还剩17页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版八年级数学下册同步教学设计
成套系列资料，整套一键下载
初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教案
展开
这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教案，共20页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
教师备课 素材示例
●置疑导入 詹姆斯·加菲尔德是美国第20任总统，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证法，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统证法”．
问题：你了解勾股定理吗？你想探索一下詹姆斯·加菲尔德是怎样利用图形验证勾股定理的吗？
分析：S梯形＝__ eq \f((AC＋DE)DC,2)__＝__S△ABC__＋__S△BDE__＋__S△ABE__，用字母公式表示为：__ eq \f((a＋b)×(a＋b),2)__＝__ eq \f(ab,2)__＋__ eq \f(ab,2)__＋__ eq \f(c2,2)__，即__a2＋b2__＝__c2__.
【教学与建议】教学：巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理这一问题，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲．建议：分析例题，激发学生的学习积极性，激发探究欲望．
●悬念激趣 相传2 500多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发呆．原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系．那么他发现了什么呢？今天我们就来研究这个问题．
【教学与建议】教学：从毕达哥拉斯在朋友家作客的偶然发现这一故事入手，引出本节课的课题——勾股定理，激发了学生的学习兴趣．建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学生思考．
◎命题角度1 利用勾股定理求图形面积
勾股图形中同一层上所有的小正方形的面积之和相等，都等于下层的最大正方形的面积．
【例1】如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)
A．12 B．13 C．144 D．194
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例1题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例2题图）))
【例2】如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为__1__．
◎命题角度2 勾股定理的验证
勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的，这种方法是以数形转换为指导，图形拼补为手段，以各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的．
【例3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是__1__．
【例4】4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为c2＋2× eq \f(1,2)ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2× eq \f(1,2)ab＝a2＋b2＋ab，
∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab，∴a2＋b2＝c2.
◎命题角度3 利用勾股定理求边长
利用勾股定理求直角三角形的边长可分三步：(1)分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边；(2)代：代入a2＋b2＝c2；(3)化简．
【例5】已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 eq \r(3) cm，则另一条直角边的长是(C)
A．4 cm B．4 eq \r(3) cm C．6 cm D．6 eq \r(3) cm
【例6】直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三条边长为__13或 eq \r(119)__．
【例7】在△ABC中，AB＝10，AC＝2 eq \r(10).若BC边上的高AD等于6，则BC边的长为__6或10__．
高效课堂 教学设计
1．了解勾股定理的发现过程．
2．掌握勾股定理的内容．
3．体验勾股定理的探索过程．
▲重点
探索和验证勾股定理．
▲难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
◆活动1 新课导入
1．回顾直角三角形的相关概念．
2．在直角三角形中，__30°角__所对的直角边等于斜边的一半．
3．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案(教师出示图片或照片)．
提出问题：
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
本节课我们来学习勾股定理的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P22 内容．
提出问题：
(1)观察图17.11，你能从中发现什么数量关系？
(2)图17.12中，三个正方形的面积有什么关系？
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P23 探究及命题1.
提出问题：
(1)等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
(2)你能计算图17.13中各个正方形的面积吗？
(3)探究SA＋SB与SC，SA′＋SB′与SC′的关系，看看能得出什么结论？
(4)你能用不同的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？
学生完成并交流展示．
3．教材P23～24 图17.15及其下面内容．
提出问题：
(1)请认识赵爽弦图；
(2)你能看懂赵爽证明勾股定理的思路和过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的__平方和__．
2．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__a2＋b2＝c2__．直角三角形的这种关系称为勾股定理．
◆活动4 例题与练习
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝ eq \r(7)，c＝4，求b；
(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.
解：(1)b＝3；(2)b＝4 eq \r(3)；(3)S△ABC＝54.
例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－BD2)＝ eq \r(32－22)＝ eq \r(5)，
∴在Rt△ADC中，AC＝ eq \r(AD2＋DC2)＝ eq \r((\r(5))2＋12)＝ eq \r(6).
例3 如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′，
∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.
∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，∴AE＝CE.
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，
即(4－x)2＝32＋x2，解得x＝ eq \f(7,8)，∴BE＝ eq \f(7,8).
练习
1．教材P24 练习第1，2题．
2．
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
A．48 B．60
C．76 D．80
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2 eq \r(3)，c＝3，求△ABC的面积．
解：∵a＋b＝2 eq \r(3)，∴a2＋b2＋2ab＝12.
由题知，a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝ eq \f(3,2)，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(3,4).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．勾股定理的概念和证明方法．
2．利用勾股定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P28 习题17.1第1，2，3，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 利用勾股定理解决实际问题
教师备课 素材示例
●置疑导入 电视的尺寸是屏幕对角线的长度．小丽的爸爸买了一台47英寸(119.38 cm)的电视机，小丽量电视机的屏幕后，发现屏幕的长为100 cm，宽为40 cm.她觉得一定是售货员搞错了，你同意她的想法吗？
你能利用勾股定理的知识解决上面的问题吗？
【教学与建议】教学：通过生活中的问题引发学生的思考，激发学生的好奇心和求知欲．建议：尝试解决生活中的实际问题，以激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
●悬念激趣 如图，某游泳池岸边A处救生员发现池中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿池边自A处跑到离B处最近的C处，然后从C处游向B处．若救生员在岸边行进的速度是6 m/s，在水中行进的速度是2 m/s，请你分析救生员的选择是否合理．
【教学与建议】教学：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．
◎命题角度1 直接利用勾股定理求边长
在直角三角形中，已知两边，求第三边，可利用勾股定理a2＋b2＝c2直接求解或变形求解．
【例1】如图，一架长为10 m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6 m，如果梯子的顶端下滑了2 m，那么梯子底部在水平方向滑动了(A)
A．2 m B．2.5 m C．3 m D．3.5 m
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例1题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3题图）))
【例2】如图所示(单位：mm)的长方形零件上两孔中心A和B的距离为__100__mm.
◎命题角度2 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题
题目中虽然有直角三角形，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过列方程解答这类计算问题．
【例3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为__32＋x2＝(10－x)2__．
◎命题角度3 利用勾股定理求平面上两点间的距离
平面上两点间的距离可以利用坐标系或方位图特点构造直角三角形求解．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是__ eq \r(2)__；A，C两点间的距离是__5__；A，B两点间的距离是__5__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例5题图）))
【例5】如图，一艘轮船以16 n mile/h的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时以12 n mile/h的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5 h后相距__30__n mile.
高效课堂 教学设计
1．能运用勾股定理进行计算，并会解决实际问题．
2．运用勾股定理解决立体图形的最短路径问题，感受数学的“转化”思想．
▲重点
运用勾股定理解决实际问题．
▲难点
利用勾股定理解决最短路径问题．
◆活动1 新课导入
1．回顾勾股定理的概念．
2．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝__5__；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝__20__；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝__8 eq \r(3)__；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝__12__．
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为__480__m.
◆活动2 探究新知
教材P25 例1.
提出问题：
(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？
(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
应用勾股定理的前提是在__直角__三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先__构造直角三角形__，再利用勾股定理求未知边的长．
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要__分类讨论__，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，__线段__最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积__相等__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P25 例2.
例2 如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
解：设BD＝x m．由题意知，BC＋AC＝BD＋AD，
∴AD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，
∴x＋10＝5＋10＝15.
答：这棵树高15 m．
例3 如图，长方体的长BE＝15 cm，宽AB＝10 cm，高AD＝20 cm，点M在CH上，且CM＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分两种情况比较最短距离：
如答图①所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝ eq \r(102＋(20＋5)2)＝5 eq \r(29)(cm).如答图②所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝ eq \r(202＋(10＋5)2)＝25(cm).
∵5 eq \r(29)>25，∴第二种路线较短，此时最短距离为25 cm.
答：需要爬行的最短距离是25 cm.
练习
1．教材P26 练习第1，2题．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，则图中与格点A的距离是 eq \r(13)的格点有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）))
3．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为__17__m.
4．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
解：如图，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，过点A作B′B的垂线，垂足为E.
在Rt△AB′E中，AE＝600 m，B′E＝800 m，
∴AB′＝ eq \r(6002＋8002)＝1 000(m).
答：牧童最少要走1 000 m．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
勾股定理的应用．
1．作业布置
(1)教材P28～29 习题17.1第4，5，9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 勾股定理的作图与计算
教师备课 素材示例
●置疑导入 如图，有一个圆柱，它的高是12 cm，底面圆的周长是10 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)尝试在圆柱侧面上画出几条从点A到点B的路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想去点B处吃食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【教学与建议】教学：设置层层递进问题，利用勾股定理求解实际问题引入新课，使学生在活动中体验数学建模思想．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案．
●复习导入
操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(4)， eq \r(5)， eq \r(13)的点吗？
1．看图填空：
x＝__ eq \r(2)__；y＝__ eq \r(3)__；z＝__2__；m＝__ eq \r(5)__．
2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？
【教学与建议】教学：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力．建议：教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．
◎命题角度1 在数轴上表示无理数
在数轴上画表示无理数 eq \r(c)的点的步骤(如图所示)：(1)把c转化为两个正整数a，b的平方和，即 eq \r(c)＝ eq \r(a2＋b2)；(2)以原点O为圆心，在数轴上截取OA＝a；(3)过点A作数轴的垂线AM，在AM上截取AB＝b；(4)连接OB，根据勾股定理，得OB＝ eq \r(c)；(5)以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数就是无理数 eq \r(c).
【例1】如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)
A． eq \r(5)＋1 B． eq \r(5)－1 C．－ eq \r(5)＋1 D．－ eq \r(5)－1
【例2】如图，在数轴上画出表示 eq \r(17)的点(不写作法，但要保留画图痕迹)．
解：所画图形如图所示，其中点A即为所求．
◎命题角度2 网格图中的无理数
在由小正方形构成的网格图中，利用格点构造几何图形．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB的长度为(C)
A． eq \r(2) B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．3
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4题图）))
【例4】如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为(D)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \r(3) D．2－ eq \r(3)
◎命题角度3 利用勾股定理求立体图形表面上两点之间的最短路程
确定立体图形表面上的最短路程问题，其解题思路是将立体图形的表面展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．
【例5】如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是BC上一点，且PC＝ eq \f(2,3)BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(B)
A．(4＋ eq \f(6,π))cm B．5 cm C．3 eq \r(5) cm D．7 cm
【例6】如图，有一个棱长为2的正方体，现有一绳子从A出发，沿正方体表面到达C处，问最短绳长的平方为多少？
解：如图，将该正方体的右表面翻折至与前表面同平面，使得A，C两点共面，连接AC，此时线段AC的长度即为最短绳长．所以AC2＝22＋(2＋2)2＝20，即最短绳长的平方为20.
◎命题角度4 利用勾股定理解决几何变换问题
在折叠、旋转等问题中常常将条件集中于一个直角三角形，然后利用勾股定理构造方程，求线段的长．
【例7】如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)
A． eq \f(5,3) B． eq \f(5,2) C． eq \f(8,3) D．5
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例7题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例8题图）))
【例8】如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为__2 eq \r(5)__．
高效课堂 教学设计
1．利用勾股定理作长度为无理数的线段．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．
▲重点
利用勾股定理作长度为无理数的线段．
▲难点
勾股定理的灵活应用．
◆活动1 新课导入
1．在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
2．若直角三角形的两直角边分别为 eq \r(2)，1，斜边为多少？
3．同学们，你们会在数轴上作出 eq \r(2)吗？
◆活动2 探究新知
教材P26～27 内容．
提出问题：
(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示 eq \r(13)的点吗？
(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数a的点A作直线l与数轴垂直，在直线l上截取AB＝b，连接OB(点O为原点)，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，它表示数__ eq \r(a2＋b2)__；当点P在负半轴上时，它表示数__－ eq \r(a2＋b2)__．
2．实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助__勾股定理__作出长为 eq \r(n)(n为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数 eq \r(n)的点．
◆活动4 例题与练习
例1 在数轴上作出表示－ eq \r(17)的点．
解：∵ eq \r(17)＝ eq \r(16＋1)＝ eq \r(42＋12)，∴ eq \r(17)是以4，1为直角边的直角三角形斜边的长，如图，即点C表示－ eq \r(17).
例2 利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数 eq \r(8)和－ eq \r(8).
解：如图．
例3 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)如图②，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
解：(1)如图①所示；(2)如图②，连接AC，并设点D，E，则BC＝AC＝ eq \r(5)，且易证△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝45°.
练习
1．教材P27 练习第1，2题．
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，数轴上的2处表示点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( C )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）))
3．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是__5__．
4．在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 dm，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6 dm，问这里的水深是多少？
解：根据题意，作图(如图).其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，则CD＝3 dm，CB＝6 dm，AD＝AB，BC⊥AD.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，解得AC＝4.5.
答：这里的水深是4.5 dm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．在数轴上表示无理数．
2．应用勾股定理解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P28～29 习题17.1第6，8，11，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
17.2 勾股定理的逆定理
教师备课 素材示例
●类比导入 问题1：你能说出勾股定理吗？指出定理的题设和结论．
题设：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，结论：a2＋b2＝c2.
问题2：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？
师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题．
追问：能否把勾股定理的逆命题作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．
【教学与建议】教学：通过复习勾股定理，交换题设和结论，自然合理地引出勾股定理的逆定理．建议：教学时，应该多让学生交流讨论前面学习逆定理的经验．
●悬念激趣 同学们，你们是如何画直角的？想知道古埃及人是如何画直角的吗？
古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形．你认为这个三角形是直角三角形吗？
操作：以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断．
【教学与建议】教学：介绍前人经验，启发思考，动手操作，锻炼了学生动手实践、观察探究的能力．建议：小组为单位动手操作，讨论交流判断结果．
◎命题角度1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
用勾股定理的逆定理判定直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可．
【例1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)
A．7，24，25 B．1，2，3 C．5，6，7 D．4，8，13
【例2】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
◎命题角度2 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理构造直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理或逆定理求出要求的线段长．
【例3】如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．
解：连接AC.在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2)＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝ eq \f(1,2)×10×24－ eq \f(1,2)×6×8＝96.
◎命题角度3 判断勾股数
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数，两者缺一不可．
【例4】有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n>1且n为自然数)．其中，勾股数有__①④__．
【例5】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：__5，12，13；7，24，25(答案不唯一)__．
◎命题角度4 勾股定理逆定理与配方法、因式分解法的综合问题
某些等式可以通过配方法或者因式分解法变形得出a，b，c的值，然后再根据勾股定理的逆定理判断以a，b，c为边长的三角形的形状．
【例6】如果三角形的三边a，b，c满足(a＋2b－60)2＋|b－18|＋ eq \r(30－c)＝0，则此三角形的形状是__直角三角形__．
【例7】已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．
解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，∴△ABC是直角三角形．
◎命题角度5 勾股定理逆定理的综合应用
解决此类问题一般将条件集中在一个直角三角形中，构造全等．利用勾股定理的逆定理使问题得到解决．
【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PA2＋PB2＝2PC2__．
【例9】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.
(1)求证：BA⊥AD；
(2)求BC的长．
解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD.连接CE.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE＝AB＝5，∠BAE＝∠E，AE＝2AD＝2×6＝12.
又∵AC＝13，∴AE2＋CE2＝122＋52＝169＝132＝AC2，
∴△AEC是直角三角形，∠E＝90°＝∠BAE，∴BA⊥AD；
(2)在Rt△ECD中，CD2＝DE2＋CE2＝62＋52＝61，
∴CD＝ eq \r(61)，∴BC＝2CD＝2 eq \r(61).
高效课堂 教学设计
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明．
2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形．
3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系．
▲重点
勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理的逆定理的证明．
◆活动1 新课导入
1．回顾勾股定理和命题的概念．
2．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长．
3．以3，4，5为三边的三角形的形状是怎样的？
今天我们来学习勾股定理的逆定理．
◆活动2 探究新知
教材P31～32 内容．
提出问题：
(1)如果一个三角形的三条边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(2)类似地，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，这个三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试．由此你能得出什么结论？
(3)什么叫做互逆命题、原命题和逆命题？它们之间有什么联系？
(4)命题1、命题2的题设和结论分别是什么？
(5)你能证明命题2正确吗？如何证明？
(6)若一个命题成立，则它的逆命题也成立吗？
(7)什么叫做勾股数？一组勾股数同时放大相同的倍数后还是勾股数吗？
学生完成并交流展示.
◆活动3 知识归纳
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__a2＋b2＝c2__，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为__勾股数__．勾股数扩大相同倍数后，仍为__勾股数__．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__逆定理__．
◆活动4 例题与练习
例1 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( D )
A．b2－c2＝a2 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
例2 教材P32 例1.
例3 教材P33 例2.
例4 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13 n mile/h的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得距离走私艇C12 n mile，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
解：设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，E为MN与AC的交点，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝ eq \f(1,2)AB·BC＝ eq \f(1,2)AC·BE，得BE＝ eq \f(AB·BC,AC)＝ eq \f(5×12,13)＝ eq \f(60,13)(n mile).由CE2＋BE2＝BC2，得CE＝ eq \r(BC2－BE2)＝ eq \r(122－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60,13)))\s\up12(2))＝ eq \f(144,13)(n mile)，∴ eq \f(144,13)÷13＝ eq \f(144,169)≈0.85(h)≈51(min)，∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．
练习
1．教材P33 练习第1，2，3题．
2．下列各组数是勾股数的是( A )
A．3，4，5 B．1.5，2，2.5 C．32，42，52 D． eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)，B(－2，3)，则∠OAB＝__45°__．
4．一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸在图中已标出，这个零件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求．理由如下：∵AD＝12，AB＝9，BC＝8，BD＝15，CD＝17，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2，∴△ABD，△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．勾股定理的逆定理的概念及应用．
2．原命题、逆命题、互逆命题的概念和它们之间的联系．
3．勾股数的概念．
1．作业布置
(1)教材P34 习题17.2第1，2，3，4，5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
教师备课 素材示例
●置疑导入 詹姆斯·加菲尔德是美国第20任总统，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证法，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统证法”．
问题：你了解勾股定理吗？你想探索一下詹姆斯·加菲尔德是怎样利用图形验证勾股定理的吗？
分析：S梯形＝__ eq \f((AC＋DE)DC,2)__＝__S△ABC__＋__S△BDE__＋__S△ABE__，用字母公式表示为：__ eq \f((a＋b)×(a＋b),2)__＝__ eq \f(ab,2)__＋__ eq \f(ab,2)__＋__ eq \f(c2,2)__，即__a2＋b2__＝__c2__.
【教学与建议】教学：巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理这一问题，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲．建议：分析例题，激发学生的学习积极性，激发探究欲望．
●悬念激趣 相传2 500多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发呆．原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系．那么他发现了什么呢？今天我们就来研究这个问题．
【教学与建议】教学：从毕达哥拉斯在朋友家作客的偶然发现这一故事入手，引出本节课的课题——勾股定理，激发了学生的学习兴趣．建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学生思考．
◎命题角度1 利用勾股定理求图形面积
勾股图形中同一层上所有的小正方形的面积之和相等，都等于下层的最大正方形的面积．
【例1】如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)
A．12 B．13 C．144 D．194
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例1题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例2题图）))
【例2】如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为__1__．
◎命题角度2 勾股定理的验证
勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的，这种方法是以数形转换为指导，图形拼补为手段，以各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的．
【例3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是__1__．
【例4】4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为c2＋2× eq \f(1,2)ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2× eq \f(1,2)ab＝a2＋b2＋ab，
∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab，∴a2＋b2＝c2.
◎命题角度3 利用勾股定理求边长
利用勾股定理求直角三角形的边长可分三步：(1)分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边；(2)代：代入a2＋b2＝c2；(3)化简．
【例5】已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 eq \r(3) cm，则另一条直角边的长是(C)
A．4 cm B．4 eq \r(3) cm C．6 cm D．6 eq \r(3) cm
【例6】直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三条边长为__13或 eq \r(119)__．
【例7】在△ABC中，AB＝10，AC＝2 eq \r(10).若BC边上的高AD等于6，则BC边的长为__6或10__．
高效课堂 教学设计
1．了解勾股定理的发现过程．
2．掌握勾股定理的内容．
3．体验勾股定理的探索过程．
▲重点
探索和验证勾股定理．
▲难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
◆活动1 新课导入
1．回顾直角三角形的相关概念．
2．在直角三角形中，__30°角__所对的直角边等于斜边的一半．
3．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案(教师出示图片或照片)．
提出问题：
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
本节课我们来学习勾股定理的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P22 内容．
提出问题：
(1)观察图17.11，你能从中发现什么数量关系？
(2)图17.12中，三个正方形的面积有什么关系？
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P23 探究及命题1.
提出问题：
(1)等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
(2)你能计算图17.13中各个正方形的面积吗？
(3)探究SA＋SB与SC，SA′＋SB′与SC′的关系，看看能得出什么结论？
(4)你能用不同的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？
学生完成并交流展示．
3．教材P23～24 图17.15及其下面内容．
提出问题：
(1)请认识赵爽弦图；
(2)你能看懂赵爽证明勾股定理的思路和过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的__平方和__．
2．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__a2＋b2＝c2__．直角三角形的这种关系称为勾股定理．
◆活动4 例题与练习
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝ eq \r(7)，c＝4，求b；
(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.
解：(1)b＝3；(2)b＝4 eq \r(3)；(3)S△ABC＝54.
例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－BD2)＝ eq \r(32－22)＝ eq \r(5)，
∴在Rt△ADC中，AC＝ eq \r(AD2＋DC2)＝ eq \r((\r(5))2＋12)＝ eq \r(6).
例3 如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′，
∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.
∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，∴AE＝CE.
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，
即(4－x)2＝32＋x2，解得x＝ eq \f(7,8)，∴BE＝ eq \f(7,8).
练习
1．教材P24 练习第1，2题．
2．
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
A．48 B．60
C．76 D．80
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2 eq \r(3)，c＝3，求△ABC的面积．
解：∵a＋b＝2 eq \r(3)，∴a2＋b2＋2ab＝12.
由题知，a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝ eq \f(3,2)，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(3,4).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．勾股定理的概念和证明方法．
2．利用勾股定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P28 习题17.1第1，2，3，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 利用勾股定理解决实际问题
教师备课 素材示例
●置疑导入 电视的尺寸是屏幕对角线的长度．小丽的爸爸买了一台47英寸(119.38 cm)的电视机，小丽量电视机的屏幕后，发现屏幕的长为100 cm，宽为40 cm.她觉得一定是售货员搞错了，你同意她的想法吗？
你能利用勾股定理的知识解决上面的问题吗？
【教学与建议】教学：通过生活中的问题引发学生的思考，激发学生的好奇心和求知欲．建议：尝试解决生活中的实际问题，以激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
●悬念激趣 如图，某游泳池岸边A处救生员发现池中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿池边自A处跑到离B处最近的C处，然后从C处游向B处．若救生员在岸边行进的速度是6 m/s，在水中行进的速度是2 m/s，请你分析救生员的选择是否合理．
【教学与建议】教学：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．
◎命题角度1 直接利用勾股定理求边长
在直角三角形中，已知两边，求第三边，可利用勾股定理a2＋b2＝c2直接求解或变形求解．
【例1】如图，一架长为10 m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6 m，如果梯子的顶端下滑了2 m，那么梯子底部在水平方向滑动了(A)
A．2 m B．2.5 m C．3 m D．3.5 m
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例1题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3题图）))
【例2】如图所示(单位：mm)的长方形零件上两孔中心A和B的距离为__100__mm.
◎命题角度2 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题
题目中虽然有直角三角形，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过列方程解答这类计算问题．
【例3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为__32＋x2＝(10－x)2__．
◎命题角度3 利用勾股定理求平面上两点间的距离
平面上两点间的距离可以利用坐标系或方位图特点构造直角三角形求解．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是__ eq \r(2)__；A，C两点间的距离是__5__；A，B两点间的距离是__5__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例5题图）))
【例5】如图，一艘轮船以16 n mile/h的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时以12 n mile/h的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5 h后相距__30__n mile.
高效课堂 教学设计
1．能运用勾股定理进行计算，并会解决实际问题．
2．运用勾股定理解决立体图形的最短路径问题，感受数学的“转化”思想．
▲重点
运用勾股定理解决实际问题．
▲难点
利用勾股定理解决最短路径问题．
◆活动1 新课导入
1．回顾勾股定理的概念．
2．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝__5__；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝__20__；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝__8 eq \r(3)__；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝__12__．
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为__480__m.
◆活动2 探究新知
教材P25 例1.
提出问题：
(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？
(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
应用勾股定理的前提是在__直角__三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先__构造直角三角形__，再利用勾股定理求未知边的长．
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要__分类讨论__，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，__线段__最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积__相等__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P25 例2.
例2 如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
解：设BD＝x m．由题意知，BC＋AC＝BD＋AD，
∴AD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，
∴x＋10＝5＋10＝15.
答：这棵树高15 m．
例3 如图，长方体的长BE＝15 cm，宽AB＝10 cm，高AD＝20 cm，点M在CH上，且CM＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分两种情况比较最短距离：
如答图①所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝ eq \r(102＋(20＋5)2)＝5 eq \r(29)(cm).如答图②所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝ eq \r(202＋(10＋5)2)＝25(cm).
∵5 eq \r(29)>25，∴第二种路线较短，此时最短距离为25 cm.
答：需要爬行的最短距离是25 cm.
练习
1．教材P26 练习第1，2题．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，则图中与格点A的距离是 eq \r(13)的格点有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）))
3．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为__17__m.
4．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
解：如图，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，过点A作B′B的垂线，垂足为E.
在Rt△AB′E中，AE＝600 m，B′E＝800 m，
∴AB′＝ eq \r(6002＋8002)＝1 000(m).
答：牧童最少要走1 000 m．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
勾股定理的应用．
1．作业布置
(1)教材P28～29 习题17.1第4，5，9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 勾股定理的作图与计算
教师备课 素材示例
●置疑导入 如图，有一个圆柱，它的高是12 cm，底面圆的周长是10 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)尝试在圆柱侧面上画出几条从点A到点B的路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想去点B处吃食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【教学与建议】教学：设置层层递进问题，利用勾股定理求解实际问题引入新课，使学生在活动中体验数学建模思想．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案．
●复习导入
操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(4)， eq \r(5)， eq \r(13)的点吗？
1．看图填空：
x＝__ eq \r(2)__；y＝__ eq \r(3)__；z＝__2__；m＝__ eq \r(5)__．
2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？
【教学与建议】教学：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力．建议：教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．
◎命题角度1 在数轴上表示无理数
在数轴上画表示无理数 eq \r(c)的点的步骤(如图所示)：(1)把c转化为两个正整数a，b的平方和，即 eq \r(c)＝ eq \r(a2＋b2)；(2)以原点O为圆心，在数轴上截取OA＝a；(3)过点A作数轴的垂线AM，在AM上截取AB＝b；(4)连接OB，根据勾股定理，得OB＝ eq \r(c)；(5)以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数就是无理数 eq \r(c).
【例1】如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)
A． eq \r(5)＋1 B． eq \r(5)－1 C．－ eq \r(5)＋1 D．－ eq \r(5)－1
【例2】如图，在数轴上画出表示 eq \r(17)的点(不写作法，但要保留画图痕迹)．
解：所画图形如图所示，其中点A即为所求．
◎命题角度2 网格图中的无理数
在由小正方形构成的网格图中，利用格点构造几何图形．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB的长度为(C)
A． eq \r(2) B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．3
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4题图）))
【例4】如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为(D)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \r(3) D．2－ eq \r(3)
◎命题角度3 利用勾股定理求立体图形表面上两点之间的最短路程
确定立体图形表面上的最短路程问题，其解题思路是将立体图形的表面展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．
【例5】如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是BC上一点，且PC＝ eq \f(2,3)BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(B)
A．(4＋ eq \f(6,π))cm B．5 cm C．3 eq \r(5) cm D．7 cm
【例6】如图，有一个棱长为2的正方体，现有一绳子从A出发，沿正方体表面到达C处，问最短绳长的平方为多少？
解：如图，将该正方体的右表面翻折至与前表面同平面，使得A，C两点共面，连接AC，此时线段AC的长度即为最短绳长．所以AC2＝22＋(2＋2)2＝20，即最短绳长的平方为20.
◎命题角度4 利用勾股定理解决几何变换问题
在折叠、旋转等问题中常常将条件集中于一个直角三角形，然后利用勾股定理构造方程，求线段的长．
【例7】如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)
A． eq \f(5,3) B． eq \f(5,2) C． eq \f(8,3) D．5
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例7题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例8题图）))
【例8】如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为__2 eq \r(5)__．
高效课堂 教学设计
1．利用勾股定理作长度为无理数的线段．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．
▲重点
利用勾股定理作长度为无理数的线段．
▲难点
勾股定理的灵活应用．
◆活动1 新课导入
1．在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
2．若直角三角形的两直角边分别为 eq \r(2)，1，斜边为多少？
3．同学们，你们会在数轴上作出 eq \r(2)吗？
◆活动2 探究新知
教材P26～27 内容．
提出问题：
(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示 eq \r(13)的点吗？
(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数a的点A作直线l与数轴垂直，在直线l上截取AB＝b，连接OB(点O为原点)，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，它表示数__ eq \r(a2＋b2)__；当点P在负半轴上时，它表示数__－ eq \r(a2＋b2)__．
2．实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助__勾股定理__作出长为 eq \r(n)(n为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数 eq \r(n)的点．
◆活动4 例题与练习
例1 在数轴上作出表示－ eq \r(17)的点．
解：∵ eq \r(17)＝ eq \r(16＋1)＝ eq \r(42＋12)，∴ eq \r(17)是以4，1为直角边的直角三角形斜边的长，如图，即点C表示－ eq \r(17).
例2 利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数 eq \r(8)和－ eq \r(8).
解：如图．
例3 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)如图②，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
解：(1)如图①所示；(2)如图②，连接AC，并设点D，E，则BC＝AC＝ eq \r(5)，且易证△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝45°.
练习
1．教材P27 练习第1，2题．
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，数轴上的2处表示点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( C )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）))
3．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是__5__．
4．在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 dm，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6 dm，问这里的水深是多少？
解：根据题意，作图(如图).其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，则CD＝3 dm，CB＝6 dm，AD＝AB，BC⊥AD.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，解得AC＝4.5.
答：这里的水深是4.5 dm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．在数轴上表示无理数．
2．应用勾股定理解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P28～29 习题17.1第6，8，11，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
17.2 勾股定理的逆定理
教师备课 素材示例
●类比导入 问题1：你能说出勾股定理吗？指出定理的题设和结论．
题设：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，结论：a2＋b2＝c2.
问题2：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？
师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题．
追问：能否把勾股定理的逆命题作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．
【教学与建议】教学：通过复习勾股定理，交换题设和结论，自然合理地引出勾股定理的逆定理．建议：教学时，应该多让学生交流讨论前面学习逆定理的经验．
●悬念激趣 同学们，你们是如何画直角的？想知道古埃及人是如何画直角的吗？
古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形．你认为这个三角形是直角三角形吗？
操作：以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断．
【教学与建议】教学：介绍前人经验，启发思考，动手操作，锻炼了学生动手实践、观察探究的能力．建议：小组为单位动手操作，讨论交流判断结果．
◎命题角度1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
用勾股定理的逆定理判定直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可．
【例1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)
A．7，24，25 B．1，2，3 C．5，6，7 D．4，8，13
【例2】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
◎命题角度2 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理构造直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理或逆定理求出要求的线段长．
【例3】如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．
解：连接AC.在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2)＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝ eq \f(1,2)×10×24－ eq \f(1,2)×6×8＝96.
◎命题角度3 判断勾股数
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数，两者缺一不可．
【例4】有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n>1且n为自然数)．其中，勾股数有__①④__．
【例5】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：__5，12，13；7，24，25(答案不唯一)__．
◎命题角度4 勾股定理逆定理与配方法、因式分解法的综合问题
某些等式可以通过配方法或者因式分解法变形得出a，b，c的值，然后再根据勾股定理的逆定理判断以a，b，c为边长的三角形的形状．
【例6】如果三角形的三边a，b，c满足(a＋2b－60)2＋|b－18|＋ eq \r(30－c)＝0，则此三角形的形状是__直角三角形__．
【例7】已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．
解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，∴△ABC是直角三角形．
◎命题角度5 勾股定理逆定理的综合应用
解决此类问题一般将条件集中在一个直角三角形中，构造全等．利用勾股定理的逆定理使问题得到解决．
【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PA2＋PB2＝2PC2__．
【例9】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.
(1)求证：BA⊥AD；
(2)求BC的长．
解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD.连接CE.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE＝AB＝5，∠BAE＝∠E，AE＝2AD＝2×6＝12.
又∵AC＝13，∴AE2＋CE2＝122＋52＝169＝132＝AC2，
∴△AEC是直角三角形，∠E＝90°＝∠BAE，∴BA⊥AD；
(2)在Rt△ECD中，CD2＝DE2＋CE2＝62＋52＝61，
∴CD＝ eq \r(61)，∴BC＝2CD＝2 eq \r(61).
高效课堂 教学设计
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明．
2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形．
3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系．
▲重点
勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理的逆定理的证明．
◆活动1 新课导入
1．回顾勾股定理和命题的概念．
2．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长．
3．以3，4，5为三边的三角形的形状是怎样的？
今天我们来学习勾股定理的逆定理．
◆活动2 探究新知
教材P31～32 内容．
提出问题：
(1)如果一个三角形的三条边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(2)类似地，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，这个三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试．由此你能得出什么结论？
(3)什么叫做互逆命题、原命题和逆命题？它们之间有什么联系？
(4)命题1、命题2的题设和结论分别是什么？
(5)你能证明命题2正确吗？如何证明？
(6)若一个命题成立，则它的逆命题也成立吗？
(7)什么叫做勾股数？一组勾股数同时放大相同的倍数后还是勾股数吗？
学生完成并交流展示.
◆活动3 知识归纳
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__a2＋b2＝c2__，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为__勾股数__．勾股数扩大相同倍数后，仍为__勾股数__．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__逆定理__．
◆活动4 例题与练习
例1 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( D )
A．b2－c2＝a2 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
例2 教材P32 例1.
例3 教材P33 例2.
例4 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13 n mile/h的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得距离走私艇C12 n mile，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
解：设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，E为MN与AC的交点，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝ eq \f(1,2)AB·BC＝ eq \f(1,2)AC·BE，得BE＝ eq \f(AB·BC,AC)＝ eq \f(5×12,13)＝ eq \f(60,13)(n mile).由CE2＋BE2＝BC2，得CE＝ eq \r(BC2－BE2)＝ eq \r(122－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60,13)))\s\up12(2))＝ eq \f(144,13)(n mile)，∴ eq \f(144,13)÷13＝ eq \f(144,169)≈0.85(h)≈51(min)，∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．
练习
1．教材P33 练习第1，2，3题．
2．下列各组数是勾股数的是( A )
A．3，4，5 B．1.5，2，2.5 C．32，42，52 D． eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)，B(－2，3)，则∠OAB＝__45°__．
4．一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸在图中已标出，这个零件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求．理由如下：∵AD＝12，AB＝9，BC＝8，BD＝15，CD＝17，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2，∴△ABD，△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．勾股定理的逆定理的概念及应用．
2．原命题、逆命题、互逆命题的概念和它们之间的联系．
3．勾股数的概念．
1．作业布置
(1)教材P34 习题17.2第1，2，3，4，5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
相关教案
人教版八年级下册17.1 勾股定理教案： 这是一份人教版八年级下册<a href="/sx/tb_c10261_t8/?tag_id=27" target="_blank">17.1 勾股定理教案</a>，共25页。教案主要包含了实验操作等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下册17.1 勾股定理教案设计： 这是一份数学八年级下册<a href="/sx/tb_c10261_t8/?tag_id=27" target="_blank">17.1 勾股定理教案设计</a>，共11页。教案主要包含了教学目标，教学重，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计： 这是一份初中数学人教版八年级下册<a href="/sx/tb_c10261_t8/?tag_id=27" target="_blank">17.1 勾股定理教学设计</a>，共11页。教案主要包含了教学目标，教学重，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
