四川省德阳市高三“一诊”考试数学（理）试题附答案
展开德阳市高中 “一诊”考试
数学试卷（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A． B． C． D．
2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：
A．甲队得分的众数是3
B．甲、乙两队得分在分数段频率相等
C．甲、乙两队得分的极差相等
D．乙队得分的中位数是38.5
4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C. D．13
5.如图所示的程序框图输出的结果是
A．34 B．55 C.78 D．89
6.已知等差数列中，、是函数的两个零点，则的前8项和为
A．-16 B．8 C. 16 D．
7.若函数在上是增函数，那么的最大值为
A． B． C. D．
8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”
（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为
A．1055步 B．1255步 C. 1550步 D．2255步
9.在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则
A．16 B．14 C.12 D．8
10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是
A． B． C. D．
11.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为
A．2 B． C. 1 D．
12.已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式展开式中的系数为 ．
14.已知正数、的等差中项为1，则的最小值为 ．
15.已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么 （点为坐标原点）．
16.已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等比数列的各项均为正数，，公比为，等差数列中，，且的前项和为，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
18. 在中，角、、对应的边分别为、、，若.
（1）求角；
（2）若且时，求的面积.
19. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：
| 支持 | 不支持 | 合计 |
中型企业 |
| 40 |
|
小型企业 | 240 |
|
|
合计 |
|
| 560 |
已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（2）从上述支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业选出9家进行奖励，分别奖励中型企业50万元，小型企业10万元.设为所发奖励的金额.
求的分布列和期望.
附：
0.05 | 0.025 | 0.01 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
20. 已知函数和函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，且函数有三个零点、、，求的取值范围.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做、则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.已知圆和圆的极坐标方程分别为和，曲线分别交圆和圆于、两点，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）将圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点在圆上，求三角形面积取最大值时，点的直角坐标.
23.已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若存在、，使得成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CADAB 6-10:CBBBD 11、12：DA
二、填空题
13. 18 14. 8 15. 5 16.
三、解答题
17.解：（1）由题意得：即：
所以，解得（是等差数列的公差）.
所以得：，.
（2）由（1）得：
所以
所以.
18. 解：（1）在中，由正弦定理得：
即
所以（不合题意舍去）或且
得：.
（2）由（1）知及得：
得：
即
整理得：
∵∴
所以即，
在中由正弦定理得：即
所以.
19. 解：（1）由从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.
可知：支持技术改造的企业共有320家，故列联表为
| 支持 | 不支持 | 合计 |
中型企业 | 80 | 40 | 120 |
小型企业 | 240 | 200 | 440 |
合计 | 320 | 240 | 560 |
所以
故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.
（2）由（1）可知支持技术改造的企业中，中小企业比为1:3.所以按分层抽样的方法抽出12家企业中有3家中型企业，9家小型企业.选出的9家企业的可能情况是、、、.（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）
的所有可能取值为90、130、170、210（万元）
，
，
故的分布列为
90 | 130 | 170 | 210 | |
所以（万元）.
20. 解：（1）显然时，单增.
当时，
令得：.
且或时，；
时，.
故：函数的单调增区间为；
单调减区间为.
（2）当时，令得：
当时，令即：
即：
得：，（舍去）
所以.
令，
即求函数，的值域
因为，显然，
所以在上恒成立.
即在上单增
所以.
即的取值范围为.
21. 解：（1）由题意知：
若，即时，在上单减，在单增
若，即时，
当时，在单增；
当时，在上单增，在单减，在上单增；
当时，在上单增，在单减，在上单增.
（2）由（1）知当时，在单增，故不可能有两个零点.
当时，只有一个零点，不合题意.
当时，在上单减，在单增，且时，；时，.
故只要，解得：.
当时，在上单增，在单减，在上单增.
因为故也不可能有两个零点.
当时，在上单增，在单减，在上单增
且，故要使有两个零点，必有
由
即当时，有
因为
即在上单增，且时，
.
故当时，不可能有两个零点.
综上所述：当时，有两个零点.
22. 解：（1）圆的直角坐标方程为
圆的直角坐标方程为.
（2）将代入圆和圆的极坐标方程得、
所以，要使三角形面积取最大值，只要圆上的点到直线的距离最大
解
得：点的直角坐标为.
23. 解：（1）因为
故由得：或或
解得原不等式解集为：.
（2）由（1）可知的值域为，显然的值域为.
依题意得：
所以实数的取值范围为.
