2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题（解析版）
展开2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.
【详解】
解：，
则.
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.
2．函数的定义域为，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.
【详解】
解：由函数得，解得，即；
又，解得，即，
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为3．
【考点】程序框图．
4．函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性，在时函数范围的判断进行排除，即可得答案.
【详解】
解：由已知，则函数在上是奇函数，故排除B；
又，故排除CD；
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题.
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
6．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B．80 C． D．160
【答案】A
【解析】求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.
【详解】
解：二项式展开式的通式为，
令，解得，
则常数项为.
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
7．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】
解：抛物线焦点，准线，
过作交于点，连接
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
8．不等式组表示的平面区域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，
其中 ，，
设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，
由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，
当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，
故AB错误；
设，则的几何意义为点与点连线的斜率，
由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.
9．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：
，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
10．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.
【详解】
解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，
则，，，
在中，
则，得，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.
11．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数在上单调递增，
当，若为增函数，则①，
当，
若为增函数，必有在上恒成立，
变形可得：，
又由，可得在上单调递减，则，
若在上恒成立，则有②，
若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有，③
联立①②③可得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
12．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，
、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：
因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图
，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
二、填空题
13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.
【答案】3000
【解析】根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.
【详解】
解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，
则，
该市身高高于的高中男生人数大约为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.
14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
【答案】24
【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.
【详解】
解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，
若甲乙两名护士到同一地的种数有，
则甲乙两名护士不到同一地的种数有.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.
15．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.
【详解】
解：圆的圆心为，
则到直线的距离为，
由直线截圆所得的弦长为可得
，整理得，
解得或(舍去)，令
，
又，当且仅当时,等号成立,
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.
16．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.
【详解】
解：由正弦定理得，
则点在曲线上，
设，则，
，
又，
，
因为，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.
三、解答题
17．已知数列满足：对一切成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；
（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.
【详解】
（1）①，
当时，，
，
当时，②，
①②得：，
，
适合，
故；
（2），
.
【点睛】
本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
18．如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
【点睛】
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
市场：
需求量（吨） | 90 | 100 | 110 |
频数 | 20 | 50 | 30 |
市场：
需求量（吨） | 90 | 100 | 110 |
频数 | 10 | 60 | 30 |
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
（1）求的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.
【答案】（1）；（2）吨，理由见解析
【解析】（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；
（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.
【详解】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则
，，，
，，，
；
（2）可取180，190，200，210，220，
当时，
当时，
.
，
时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
20．已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；
（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，
，
，，
，，
椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，
解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，
，
，
即
整理得：
代入①得：
到的距离
综上：为定值.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
21．已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；
（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.
【详解】
（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根
由，知
有两个零点有两个相异实根.
令，则，
由得：，由得：，
在单调递增，在单调递减
，
又
当时，，当时，
当时，
有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，
原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.
令
令，，则
在上单增
又，
，使即①
当时，，当时，，
即在递减，在递增，
由①知
函数在单调递增
即
，
实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
22．已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.
【详解】
（1）设的极坐标为，在中，有，
点的轨迹的极坐标方程为；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，
由得：，
由得：，
，
，
当，即时，，
的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若正数、满足，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分别解出，再求并集即可；
（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.
【详解】
（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）
由（Ⅰ）得：
由（Ⅱ）得：
由（Ⅲ）得：.
原不等式的解集为；
（2），，，
，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当即时取等号，
.
【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.
