第1讲 圆锥曲线与方程（知识点串讲）（复习讲义）

第1讲 圆锥曲线与方程（知识点串讲）
一、[体系构建]


二、 知识整合
考点1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
例1、(2019·山东日照月考)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>4 B．k＝4
C．k<4 D．0 【答案】D　[椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0
考点2．与椭圆定义有关的结论
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a．
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ．
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc．
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
例2、(2019·山东邹城模拟)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　 B．6　
C．4　　　 D．12
【答案】C　[由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝4a＝4.]
[跟踪训练]
1、(2019·内蒙古呼和浩特月考)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】6＋　6－　[椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.]


考点3．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1．
(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1．
(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1．
考点4．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形





性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
例3、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.]
[跟踪训练]
2、(2019·山东潍坊检测)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】C　[设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得＝，＝2及a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2.]

3、(2019·江西新余月考)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是___________________．
【答案】　[因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是.]



考点5．对于＋＝1(a＞b＞0)如图．

则：(1)S△PF1F2＝b2tan ．
(2)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c．
(4)过点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1．
例4、若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A． 7 B．
C． D．
【答案】C　[由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6．
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°
＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.解得|AF1|＝．
∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.]


考点6．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
考点7．三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
例6、(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1　　　　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】B　[由y＝x可得＝.　①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.　 ②
由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程为－＝1.]
[跟踪训练]
与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】B　[方法一　椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1．
方法二　设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.]


考点8．双曲线的标准方程和几何性质
标准
方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≤－a或x≥a，
y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，
A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
性质
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

考点9．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝．
考点10．双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
例7、(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A．　　　 B．2　　
C．　　　 D．
【答案】C　[如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．

因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a．
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.]
[跟踪训练]
(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　[双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0．
又∵离心率＝＝，
∴a2＋b2＝3a2.∴b＝a(a>0，b>0)．
∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.]



考点11．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
考点12．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
|PF|
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
例8、(2019·河南郑州月考)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A． B．
C． D． 2
【答案】A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E．
∵|PA|＝|AB|，∴
又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.]
[跟踪训练]
(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2．
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D．
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]


考点13.抛物线中的几个常用结论
(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－．
(3)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝，y1y2＝－p2．
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
③以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
例9、(2019·山东昌乐检测)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
【答案】B　[设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.]
[跟踪训练]
(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】D　[由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．
又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.]