第1讲 三角函数及三角恒等变换（知识点串讲）（复习讲义）
展开第1讲 三角函数及三角恒等变换
知识整合
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作raD．
(2)公式：
角α的弧度数公式 | |α|＝(l表示弧长) |
角度与弧度的换算 | ①1°＝ rad；②1 rad＝° |
弧长公式 | l＝|α|r |
扇形面积公式 | S＝lr＝|α|r2 |
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值的符号规律：一全正、二正弦，三正切、四余弦．
(3)当α∈时，①sin α<α<tan α；②sin α＋cos α>1.
(4)任意角的三角函数的定义(推广): 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(5)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
例1、(2019·山东德州检测)已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[跟踪训练]
1、(2019·山东济宁月考)函数y＝的定义域为______.
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4．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
(3)同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
5．诱导公式
组数 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | k·2π＋α (k∈Z) | －α | (2k＋1)π＋α (k∈Z) | (2k＋1)π－α (k∈Z) | ＋α | －α |
正弦 | sin_α | －sin_α | －sin_α | sin_α | cos_α | cos_α |
余弦 | cos_α | cos_α | －cos_α | －cos_α | －sin_α | sin_α |
正切 | tan_α | －tan_α | tan_α | －tan_α |
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口诀 | 函数名不变 符号看象限 | 函数名改变 符号看象限 | ||||
记忆口诀 | “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． | |||||
例2、(2019·山东聊城月考)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
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2、（1）、(2019·山东烟台质检)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋5，且f(2 018)＝2，则f(2 019)等于( )
A．2 B．－2
C．8 D．－8
（2）、(2019·山东淄博质检)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
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6．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))；
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))；
tan(α－β)＝(T(α－β))；
tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
7．(1)二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.
(2)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(3)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ .
例3、(2019·山东淄博月考)若tan θ＝，则＝________.
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3、＝________.
例4、已知cos＋sin α＝，则sin＝________.
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4、如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE＝α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．
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8．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
9．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 | y＝sin x | y＝cos x | y＝tan x | |
图象 | ||||
定义 域 | x∈R | x∈R | {x|x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z} | |
值域 | [－1，1] | [－1，1] | R | |
单调 性 | (k∈Z)为增；(k∈Z)为减 | [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)为减； [2kπ－π，2kπ](k∈Z)为增 | (k∈Z)为增 | |
最值 | x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 | x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 | 无最值 | |
奇偶 性 | 奇 | 偶 | 奇 | |
对称 性 | 对称 中心 | (kπ，0) (k∈Z) | (k∈Z) | (k∈Z) |
对称 轴 | x＝kπ＋， (k∈Z) | x＝kπ(k∈Z) | 无对称轴 | |
最小 正周 期 | 2π | 2π | π | |
对称与周期 | 相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． | 相邻两对称中心之间的距离是半个周期． | ||
例5、若f(x)＝sin，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________.
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5、(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.
例6、(2019·山东临沂期中)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x) ≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A． B．
C． D．
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6、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.
10．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) | 振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T＝ | f＝ ＝ | ωx＋φ | φ |
11．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
例7、(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
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7、2019·山东青岛模拟)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
例8、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是________.
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8、(2019·陕西西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.
