第1讲 集合与函数（知识点串讲）（复习讲义）
展开第一讲 集合与函数
一、[体系构建]
二、知识点总览
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集的记法
集合 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
符号 | N | N*(或N＋) | Z | Q | R |
例1、(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
[跟踪训练]
1．下列命题正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；
③1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；
④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．集合间的基本关系
关系 | 自然语言 | 符号语言 | Venn图 |
子集 | 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) | A⊆B (或B⊇A) |
|
真子集 | 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 | A B | |
集合 相等 | 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 | A＝B |
(1)空集φ：任何集合的子集
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例2、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A⊆B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
[跟踪训练]
变式1、把本例条件“A⊆B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．
变式2、把本例条件“A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B⊆A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．
3．集合的基本运算
运算 | 自然语言 | 符号语言 | Venn图 |
交集 | 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 | A∩B＝{x|x∈A且x∈B} | |
并集 | 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 | A∪B＝{x|x∈A或x∈B} | |
补集 | 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 | ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} |
4．集合的运算性质
（1）．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．
（2）．A∩A＝A，A∩∅＝∅.
（3）．A∪A＝A，A∪∅＝A．
（4）．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
（5）．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
例3、设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数，
(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)．
(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.
[跟踪训练]
2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．
(1)求A∪B，(∁RA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
5．函数的概念
两个集合A，B | A，B是两个非空数集 |
对应关系 f：A→B | 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应 |
名称 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 |
记法 | y＝f(x)，x∈A |
6．函数的有关概念与表示方法
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
7.求函数定义域常见结论
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
例4、求函数y＝＋－的定义域．
[跟踪训练]
3．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B.
C. D.∪
8．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
9.单调函数的定义
| 增函数 | 减函数 |
定义 | 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 | |
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 | 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 | |
图象 描述 | 自左向右看图象是上升的 | 自左向右看图象是下降的 |
10．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
11．函数的最大值和最小值
前提 | 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意x∈I，都有f(x) ≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M | (3)对于任意x∈I，都有f(x) ≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
12．函数单调性的几个常用结论
(1)函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；
(2)函数f(x)恒正或恒负时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反；
(3)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；减函数－增函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数．
13．复合函数的单调性
形如y＝f(v(x))的复合函数的增减性如下：
函数 | 增减情况 | |||
内函数u＝v(x) | 增 | 增 | 减 | 减 |
外函数y＝f(u) | 增 | 减 | 增 | 减 |
y＝f(v(x)) | 增 | 减 | 减 | 增 |
14．函数的奇偶性
| 奇函数 | 偶函数 |
定义 | 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x | |
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 | 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 | |
图象特征 | 关于原点对称 | 关于y轴对称 |
15．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
16．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
17．函数周期性的三个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2A．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2A．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2A．(a>0)
例5、已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[跟踪训练]
4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图11所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．
图11
18．函数的零点与方程的根的关系：
(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
19．二分法
(1)图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．
(2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；
(3)若要求精确度为0.01，则当|a－b|≤0.01时，便可判断零点近似值为a或b.
20．在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数（爆炸式增长），增长最慢的是对数函数．
例6、(1)函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
(2)函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.
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5．已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
