初中数学人教版七年级下册6.1 平方根学案

平方根（基础）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

知识点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

　  如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念 

1、下列说法错误的是（　　）

A.5是25的算术平方根             B.l是l的一个平方根

C.的平方根是－4             D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.因为＝5，所以本说法正确；

B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；

C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；

D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．

举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）没有平方根．（    ）

（2）．（    ）

（3）的平方根是．（    ）

（4）是的算术平方根．（    ）

【答案】√ ；×； √； ×，

        提示：（2）；（4）是的算术平方根．

2、 填空：

（1）是     的负平方根．

（2）表示     的算术平方根，     ．

（3）的算术平方根为     ．

（4）若，则     ，若，则     ．

【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.

【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3

【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（    ）：

①3是9的平方根．    ② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．

A．1个         B．2个         C．3个         D．4个

【答案】B；

提示：①④是正确的.

【变式2】求下列各式的值：

（1）3             （2）

（3）    （4）

【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）

3、使代数式有意义的的取值范围是______________．         

【答案】≥；

【解析】＋1≥0，解得≥.

【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

举一反三：

【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根． 

【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，

∴，

解得，，

∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，

∴5x+y2的平方根为±=±3．

类型二、利用平方根解方程

4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值

（1）169x2=144         

（2）（x﹣2）2﹣36=0．

【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．

【答案与解析】

解：（1）169x2=144，

两边同时除以169，得

开平方，得

x=

（2）（x﹣2）2﹣36=0，

移项，得  （x﹣2）2=36

开平方，得  x﹣2=±6，

解得：x=8或x=﹣4．

【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为，长为3，

   由题意得，·3＝1323

              3＝1323

                ＝－21(舍去)

答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.