2020届四川省德阳市高三下学期质量检测考试（三）数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出集合，集合，从而，．由此能求出结果．
【详解】
解：集合，
集合，
所以，
故A、C、D均错误，B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2．设向量，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】根据向量的坐标以及即可得出，解出即可．
【详解】
解：，且
，解得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行向量的坐标关系，向量平行的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正态分布的特征得＝，选A.
4．若，则“”是“不全为零”（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】C
【解析】“，全不为零” “ ”，反之不成立，，可能只有一个为0．即可判断出结论．
【详解】
解：“，全不为零” “ ”，反之不成立，，可能只有一个为0．
“ ”是“，全不为零”的必要不充分条件．
故选：C．
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
【考点】空间线面平行垂直的判定与性质
6．已知为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：,当且仅当时取等号，故选D.
【考点】基本不等式.
【方法点晴】
本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.
7．设复数（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】先化简，再根据所求式子为，从而求得结果．
【详解】
解：复数是虚数单位），
而，
而，
故，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
8．设，当函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
【详解】
解：函数，其中，．
当时，取的最大值．
时，取得最大值，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任去3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法的种数为（ ）
A．472 B．256 C．232 D．484
【答案】B
【解析】根据题意，按取出的卡片中有没有红色分2种情况讨论，求出每种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①取出的3张卡片中没有红色，则其他三种颜色各取一张，有种取法，
②取出的3张卡片有1张红色，需要在其他三种颜色任选2中，有种取法，
则有种不同取法；
故选：B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
10．已知腰长为2的等腰直角三角形中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量，求出平面向量的数量积，再根据三角函数的性质求出平面向量数量积的最小值．
【详解】
解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；
则，，，，
由知，点的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
设点，，；
则，
，
时，取得最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与最值问题，属于中档题．
11．已知是定义在内的函数，满足恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．
【详解】
解：因为，所以，，
由，得，
即．
令，，则．
所以函数在上为增函数，
则，
即，
，
，，，，
故正确，，，错误
故选：A．
【点睛】
本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题.
12．设是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线于另一点M，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】一般双曲线中，由双曲线的定义可得与一个焦点有关的线段都转化为到另一个焦点的线段，过原点的直线由对称性可得为平行四边形，可得线段之间的等量关系及平行关系，再由三角形的余弦定理可得，之间的关系，进而求出离心率．
【详解】
解：设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可得为平行四边形，所以，，
设，则，所以，即，
，，
在中，由余弦定理可得：，整理可得：，
可得离心率，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题．
二、填空题
13．已知实数满足线性约束条件,则目标函数的最大值是______.
【答案】9
【解析】在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域,平移直线,在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大,把点的坐标代入目标函数中即可求出目标函数的最大值.
【详解】
在直角坐标系内,不等式组所表示的平面区域如下图所示：
平移直线当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大.点的坐标是方程组
,所以目标函数的最大值是.
故答案为：9
【点睛】
本题考查了求线性目标函数最大值问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.
14．已知函数，则__________．
【答案】2
【解析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，，则，
则；
故答案为：2
【点睛】
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
15．《张丘建算经》是中国古代的著名数学著作，该书表明：至迟于公元5世纪，中国已经系统掌握等差数列的相关理论，该书上卷22题又“女工善织问题”：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月曰织九匹三丈，问日益几何？”，大概意思是：有一个女工人善于织布，每天织布的尺数越来越多且成等差数列，第一天知5尺，30天共织九匹三丈，问每天增加的织布数目是多少寸？答案是__________寸．（注：当时一匹为四丈，一丈为十尺，一尺为十寸，结果四舍五入精确到寸）
【答案】6
【解析】根据题意，设每天织布的量组成了等差数列，设公差为（尺，由等差数列的前项和公式计算可得的值，换算单位即可得答案．
【详解】
解：根据题意，每天的织布量组成了等差数列，设公差为（尺，
又由第一天织5尺，30天共织九匹三丈，即（尺，（尺，
即，解可得尺寸；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及前项和公式，属于基础题．
16．在四面体中，，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为__________．
【答案】
【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.
三、解答题
17．已知的内角的对边分别为，若
（1）求角
（2）平分交AC于点M，且，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解；
（2）由已知结合正弦定理可求，然后结合诱导公式及二倍角公式即可求解．
【详解】
解：（1）因为，
所以，将余弦定理代入得，
，所以
（2）记，则中，，，
在中使用正弦定理得，，
即，整理得，
因为为锐角，所以，，
从而．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
18．在四棱锥中，是PB的中点，是等边三角形，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求CP与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取的中点为，连结，，，设交于，连结．只需证明，，即可证明面
（2）建立空间直角坐标系坐标系，设，求得平面的一个法向量即可求解；
【详解】
解：（1）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC， OB，设AC交OB于H，连结GH.
，四边形与四边形均为菱形，
，，为等边三角形，O为AD中点，，
平面平面，平面平面平面PAD，，
平面，平面，，分别为的中点，
，，面，
平面
（2）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐坐标系，不妨设，则，设平面PAG的一个法向量，
由，，令，因为，
设所求的角为，则，所以，
即所求CP与平面APG所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了空间线面垂直的判定，利用空间向量法求线面角的求解，属于中档题．
19．已知函数
（1）求的极值；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）
【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求单调性，进而可求极值；
（2）由，使得成立可分离参数后，构造函数，结合导数可转化为求解相应函数的最值．
【详解】
解：（1）由， ， 则，
当时，则，故在上单调递减，函数没有极值；
当时，令，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而有极小值，没有极大值.
综上所述：当时，没有极值；当时，有极小值，没有极大值
（2）定义域（0，+∞），在定义域内，设，
因为使得成立，只需，
因为，易知在，函数递增，在，函数递减，
所以，从而实数a的范围是
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用参数法求解不等式的存在性问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
20．已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点B为椭圆与轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，定值为12
【解析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可求出椭圆方程；
（2）易知直线的方程为，设，由，，三点共线得，同理，再把代入化简即可．
【详解】
解：（1）由已知得，解之得，所以椭圆的方程为；
（2）由已知点C的坐标为，得直线OC的方程为 ，设，
因三点共线，故，整理得 ，
同理由三点共线，得，整理得，因点P在椭圆上，故，
从而，
所以为定值.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．2019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到100亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没，实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了如下的散点图
现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量关系进行拟合，为此变换如下：令，则，即与也满足线性关系，令，则，即也满足线线关系，这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为与的相关系数，其他参考数据如下（其中）
（1）求指数函数模型和反比例函数模型中关于的回归方程；
（2）试计算与的相关系数，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好（精确到0.01）？
（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采用订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出），根据市场调研数据，该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表：
订单数（千件） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
概率 |
已知每件产品的原来成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别是：相关系数：
【答案】（1）指数模型回归方程为，反比例函数回归方程为；（2）反比例函数；（3）612（千元）
【解析】（1）对两边取对数，可得，即，再把代入，可求得，然后令，则，结合参考公式即可求得，，从而求得回归方程；
（2）利用参考公式求出相关系数，再与（1）中的相比较，即可得解；
（3）设该企业的订单期望为（千件），先利用错位相减法求出的值，再算出企业的利润．
【详解】
解：（1）因为，所以，，将代入上式，得，所以.
令，则，因为，所以，
则，
所以， 所以y关于x的回归方程为.
综上，指数模型回归方程为，反比例函数回归方程为；
（2）y与的相关系数为，
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好.
（3）设该企业的订单期望为S（千件），
则
令 ①
②
②-①，得
化简得，所以
所以该企业的利润约为：（千元）
【点睛】
本题考查线性回归方程及其应用、相关性检验、利用错位相减法求数列前项和，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设，直线与曲线交于两点，求
【答案】（1）；（2）14
【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
【详解】
解：（1）曲线C的直角坐标方程为，将代入得：
曲线C的极坐标方程为
（2）设点P（2，1），直线l的斜率为-1，故倾斜角θ为135°，从而直线l的标准参数方程为 （为参数）
将l 的标准参数方程代入得 ，得：所以
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值为3，其中．
（1）求的值；
（2）若，，，求证：
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．
【详解】
（1）∵，
∴.
∴当时，取得最大值.
∴.
（2）由（Ⅰ），得，
.
∵，当且仅当时等号成立，
∴.
令，.
则在上单调递减.∴.
∴当时，.
∴.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.
