第1讲 导数及其应用（知识点串讲）（复习讲义）
展开第1讲 导数及其应用（知识点串讲）
知识整合
考点1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
例1、(2018·山东东营期中)曲线f(x)＝x2－3x＋2ln x在x＝1处的切线方程为____________.
【答案】x－y－3＝0 [f′(x)＝2x－3＋，f(1)＝－2，f′(1)＝1，故切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.]
[跟踪训练]
1、(2019·山东济南联考)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
【答案】B [设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，
即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，
所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.]
考点2．基本初等函数的导数公式
原函数 | 导函数 |
f(x)＝xn(n∈Q*) | f′(x)＝n·xn－1 |
f(x)＝sin x | f′(x)＝cos_x |
f(x)＝cos x | f′(x)＝－sin_x |
f(x)＝ax(a＞0) | f′(x)＝axln_a |
f(x)＝ex | f′(x)＝ex |
f(x)＝logax (a>0，且a≠1) | f′(x)＝ |
f(x)＝ln x | f′(x)＝ |
考点3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3) (g(x)≠0)．
考点4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为( )
A．－2 B．0
C．－4 D．－6
【答案】D [由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.]
[跟踪训练]
2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.
【答案】2e2－1 [设ln x＝t，则x＝et，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x－1，∴f′(1)＝2e2－1.]
考点5.与导数相关的重要结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
考点6．函数的单调性
(1)在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x) ≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数.
f′(x) ≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数.
(2)在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(3)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x) ≥0(f′(x) ≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
【答案】B [f(x)＝x2＋在x∈[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝2x－＝ ≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立. 则a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a≤16.]
[跟踪训练]
3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是( )
A．f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)
B．f(ln 2)＞2f(0)，f(2)＞e2f(0)
C．f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＞e2f(0)
D．f(ln 2)＞2f(0)，f(2)＜e2f(0)
【答案】A [令，则＝.∵f′(x)＜f(x)，∴g′(x)＜0，∴g(x)是减函数，则有g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即＜，，所以f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)．]
考点7．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
【答案】A [函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1＞0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x＜－2时，f′(x)＞0；
－2＜x＜1时，f′(x)＜0；x＞1时，f′(x)＞0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.]
[跟踪训练]
4、(2019·山东淄博模拟)若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为( )
A． B．∪
C． D．∪
【答案】D [因为f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，f′(x)值有正有负，所以f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c)2－12＞0，解得c＜－或c＞.]
考点8．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
例5、已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.
【答案】－13 [f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1，1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1，1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.]
