本知识和基本方法；二是由于涉及较为复杂的数学式子变形而出错．

（2）证：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直   ]

但不可能成立，所以不存在直线使得．      

（3）证明：由题有S，．

则有方程组                          

由（1）得：  ]

将（2）、（5）代入（3）有

整理并将（4）、（5）代入得  

易知，解得                                        

因，故，，   | ]

∴

∴．                                       

温馨提醒：(1)注意熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法，增强应用意识．(2)在解答本题时，注意增强信心，细心进行数学式子变形，并特别注意整理得得到的一元二次方程，根的判别式大于零.

【学 素养提升之思想方法篇】

化整为零，积零为整——分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型 

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【典例】已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，

（1）求曲线的方程；

（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值   ]

（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论

【答案】（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值

【解析】

依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，

由得

将代入直线的方程得，又，故圆心

所以圆的半径为 

当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值.