2020届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题（解析版）

2020届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先确定集合中的元素，再由交集定义求解．

【详解】

由题意，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础．

2．已知为虚数单位，、，，，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】等式去分母化简后根据复数的相等求出，再计算．

【详解】

∵，∴，即，

∴，解得，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数．

3．已知向量与向量共线，则实数的值为（    ）

A． B．或0 C．3 D．3或0

【答案】B

【解析】利用向量共线的坐标运算可求得值．

【详解】

由题意，解得或．

故选：C．

【点睛】

本题考查向量共线的坐标表示，即，则．

4．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的结果是（    ）

A．24 B．28 C．34 D．40

【答案】D

【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论．

【详解】

模拟程序运行，，，，判断否；

，，判断否；

，，判断否；

，，判断是；

输出．

故选：D．

【点睛】

本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论．

5．已知的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】求出展开式中和的系数，由多项式乘法法则可得结论．

【详解】

由题意，．

故选：A．

【点睛】

本题考查二项式定理，考查求二项展开式的系数，注意多项式乘法法则的应用．

6．为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力。某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间（单位：分钟）大致服从的关系为（k、M为常数）．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是（    ）

A．40分钟 B．35分钟 C．30分钟 D．25分钟

【答案】C

【解析】从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，说明，这样由可求得，而，因此与的表达式一样，由此可得．

【详解】

由已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，及函数的解析式知，∴，又，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查分段函数的应用．在已知函数模型的情况下，解题关键是求出函数式中的参数．为此可根据函数式提供的性质确定已知条件应该选用的表达式，求出相应参数，本题有求出，实际上还可以再根据求出，再由确定所用表达式．

7．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（    ）

A． B．24 C． D．16

【答案】D

【解析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长．

【详解】

由题意抛物线准线为，，∴，解得．

∴，，∴的周长为．

故选：D．

【点睛】

本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值．

8．在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知得平面，因此当时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得，从而求得，又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径，从而可求得其表面积．

【详解】

∵PA与PB、PC垂直，∴平面，

∴是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，

由平面得，，要使最大，则最小，

显然当时，最小，此时，

又，∴，而，∴，

由，得，从而，

如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，

∴球表面积为．

故选：A．

【点睛】

本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．

9．函数与的图象相交于M、N两点，O为坐标原点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解方程求出坐标，再计算面积．

【详解】

由得，即，

，，∴，

∵，∴或，∴，．

由对称性知与轴交点为，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查求三角形面积，求两函数图象交点坐标，实质是考查解三角方程，考查同角间的三角函数关系，考查特殊角的三角函数．解三角形方程要注意角的范围．

10．已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（    ）

A．20 B．10 C． D．

【答案】B

【解析】利用平面向量的线性运算，，，而，代入计算即可．

【详解】

由题意，，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到，由，这样＝，这两个向量都可以用表示，这就与已知条件建立了联系．

11．已知奇函数满足，则代数式的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由奇函数定义求出，确定函数的单调性，化简不等式得满足的关系，再由代数式的几何意义求得取值范围．

【详解】

∵是奇函数，

∴当时，，，

∴，∴，

即．在上是增函数．

则不等式可化为，

∴，，．

满足条件的点在直线的左上方，

而表示点到点间距离的平方，，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，考查二元一次不等式表示的平面区域，考查两点间的距离与点到直线的距离公式．函数的单调性与奇偶性属于基础应用，代数式是平方和形式时，用其几何意义：两点间距离的平方求解更加方便．

12．已知曲线，相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列命题正确的个数为（    ）

①当时，m的取值范围是；②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；③函数的最小正周期为；④函数在区间上有且仅有一个零点．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】先把函数化为一个角的一个三角函数形式，利用在处取最大值，可求出的表达式（用表示），①由的范围求出的范围，从而中得的范围，②可举反例；③利用周期函数的性质判断，即周期是，周期是，如果存在，使得，则是的周期．④确定函数解析式后可知在所给区间上零点有无数个．

【详解】

函数的相邻对称轴之间的距离为，则周期为，∴，

，其中，，，

在处取最大值，则，，，

①若，则，，，解得，正确．

②如，时函数取最大值，将的图象向左平移个单位后得，不是偶函数，错；

③中，是最小正周期是，的最小正周期是，但的最小正周期还是，正确；

④时，，因此在区间上有无数个零点，错；

∴正确的命题有2个．

故选：B．

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质，解题时可先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合三角函数性质一一判断，其中周期函数的性质是：的最小正周期是，的最小正周期是，如果存在，使得，则是的周期．本题考查知识很多，属于难题．

二、填空题

13．国际青年物理学家竞赛（简称IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数据,……，通过散点图发现u、v具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程：，由于数据保存失误导致丢失，但被保存，通过所学知识可以求得______．

【答案】85

【解析】利用回归直线过中心可求解．

【详解】

由题意，∴，∴．

故答案为：85．

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握回归直线一定过数据中心点．

14．已知递增等比数列的前n项和为，且满足：，，则______．

【答案】2

【解析】利用已知条件求出公比，再求出后可得结论．

【详解】

设等比数列公比为，则，又数列是递增的，∴，

∴，，，．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．

15．已知，若正数a、b满足，且的最小值为1，则实数的值为______．

【答案】9

【解析】由求出满足的关系，然后利用基本不等式求出的最小值，再由最小值为1可得．

【详解】

∵，,∴，即，

∴，当且仅当时等号成立．

∴，．

故答案为：9．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．

16．已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证．

【详解】

时，不等式为，不恒成立；

时，，令，，由得，

当时，，递增，时，，递减，

∴时，，要使命题成立，则，；

时，函数是增函数，在唯一零点，

，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，

∴，，

综上的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子和分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．

三、解答题

17．垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统．为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；

（2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在的人数记为，求的分布列及数学期望．

【答案】（1），76.5；（2）分布列见解析，2.

【解析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和为1（即所有小矩形面积之和为1）可计算出，每组中间点值乘以该组频率相加可得估计的平均成绩；

（2）由（1）得成绩在的频率为，因此有，的可能取值为：0，1，2，3，4，由二项分布计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望值．

【详解】

（1）由题意得：

所以：,

平均成绩为：．

（2）易知测试成绩在的频率为

故．

的可能取值为：0，1，2，3，4

的分布列为

．

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查二项分布，属于基础题，对学生的数据处理能力有一定的要求．

18．已知等差数列的前n项和．

（1）求实数b的值及的通项公式；

（2）若，且，求数列的前n项和．

【答案】（1）0，；（2）.

【解析】（1）由求出，由时，求出，利用必成等差数列可求得，从而得．

（2）由（1）可求得，对裂项为，再相加．

【详解】

（1）由于

所以当时，

当时，

又数列是等差数列，故，即

所以．

易验证此时数列是以2为首项，2为公差的等差数列，．

（2）由题意及（1）知：

所以

从而．,

【点睛】

考查等差数列的通项公式，考查已知与的关系求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知与的关系求数列通项公式时，要注意只有时才有，不包含，，它们的计算方法不一样，注意验证．

19．在中，内角A、B、C的对边分别记为a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若的面积，，求的周长．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）用诱导公式、降幂公式化简，再用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简，最后再由正弦定理化角为边得结论；

（2）已知可求得，由面积公式可得，再由余弦定理结合（1）的结论可求得，从而得三角形周长．

【详解】

（1）由及得：

即

由正弦定理得：

所以，即

所以．

（2）由，得：

又，所以

又由余弦定理得：

又由（1）得：，所以

所以的周长．

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本．熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的公式是解题关键．

20．已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）存在，.

【解析】（1）求出导数，确定函数的单调性，然后按分类讨论；

（2）假设存在符合条件的点，同时设切点为，由导数几何意义得即（），问题转化为关于的方程（）存在三个不同实根．然后用导数研究函数的零点．

【详解】

（1）由题意得：

当时，；

当时，；

当时，．

即在单调递增，在单调递减，在单调递增

又的零点分别为，0，

所以当时，，；

当时，，；

当时，，．

（2）假设存在符合条件的点，切点设为

所以即（）

故问题转化为关于的方程（）存在三个不同实根．

令，则

当时，，在R上单调递增，不合题意；

当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增

从而，即

解得：

当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增

从而，即

解得：

综上，存在符合条件的点P，其横坐标的取值范围为．

【点睛】

本题考查用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查方程根的分布与函数零点问题．

掌握基本方法即可解决问题，但对运算求解能力有一定的要求．

21．已知函数的极小值为．

（1）求实数k的值；

（2）令，当时，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出导数，研究函数的单调性，得极值，由极小值为求得值；

（2）由（1）得，令，同样由（1）可得的单调性（导数利用（1）中结论），这样得到关于u的不等式的解集应是单调递增区间的子集，而，从而，接着要证题中不等式，可先证，这又可设，，换元后同样由导数研究函数的单调性最值，证得不等式成立．

【详解】

（1）显然，，由题意得：

令得：

若，则当时，；

当时，，此时为极小值点，合题意．

由得：．

若，显然不合题意．

所以．

（2）由题意得：，令

由（1）易知在单调递减，且；在单调递增

故关于u的不等式：的解集应是单调递增区间的子集

又，从而

令

．

令，则

所以

显然当时，；当时，

从而在单调递增，在单调递减

所以

又，所以，从而

于是，即

又

故．

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性与极值，用导数解不等式、证明不等式，解不等式实际上是由函数的单调性求解．用导数证明不等式实际上还是转化为求函数的最值、值域问题．这通过设出新的函数，通过研究新函数的性质给出证明．解题时注意适当的变形，注意换元法的应用．本题难度较大，属于困难题．

22．在极点为O的极坐标系中，直线上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C．

（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；

（2）若，，均在曲线C上，求的面积．

【答案】（1），C是除去极点的圆；（2）.

【解析】（1）既然是求极坐标方程，因此设，，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；

（2）由曲线的极坐标方程，求出，根据三点的极角求出，从而得，及，，然后可得三角形面积．

【详解】

（1）设，，由题意得

所以

又，所以

C是除去极点的圆：．

（2）由已知，，

因为

所以且

∴

．

【点睛】

本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用．注意极坐标的意义即可．

23．已知函数．

（1）求证：；

（2）若实数a、b、c满足，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用绝对值三角不等式证明；

（2）用柯西不等式证明．

【详解】

（1）因为

所以．

（2）因为，所以由柯西不等式得

（当且仅当时取等号）．

【点睛】

本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式．掌握这两个不等式是解题关键．