数学七年级下册6.1 平方根教案

这是一份数学七年级下册6.1 平方根教案，共12页。

课时目标
1.了解算术平方根的意义和求法以及实际应用.
2.会求某些正数(完全平方数)的算术平方根,并会用符号表示,提高抽象能力.
3.通过独立思考、合作交流,经历从平方运算到求算术平方根的演变过程,感悟二者的互逆关系,并会用算术平方根解决实际问题,发展应用意识.
学习重点
算术平方根的概念及求法.
学习难点
求出某些正数(完全平方数)的算术平方根.
课时活动设计
情境引入
请同学们欣赏本章导图,并回答问题.
你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度在什么范围内吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位:m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位:m/s).v1,v2的大小满足v12=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8 m/s2,R是地球半径,R≈6.4×106 m.怎样求v1,v2呢?
设计意图:由“神州十六号”飞船载人出舱的现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并服务于生活,初步感受实数的引入是人类对数的认识的又一次飞跃.
用多媒体演示问题情境,自主学习
学校要举行美术作品大赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
学生思考后回答,然后完成下表:
思考:你能指出每组正方形的边长和面积之间有什么特点吗?
设计意图:由于学生熟悉平方运算,再结合正方形的面积与边长的关系,学生很容易解决这个问题,这样既复习了关于平方的知识,又为所要学习的知识做了铺垫,而且通过实例让学生从生活引入课题,从而认识算术平方根.使学生感受到已知一个正数的平方,求这个正数的算术平方根是平方运算的逆运算.
合作探究:算术平方根的概念
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.
强调:书写时根号一定要把被开方数盖住.
问题1:a表示什么意思?它的值是怎样的数?这里的被开方数a应该是怎样的数?
解:a表示a的算术平方根.算术平方根为非负数,即a≥0,被开方数为非负数,即a≥0,负数没有算术平方根,即当a<0时,a无意义.
问题2:0的算术平方根是多少?怎么表示?
解:0的算术平方根是0.表示为0=0.
设计意图:通过以上问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解,进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性.让学生熟悉算术平方根的概念,体会算术平方根的意义.
典例精讲
例 求下列各数的算术平方根:
(1)100; (2)4964; (3)0.000 1.
解:(1)因为102=100,所以100的算术平方根是10,即100=10;
(2)因为782=4964,所以4964的算术平方根是78,即4964=78;
(3)因为0.012=0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01,即0.000 1=0.01.
设计意图:在学生掌握了算术平方根的概念和意义之后,教师展示求数的算术平方根的思考过程.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后可以直接写出结果.在学生经历求算术平方根的过程中,使学生感受到被开方数越大,对应的算术平方根也就越大.再次体会算术平方根的意义.
巩固训练
1.求下列各数的算术平方根:
(1)0.001 6; (2)121; (3)42; (4)1681.
解:(1)0.04;(2)11;(3)4;(4)23.
2.下列各式分别表示什么意思?你能求出它们的值吗?
25; 0.81; 11125.
解:它们分别表示25的算术平方根,0.81的算术平方根,11125的算术平方根,它们的值分别是5,0.9,65.
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,通过设置两组练习,来检测学生的掌握情况,在这部分的设计中,主要发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂8分钟.
1.教材第41页练习第1,2题,第47页习题6.1第1题.
2.七彩作业.
第1课时 算术平方根
算术平方根的概念.
规定:0的算术平方根是0.
教学反思



第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
课时目标
1.掌握比较两个数的算术平方根的大小的方法,提高推理能力.
2.会估算一个数的算术平方根的大致范围,掌握估算的方法,形成估算的意识.
3.会借助计算器求一个正数的算术平方根,发展应用意识.
学习重点
用有理数估计无理数的大致范围.
学习难点
能用有理数估计一个带算术平方根符号的无理数的大致范围.
课时活动设计
知识回顾
求下列各式的值:
(1)81= 9 ;(2)2564= 58 ;(3)0.04= 0.2 ;
(4)0= 0 ;(5)102= 10 ;(6)(-2)2= 2 .
设计意图:回顾求一个正数的算术平方根,让学生体会有些数开方时可以开得尽,为下面体会有些正数开方开不尽创设一种认知冲突的环境.
通过试验引入2
怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形?
如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?
解:设大正方形的边长为x dm,则x2=2,由算术平方根的意义可知x=2,
所以大正方形的边长是2 dm.
设计意图:在前面学生已经感受有些数能开尽方的基础上,导入新课并感受有些数是开不尽方的.
讨论2的大小
由上面的试验我们认识了2,它的大小是多少呢?它所表示的数有什么特征呢?下面我们讨论2的大小.
因为12=1,22=4,12<2<22,所以1<2<2;
因为1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4<2<1.5;
因为1.412=1.988 1,1.422=2.016 4,所以1.41<2<1.42;
因为1.4142=1.999 396,1.4152=2.002 225,所以1.414<2<1.415;
……
如此进行下去,我们发现它的小数位数无限,且小数部分不循环,像这样的数我们称为无限不循环小数.
注:这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想,学生第一次接触,不好理解,教师在讲解时速度要放慢,可能需要讲两遍.2=1.414 213 56…,是一个无限不循环小数,但是很抽象,没有办法全部表示出来它的大小,类似这样的数还有很多,比如3,5,7等,圆周率π也是一个无限不循环小数.
设计意图:通过这个环节让学生感受2的大小,利用夹逼法求2的大小,感受2是一个无限不循环小数.
用计算器求算术平方根
大多数计算器都有 键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
例 用计算器求下列各式的值:
(1)3 136; (2)2(精确到0.001).
解:(1)依次按键 3136=,显示:56.所以3 136=56.
(2)依次按键 2=,显示:1.414213562,这是一个近似值.所以2≈1.414.
注:不同品牌的计算器,按键的顺序可能有所不同.
练习 用计算器求下列各式的值:
(1)1 369;(2)101.203 6;(3)5(精确到0.01).
解:(1)依次按键 1369=,显示:37.所以1 369=37;
(2)依次按键 101.2036=,显示:10.06.所以101.203 6=10.06;
(3)依次按键 5=,显示:2.236067977.所以5≈2.24.
设计意图:让学生学会利用计算器求一个正数的算术平方根,进一步感受2,3,5等数是无限不循环小数,我们可以利用计算器求出它们的近似值.另外对于2,3,5这三个常见的无理数的近似值要求学生在了解的基础上能记下来,为今后的学习做一些准备.
探索规律
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?
(2)用计算器计算3(结果精确到0.001),并利用你发现的规律写出0.03,300,30 000的近似值.你能根据3的值说出30是多少吗?
解:(1)表中从左至右依次是0.25,0.791,2.5,7.91,25,79.1,250.从运算结果可以发现,被开方数扩大到原来的100倍或缩小到原来的1100时,它的算术平方根就扩大到原来的10倍或缩小到原来的110.
(2)3≈1.732,0.03≈0.173 2,300=17.32,30 000≈173.2,由3的值不能求出30的值,因为规律是被开方数扩大到原来的100倍或缩小到原来的1100时,它的算术平方根才扩大到原来的10倍或缩小到原来的110,而3到30是扩大为原来的是10倍,所以不能由此规律求出.
学生独立完成.
设计意图:让学生了解被开方数小数点与算术平方根的小数点的移动规律,并能运用规律求算术平方根.
课堂8分钟.
1.教材第44页练习第2题,第47,48页习题6.1第5,6,7题.
2.七彩作业.
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
<2<1.415.
2.用计算器求算术平方根.
3.探究被开方数小数点与算术平方根小数点的移动规律.
教学反思



第3课时 平方根
课时目标
1.了解平方根的概念,能用符号正确地表示一个数的平方根,建立符号意识.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别,提升推理能力.
3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程,提高抽象能力.
学习重点
平方根的概念和求一个数的平方根.
学习难点
平方根和算术平方根的联系与区别.
课时活动设计
问题引入,导入概念
如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
学生思考并讨论,使学生明白这样的数有两个,它们分别是3和-3.受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数,这时可提醒学生,这里的这个数可以是负数.注意(-3)2=9中括号的作用.
又如:若x2=425,则x等于多少呢?
解:若x2=425,则x=25或-25.
给出平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
例如:±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.
设计意图:这个思考题是引入平方根概念的切入点,要让学生有充分的时间进行思考和体验在等式中求出x的值,为填表(见教材P45)做准备.
观察与思考
观察教材第45页中描述平方与开平方运算过程的两个图,如下图,思考这两种运算之间存在什么关系?
设计意图:让学生体验平方和开平方的互逆关系,并根据这个关系说出1,4,9的平方根.
注意:这阶段主要是让学生建立平方根的概念,先不引入平方根的符号,给出的数是完全平方数.
典例精讲
例1 求下列各数的平方根:
(1)100; (2)916; (3)0.25.
教师规范书写格式.
解:(1)因为(±10)2=100,所以100的平方根是±10;
(2)因为±342=916,所以916的平方根是±34;
(3)因为(±0.5)2=0.25,所以0.25的平方根是±0.5.
设计意图:给学生充足的时间和空间,理解和感知平方根的概念.通过小组讨论、交流,释疑解难,经历从具体到抽象、从特殊到一般、再从一般到特殊的过程,完整解读平方根的概念.
探究平方根的性质
1.平方根的性质
按照平方根的概念,请同学们思考并讨论下列问题:
正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗?
建议:可引导学生通过观察x2=a中的a和x的取值范围和取值个数得出.
注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯,一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同,另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算,这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外).教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节课以后的教学中继续强化这两点.
设计意图:在教学中,平方根性质由学生交流、讨论、比较、归纳得出,经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程.由于分正数、0、负数三种情况总结,也潜移默化地渗透了分类讨论的数学思想,培养了思维的严谨性.
2.平方根的表示方法
在学生了解平方根的性质的基础上,引导学生把正数a的算术平方根的表示方法,迁移到平方根的表示方法上.
学生已经知道,正数a的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根就是正数a的算术平方根,于是就有正数a的平方根可以用符号±a来表示,并且懂得a的非负性的理由.
设计意图:在学生了解正数a的算术平方根的表示基础上,借助平方根的性质,用数学符号表示正数a的平方根,并理解a中a的非负性,讨论a,±a的区别与联系,体会数学符号在数学解决问题方面的优越性,进一步发展学生数学符号感.
典例精讲
例2 求下列各式的值:
(1)36; (2)-0.81; (3)±499.
解:(1)因为62=36,所以36=6;
(2)因为0.92=0.81,所以-0.81=-0.9;
(3)因为732=499,所以±499=±73.
学生解答,教师巡视,关注学生语言规范的表述,同时让学生知道一个数的算术平方根就是这个数的正的平方根.
设计意图:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式.平方根和算术平方根的概念是本章重点内容,两者既有区别又有联系.同时,进一步理解平方根的表示,加深对平方根概念的理解,培养学生用规范语言和数学符号解决问题的能力.
巩固训练
1.精心选一选.
(1)以下叙述中正确的是( B )
A.-16的算术平方根是4 B.56是2536的一个平方根
C.-1.2是(-1.2)2的算术平方根D.0.9的平方根是0.3
(2)8116的平方根是( C )
A.±94 B.94 C.±32 D.32
2.认真填一填.
(1)121的平方根是 ±11 ,5是 25 的一个平方根.
(2)若一个正数的平方根是2a-2和-a+2,则a= 0 ,这个正数为 4 .
3.仔细想一想.
已知2a-1的平方根是±1,3a+b-1的平方根是±4,求2a+b的平方根.
解:∵2a-1的平方根是±1,3a+b-1的平方根是±4,
∴2a-1=1,3a+b-1=16,解得a=1,b=14.
∴2a+b=16.∴2a+b的平方根为±4.
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,通过设置一组由浅入深的练习,来检测学生的掌握情况,在这部分的设计中,主要是发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂8分钟.
1.教材第47,48页习题6.1第3,4,8,10题.
2.七彩作业.
第3课时 平方根
1.平方根的概念.
2.平方根的性质.
教学反思


正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
…
0.062 5
0.625
6.25
62.5
625
6 250
62 500
…
…
…