第6章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学案含解析

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6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的． 　 问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？ (2)它们之间有什么关系？ 知识点1　平面几何中的向量方法 1．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)求夹角问题，利用夹角公式： cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))． (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： |a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)或|AB|＝|Aeq \o(B,\s\up7(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)． 2．向量法解决平面几何问题的“三步曲” 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))，则直线AB与直线CD平行． (　　) (2)若△ABC是直角三角形，则必有eq \o(CA,\s\up7(→))·eq \o(CB,\s\up7(→))＝0． (　　) (3)△ABC中，若eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))2＝0，则△ABC为等边三角形． (　　) (4)|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(,xB－xA2＋yB－yA2)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知平面内四边形ABCD和点O，若eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，eq \o(OC,\s\up7(→))＝c，eq \o(OD,\s\up7(→))＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形　　　　　　 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 D　[由条件知eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OD,\s\up7(→))，则eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))－eq \o(OC,\s\up7(→))，即eq \o(BA,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．] 3．已知在△ABC中，eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AC,\s\up7(→))＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 A　[由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．] 知识点2　向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上． 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成． 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W＝|F||s|·cos〈F，s〉．功是一个实数，它可正，可负，也可为零． (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度v，因此动量的计算是向量的数乘运算． 4．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为|a| km，则(　　) A．s＞|a| B．s＜|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 A　[路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|＜500，故s＞|a|．] 5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s． 5　[设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×eq \f(1,2)＝5(m/s)．] 类型1　向量在平面几何中的应用 【例1】　(1)如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H．求证：HG∥EF． (2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． 1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD? [提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq \o(AB,\s\up7(→))和eq \o(CD,\s\up7(→))；③证明eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(CD,\s\up7(→))的值为0；④给出几何结论AB⊥CD． 法二：先求eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))的坐标，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x1，y1)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(x2，y2)，再计算eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(CD,\s\up7(→))的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD． 2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD? [提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq \o(AB,\s\up7(→))和eq \o(CD,\s\up7(→))；③寻找实数λ，使eq \o(AB,\s\up7(→))＝λeq \o(CD,\s\up7(→))，即eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))；④给出几何结论AB∥CD． 法二：先求eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))的坐标，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x1，y1)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))，再给出几何结论AB∥CD． 以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))得到AB∥CD． [证明]　(1)∵eq \o(DG,\s\up7(→))⊥Beq \o(E,\s\up7(→))，eq \o(AE,\s\up7(→))⊥eq \o(BE,\s\up7(→))，∴eq \o(CD,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))． 设eq \o(OA,\s\up7(→))＝λeq \o(OD,\s\up7(→)) (λ≠0)，则eq \o(AE,\s\up7(→))＝λeq \o(DG,\s\up7(→))．同理eq \o(AF,\s\up7(→))＝λeq \o(DH,\s\up7(→))． 于是eq \o(FE,\s\up7(→))＝eq \o(AE,\s\up7(→))－eq \o(AF,\s\up7(→))＝λ(eq \o(DG,\s\up7(→))－eq \o(DH,\s\up7(→)))＝λeq \o(HG,\s\up7(→))， ∴eq \o(HG,\s\up7(→))∥eq \o(FE,\s\up7(→))，即HG∥EF． (2)法一：设eq \o(AD,\s\up7(→))＝a，eq \o(AB,\s\up7(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AE,\s\up7(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BF,\s\up7(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0． 故eq \o(AF,\s\up7(→))⊥eq \o(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE． 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \o(AF,\s\up7(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up7(→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(DE,\s\up7(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq \o(AF,\s\up7(→))⊥eq \o(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE． 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． eq \o([跟进训练]) 1．已知非零向量eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(AC,\s\up7(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0且eq \f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)·eq \f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　[由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CA,\s\up7(→))的夹角为θ， 而eq \f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)·eq \f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)＝cos θ＝eq \f(1,2)， 又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3)，∠BAC＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2,3)π，故△ABC为等腰三角形．] 类型2　向量在解析几何中的应用 【例2】　已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若eq \o(RA,\s\up7(→))＝2eq \o(AP,\s\up7(→))，求点P的轨迹方程． [解]　设P(x，y)，R(x0，y0)， 则eq \o(RA,\s\up7(→))＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， eq \o(AP,\s\up7(→))＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)． 由eq \o(RA,\s\up7(→))＝2eq \o(AP,\s\up7(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－1，,－y0＝2y.)) 又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－2，　　　　①,6－2x0＝2y，　　　　　②)) 由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程． 用向量方法解决解析几何问题的步骤 一是把解析几何问题中的相关量用向量表示； 二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题； 三是将结果还原为解析几何问题． eq \o([跟进训练]) 2．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点． (1)求直线DE的方程； (2)求AB边上的高线CH所在直线的方程． [解]　(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点， 则eq \o(DM,\s\up7(→))∥eq \o(DE,\s\up7(→))， 因为点D，E分别为边BC，CA的中点， 所以点D，E的坐标分别为D(－1,1)，E(－3，－1)， eq \o(DM,\s\up7(→))＝(x＋1，y－1)，eq \o(DE,\s\up7(→))＝(－2，－2)， 所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程． (2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则eq \o(CN,\s\up7(→))⊥eq \o(AB,\s\up7(→))，所以eq \o(CN,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝0， 又eq \o(CN,\s\up7(→))＝(x＋6，y－2)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4,4)， 所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程． 类型3　平面向量在物理中的应用 【例3】　(对接教材P40例3)(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________． (2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq \f(2,3)π，如图所示． ①求F3的大小； ②求F2与F3的夹角． (1)－40　[因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1,4)， 则F·eq \o(AB,\s\up7(→))＝－1×8－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40．] (2)[解]　①由题意|F3|＝|F1＋F2|， 因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq \f(2,3)π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq \r(3)． ②设F2与F3的夹角为θ， 因为F3＝－(F1＋F2)， 所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2， 所以eq \r(3)×2×cos θ＝－1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4， 所以cos θ＝－eq \f(\r(3),2)， 所以θ＝eq \f(5,6)π． 向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． eq \o([跟进训练]) 3．一条宽为eq \r(,3)km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq \r(,3)km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ [解]　如图所示，设eq \o(AC,\s\up7(→))为水流速度，eq \o(AD,\s\up7(→))为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED， 当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE， 在Rt△ADE和▱ACED中， |eq \o(DE,\s\up7(→))|＝|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝2，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝4，∠AED＝90°， ∴|eq \o(AE,\s\up7(→))|＝eq \r(,\o(|\o(AD,\s\up7(→))|2－|\o(DE,\s\up7(→))|2))＝2eq \r(,3)， eq \r(,3)÷2eq \r(,3)＝0.5(h)，sin ∠EAD＝eq \f(1,2)， ∴∠EAD＝30°． ∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时． 1．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为(　　) A．2x＋y－7＝0　　　　　 B．2x＋y＋7＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0 A　[设P(x，y)是所求直线上任一点，则eq \o(MP,\s\up7(→))⊥u．又eq \o(MP,\s\up7(→))＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0．] 2．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　) A．(9,1)　 　B．(1,9)　 　C．(9,0)　 　D．(0,9) A　[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝8，,y－1＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝1，))所以终点坐标为(9,1)．] 3．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°＜θ＜180°)，北岸的点A′在A的正北方向，则游船正好到达A′处时，cos θ＝(　　) A．eq \f(\r(21),5) B．－eq \f(\r(21),5) C．eq \f(2,5) D．－eq \f(2,5) D　[该船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A′处，则|v1|cos α＝|v2|，即cos α＝eq \f(|v2|,|v1|)＝eq \f(2,5)，又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－eq \f(2,5)，故选D．] 4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq \r(5)，eq \o(AC,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝5，则AC的长为________． 2　[因为eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))， 所以eq \o(BD2,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up7(→))－\o(AB,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))2－eq \o(AC,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))2，即eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))2＝1，所以|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝2，即AC＝2．] 5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N． 10　[如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq \o(OC,\s\up7(→))|＝10， 则|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)用向量解决平面几何问题的步骤是什么？ (2)如何用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题？ 学 习 任 务核 心 素 养1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点) 2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点) 3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)1．通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养． 2．通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养．