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人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•项城市校级月考）不等式﹣x2+3x+18＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞6或x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜6}
C．{x|x＞3或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜3}
2．（2022秋•南关区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，则a+b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．﹣8
3．（2022秋•龙华区校级月考）已知f（x）＝x2﹣2022x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2022B．﹣2022C．0D．1004
4．（2022秋•南阳月考）下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合的是（ ）
A．y＝2x2﹣x+1B．y＝x2+2x+1
C．D．
5．（2022•沈河区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③2a＞b；
④（a+c）2＜b2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022秋•历下区校级月考）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），则a2+b2等于（ ）
A．1B．13C．D．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，8]C．D．
8．（2022•锦江区校级开学）下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（ ）
A．f（x）＞0恒成立B．f（x）最大值是5
C．f（x）与y轴无交点D．f（x）没有最小值
9．（2022秋•椒江区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象上有两个不重合的点A（m，y1），B（n，y2），若y1＝y2，则点P（m，n）可能在下列哪个一次函数图象上（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022•天心区校级开学）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤2022
11．（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2021秋•浦东新区校级期中）已知f（x）＝（x2﹣6x+c1）（x2﹣6x+c2）（x2﹣6x+c3）（x2﹣6x+c4），集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2…，x7}⊆Z，且c1＜c2＜c3＜c4，则c4﹣c1不可能的值是（ ）
A．9B．16C．25D．35
二、填空题。
13．（2022秋•硚口区校级月考）设关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0（a＜0）的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围为 ．
14．（2022秋•金水区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
15．（2022秋•宝山区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是 ．
16．（2022•天宁区校级开学）已知f（x）＝1+lg2x，x∈[1，8]，设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ ．
17．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，若关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有一个整数，则实数m的取值范围为 ．
18．（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n＝ ．
三、解答题。
19．（2022秋•历下区校级月考）求下列不等式的解集．
（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1； （2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
20．（2022秋•新密市校级月考）已知关于x的不等式ax2+3x+2≥0（a∈R）．
（1）若ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．
21．（2022秋•碑林区校级月考）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求解关于x的不等式y＞0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
22．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2，且f（1）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，4]时，函数f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
23．（2021秋•西青区校级期末）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）当a＜1时，解关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（3）当a∈（0，1）是否存在实数a，使得对任意x∈[1，2]时，关于x的函数g（x）＝f（ax）﹣3ax+1有最小值﹣5．若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．
（1）若点（1，0）在该二次函数的图象上，求y≥0的解集；
（2）若点（1，4）在该二次函数的图象上，且b＞﹣1，求的最小值．
25．（2022•浙江开学）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a＝b，且f（x）在[0，1]上的最大值为a+2，求a的值；
（Ⅱ）若对任意实数t，在区间[t﹣2，t+2]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，求实数b的取值范围．
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•项城市校级月考）不等式﹣x2+3x+18＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞6或x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜6}
C．{x|x＞3或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜3}
【答案】A。
【解答】解：不等式﹣x2+3x+18＜0整理可得：x2﹣3x﹣18＞0，解得x＞6或x＜﹣3，
所以不等式的解集为：{x|x＞6或x＜﹣3}，
故选：A．
2．（2022秋•南关区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，则a+b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．﹣8
【答案】A。
【解答】解：因为不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，
所以4和﹣1是对应方程ax2+bx﹣a3＝0的解，且a＜0；
由根与系数的关系知，，解得a＝﹣2，b＝6，
所以a+b＝4．
故选：A．
3．（2022秋•龙华区校级月考）已知f（x）＝x2﹣2022x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2022B．﹣2022C．0D．1004
【答案】C。
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣2022x，是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1011，
若f（m）＝f（n），m≠n，则有m+n＝2022，
则f（m+n）＝f（2022）＝20222﹣2022×2022＝0，
故选：C．
4．（2022秋•南阳月考）下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合的是（ ）
A．y＝2x2﹣x+1B．y＝x2+2x+1
C．D．
【答案】B。
【解答】解：根据题意，经过平移后能得到二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合，
则a＝1，
观察选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
5．（2022•沈河区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③2a＞b；
④（a+c）2＜b2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A。
【解答】解：根据二次函数y＝f（x）＝ax2+bx+c的图象知，，
所以0＜＜1，所以2a＜b＜0，
又f（0）＝c＞0，所以abc＞0，①错误；
因为二次函数f（x）与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，②错误；
又对称轴x＝﹣∈（﹣1，0）知，2a＜b＜0，③错误；
因为f（1）＝a+b+c＜0，f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，
所以（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＝f（1）f（﹣1）＜0，
所以（a+c）2＜b2，④正确．
故选：A．
6．（2022秋•历下区校级月考）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），则a2+b2等于（ ）
A．1B．13C．D．
【答案】D。
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），
∴关于x的方程ax2+bx+2＝0的两个根为﹣2和3，
∴＝﹣2+3，＝﹣2×3；
解得a＝﹣，b＝；
∴a2+b2＝+＝．
故选：D．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，8]C．D．
【答案】A。
【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，
即不等式a＜x+在（2，7）上有实数解，
由对勾函数的性质可知，函数f（x）＝x+在（2，）上单调递减，在（，7）上单调递增，
又f（2）＝，f（7）＝8，
∴a＜8，
即a的取值范围是为（﹣∞，8），
故选：A．
8．（2022•锦江区校级开学）下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（ ）
A．f（x）＞0恒成立B．f（x）最大值是5
C．f（x）与y轴无交点D．f（x）没有最小值
【答案】A。
【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3x+4＝（x+）2+≥，
∴f（x）＞0恒成立，且最小值为，无最大值，
当x＝0时，y＝4，即与y轴有交点，
故选：A．
9．（2022秋•椒江区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象上有两个不重合的点A（m，y1），B（n，y2），若y1＝y2，则点P（m，n）可能在下列哪个一次函数图象上（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为函数的对称轴x＝1，
若y1＝y2，则m+n＝2，即n＝2﹣m，
所以P（m，n）在直线 y＝﹣x+2上，
因为y＝﹣x+2在第一二四象限，
故P可能在第一二四象限．
故选：B．
10．（2022•天心区校级开学）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤2022
【答案】C。
【解答】解：把y＝x代入y＝ax2+bx+1，得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
因为抛物线与直线只有一个交点M，所以（b﹣1）2﹣4a＝0得a＝（b﹣1）2．
因为a≠0，所以b≠1，ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为[（b﹣1）x+2]2＝0，可得M（，）．
因为点M在第一象限，所以1﹣b＞0，解得b＜1．
因为2≤|M|≤4，所以1≤||≤2，解得﹣1≤b≤0．
所以令t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，
因为﹣1≤b≤0，抛物线开口向下，对称轴为b＝﹣1，所以t随b的增大而增大，
故2020≤t≤2021
故选：C．
11．（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由题意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，则4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，则两根为x＝，
不等式的解满足，即，∵0＜a＜4，∴，
为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足，即，解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D．
12．（2021秋•浦东新区校级期中）已知f（x）＝（x2﹣6x+c1）（x2﹣6x+c2）（x2﹣6x+c3）（x2﹣6x+c4），集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2…，x7}⊆Z，且c1＜c2＜c3＜c4，则c4﹣c1不可能的值是（ ）
A．9B．16C．25D．35
【答案】D。
【解答】解：设xi，yi是方程x²﹣6x+ci＝0（i＝1，2，3，4）的根，
则由根与系数的关系有：xi+yi＝6，xiyi＝ci，
又M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2……x7}⊆Z，说明方程x2﹣6x+ci＝0（i＝1，2，3，4）有一个方程是两个相等根，其他三个方程是两个不同的根，
由于根均为整数且和为6，则方程的根有以下这些情况（3，3），（4，2），（5，1），（6，0），（7，﹣1），（8，﹣2），（9，﹣3）……，
乘积分别为9，8，5，0，﹣7，﹣16，﹣27，……，
因为c1＜c2＜c3＜c4，
所以c4＝9，c1，c2，c3来自比9小的任意三个不同的数字，c1最小，
当c1＝0时，c4﹣c1＝9，
当c1＝﹣7时，c4﹣c1＝16，
当c1＝﹣16时，c4﹣c1＝25，
当c1＝﹣27时，c4﹣c1＝36
……
故不可能为35，
故选：D．
二、填空题。
13．（2022秋•硚口区校级月考）设关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0（a＜0）的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围为 [﹣1， ．
【答案】[﹣1，。
【解答】解：由题意可知，Δ＝a²﹣8a＞0，得a＜0或a＞8（舍去），
设f（x）＝x2﹣ax+2a＜0（a＜0），则f（0）＝2a＜0，且对称轴x＝在y轴的左侧，
所以A中的两个整数为﹣1和0，
所以f（﹣1）＝1+3a＜0且f（﹣2）＝4+4a≥0，得﹣1，
故答案为：[﹣1，．
14．（2022秋•金水区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 {x|﹣2＜x＜1} ．
【答案】{x|﹣2＜x＜1}。
【解答】解：不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，即方程ax2﹣bx+c＝0的解为x＝﹣1，x＝2，且a＜0，
∴a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣2，x＝1，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．
15．（2022秋•宝山区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是 [1，2] ．
【答案】[1，2]。
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x+4的对称轴为x＝1，此时，函数取得最小值为3，
当x＝0或x＝2时，函数值等于4．
且函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]（m＞0）上的最大值为4，最小值为3，
∴实数m的取值范围是[1，2]，
故答案为：[1，2]．
16．（2022•天宁区校级开学）已知f（x）＝1+lg2x，x∈[1，8]，设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ ．
【答案】。
【解答】解：由题意得，
所以1，
所以g（x）＝（1+lg2x）2+1+lg2x2＝（lg2x）2+4lg2x+2，
令t＝lg2x，则t∈[0，]，
则h（t）＝t2+4t+2在[0，]上单调递增，
∴g（x）max＝h（）＝，g（x）min＝h（0）＝2，
∴．
17．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，若关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有一个整数，则实数m的取值范围为 [﹣2，﹣1） ．
【答案】[﹣2，﹣1）。
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，所以不等式f（x）≥|x|可化为x2﹣x+|x|﹣2﹣m≤0，
设g（x）＝x2﹣x+|x|﹣2﹣m，所以g（x）＝，
则g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有1个整数，
即g（x）≤0的解集中有且仅有1个整数，
所以只需g（x）满足：，即，
解得﹣2≤m＜﹣1，
所以实数m的取值范围是[﹣2，﹣1）．
故答案为：[﹣2，﹣1）．
18．（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n＝ ．
【答案】。
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，
则有﹣＝＝1，即b＝4，
且﹣2+4+c＝1，解可得c＝﹣1，
则f（x）＝﹣2x2+4x﹣1，
又有x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，
则≤1，解可得m≥1，
f（x）在[m，n]上单调递减，
则有f（m）＝，f（n）＝，
即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1＝的两个根，
﹣2x2+4x﹣1＝⇒（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）＝0，
其根为1、、，
又有1≤m＜n，
则m＝1，n＝，
则m+n＝；
故答案为：．
三、解答题。
19．（2022秋•历下区校级月考）求下列不等式的解集．
（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1；
（2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
【解答】解：（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1．
（2x+1）（x﹣1）＞0．
∴x＞1或x＜﹣．
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．
（2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
（x+2a）（x﹣4a）≤0，
当a＞0时，﹣2a≤x≤4a；
当a＝0时，x＝0，
当a＜0时，4a≤x≤﹣2a；
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣2a≤x≤4a}，
当a＝0时，不等式的解集为{0}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|4a≤x≤﹣2a}．
20．（2022秋•新密市校级月考）已知关于x的不等式ax2+3x+2≥0（a∈R）．
（1）若ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．
【解答】解：（1）∵ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，
∴方程ax2+3x+2＝0的两个根为b，1（b＜1），
由根与系数关系可得，，解得a＝﹣5，b＝．
（2）∵ax2﹣3x+2＞ax﹣1，
∴ax2﹣（a+3）x+3＞0，即（ax﹣3）（x﹣1）＞0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当a＞0时，方程ax2﹣3x+2＝ax﹣1 的两个根分别为：，1，
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}，
当a＞3时，，不等式的解集为{x|或x＞1}，
当0＜a＜3时，，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}，
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}，
当a＝3时，故不等式的解集为{x|x≠1}，
当a＞3时，不等式的解集为{x|或x＞1}．
21．（2022秋•碑林区校级月考）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求解关于x的不等式y＞0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣（a+2）x+a＝2x2﹣x﹣1，
令y＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣，
故关于x的不等式y＞0的解集为{x|x＞1或x＜}．
（2）∵方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，
∴，解得a＞1，
＝＝＝，
令t＝，
则a＝2t，
＝＝，当且仅当t＝2，即a＝2时，等号成立，
综上所述，当a＝5时，的最小值为6．
22．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2，且f（1）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，4]时，函数f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，f（1）＝a+b+c＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣3，c＝2，
所以f（x）＝x2﹣3x+2；
（2）由题意得x2﹣3x+2＞kx2在x∈[1，4]时恒成立，
所以k在x∈[1，4]时恒成立，
令t＝，则t∈[]，
所以k＜2t2﹣3t+1在t∈[]时恒成立，
根据二次函数的性质可知，当t＝时，2t2﹣3t+1取得最小值﹣，
故k＜﹣，
所以k的取值范围为{k|k＜﹣}．
23．（2021秋•西青区校级期末）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）当a＜1时，解关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（3）当a∈（0，1）是否存在实数a，使得对任意x∈[1，2]时，关于x的函数g（x）＝f（ax）﹣3ax+1有最小值﹣5．若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得x＝﹣1是方程mx2﹣2x﹣3＝0的根，
所以m＝1，此时f（x）＝x2﹣2x﹣3＜0可得﹣1＜x＜3，
故n＝3，m＝1；
（2）当a＜1时，关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax可转化为ax2﹣（2a+2）x+4＞0，即（ax﹣2）（x﹣2）＞0，
因为a＜1，
当0＜a＜1时，不等式解集为；
当a＝0时，不等式解集为{x|x＜2}；
当a＜0时，不等式解集为；
（3）假设存在满足条件的a，
由（1）得f（x）＝x2﹣2x﹣3，
所以g（x）＝f（ax）﹣3ax+1＝a2x﹣（3a+2）ax﹣3，
令t＝ax（a2≤t≤a），则y＝t2﹣（3a+2）t﹣3，对称轴t＝，
因为0＜a＜1，
所以0＜a2＜a＜1，1＜＜，
所以函数y＝t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]上单调递减，
所以当t＝a时，函数取得最小值y＝﹣2a2﹣2a﹣3＝﹣5，
解得a＝．
24．（2022秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．
（1）若点（1，0）在该二次函数的图象上，求y≥0的解集；
（2）若点（1，4）在该二次函数的图象上，且b＞﹣1，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得f（1）＝a+b+1＝0，
所以y＝ax2+（b﹣2）x+3＝ax2﹣（a+3）x+3≥0，
即（ax﹣3）（x﹣1）≥0，a≠0，
当a＜0时，解得，
若a＞0，不等式可化为（x﹣1）（x﹣）≥0，
当0＜a＜3时，解得x或x≤1，
当a＝3时，解得x∈R，
当a＞3时，解得x≥1或x，
综上，a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x|x或x≤1}，
当a＝3时，解集为R，
当a＞3时，解集为{x|x≥1或x}；
（2）由f（1）＝a+b+1＝4得a+b＝3，b+1＞0，
所以＝+＝+++1，当且仅当＝即b+1＝2|a|时取等号，
当a＞0时，+1＝，所求最小值为，此时a＝，b＝，
当a＜0时，+1＝，所求最小值为，此时a＝﹣4，b＝7，
综上的最小值为．
25．（2022•浙江开学）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a＝b，且f（x）在[0，1]上的最大值为a+2，求a的值；
（Ⅱ）若对任意实数t，在区间[t﹣2，t+2]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，1]时f（x）max＝max{f（0），f（1）}＝a+2＞f（0），
故f（1）＝a+2，得a＝1．
（Ⅱ）存在两实数x1，x2∈[t﹣2，t+2]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，
则在区间[t﹣2，t+2]上，有f（x）max﹣f（x）min≥b成立，
设h（t）＝f（x）max﹣f（x）min，函数f（x）对称轴为，x∈[t﹣2，t+2]，
①当即时，f（x）在[t﹣2，t+2]上单调减，f（x）max﹣f（x）min＝f（t﹣2）﹣f（t+2）＝﹣8t﹣4a，
此时；
②当即时，，
③当即时，，
④当即时，f（x）max﹣f（x）min＝f（t+2）﹣f（t﹣2）＝8t+4a≥16，
综合①②③④得，h（t）最小值为4，因为对任意实数t，都有h（t）≥b，
故b的取值范围为（﹣∞，4]．
1．（2022秋•项城市校级月考）不等式﹣x2+3x+18＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞6或x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜6}
C．{x|x＞3或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜3}
2．（2022秋•南关区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，则a+b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．﹣8
3．（2022秋•龙华区校级月考）已知f（x）＝x2﹣2022x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2022B．﹣2022C．0D．1004
4．（2022秋•南阳月考）下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合的是（ ）
A．y＝2x2﹣x+1B．y＝x2+2x+1
C．D．
5．（2022•沈河区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③2a＞b；
④（a+c）2＜b2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022秋•历下区校级月考）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），则a2+b2等于（ ）
A．1B．13C．D．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，8]C．D．
8．（2022•锦江区校级开学）下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（ ）
A．f（x）＞0恒成立B．f（x）最大值是5
C．f（x）与y轴无交点D．f（x）没有最小值
9．（2022秋•椒江区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象上有两个不重合的点A（m，y1），B（n，y2），若y1＝y2，则点P（m，n）可能在下列哪个一次函数图象上（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022•天心区校级开学）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤2022
11．（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2021秋•浦东新区校级期中）已知f（x）＝（x2﹣6x+c1）（x2﹣6x+c2）（x2﹣6x+c3）（x2﹣6x+c4），集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2…，x7}⊆Z，且c1＜c2＜c3＜c4，则c4﹣c1不可能的值是（ ）
A．9B．16C．25D．35
二、填空题。
13．（2022秋•硚口区校级月考）设关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0（a＜0）的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围为 ．
14．（2022秋•金水区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
15．（2022秋•宝山区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是 ．
16．（2022•天宁区校级开学）已知f（x）＝1+lg2x，x∈[1，8]，设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ ．
17．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，若关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有一个整数，则实数m的取值范围为 ．
18．（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n＝ ．
三、解答题。
19．（2022秋•历下区校级月考）求下列不等式的解集．
（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1； （2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
20．（2022秋•新密市校级月考）已知关于x的不等式ax2+3x+2≥0（a∈R）．
（1）若ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．
21．（2022秋•碑林区校级月考）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求解关于x的不等式y＞0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
22．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2，且f（1）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，4]时，函数f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
23．（2021秋•西青区校级期末）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）当a＜1时，解关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（3）当a∈（0，1）是否存在实数a，使得对任意x∈[1，2]时，关于x的函数g（x）＝f（ax）﹣3ax+1有最小值﹣5．若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．
（1）若点（1，0）在该二次函数的图象上，求y≥0的解集；
（2）若点（1，4）在该二次函数的图象上，且b＞﹣1，求的最小值．
25．（2022•浙江开学）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a＝b，且f（x）在[0，1]上的最大值为a+2，求a的值；
（Ⅱ）若对任意实数t，在区间[t﹣2，t+2]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，求实数b的取值范围．
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•项城市校级月考）不等式﹣x2+3x+18＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞6或x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜6}
C．{x|x＞3或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜3}
【答案】A。
【解答】解：不等式﹣x2+3x+18＜0整理可得：x2﹣3x﹣18＞0，解得x＞6或x＜﹣3，
所以不等式的解集为：{x|x＞6或x＜﹣3}，
故选：A．
2．（2022秋•南关区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，则a+b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．﹣8
【答案】A。
【解答】解：因为不等式ax2+bx﹣a3＜0的解集是{x|x＞4或x＜﹣1}，
所以4和﹣1是对应方程ax2+bx﹣a3＝0的解，且a＜0；
由根与系数的关系知，，解得a＝﹣2，b＝6，
所以a+b＝4．
故选：A．
3．（2022秋•龙华区校级月考）已知f（x）＝x2﹣2022x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2022B．﹣2022C．0D．1004
【答案】C。
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣2022x，是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1011，
若f（m）＝f（n），m≠n，则有m+n＝2022，
则f（m+n）＝f（2022）＝20222﹣2022×2022＝0，
故选：C．
4．（2022秋•南阳月考）下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合的是（ ）
A．y＝2x2﹣x+1B．y＝x2+2x+1
C．D．
【答案】B。
【解答】解：根据题意，经过平移后能得到二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象重合，
则a＝1，
观察选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
5．（2022•沈河区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③2a＞b；
④（a+c）2＜b2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A。
【解答】解：根据二次函数y＝f（x）＝ax2+bx+c的图象知，，
所以0＜＜1，所以2a＜b＜0，
又f（0）＝c＞0，所以abc＞0，①错误；
因为二次函数f（x）与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，②错误；
又对称轴x＝﹣∈（﹣1，0）知，2a＜b＜0，③错误；
因为f（1）＝a+b+c＜0，f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，
所以（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＝f（1）f（﹣1）＜0，
所以（a+c）2＜b2，④正确．
故选：A．
6．（2022秋•历下区校级月考）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），则a2+b2等于（ ）
A．1B．13C．D．
【答案】D。
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，3），
∴关于x的方程ax2+bx+2＝0的两个根为﹣2和3，
∴＝﹣2+3，＝﹣2×3；
解得a＝﹣，b＝；
∴a2+b2＝+＝．
故选：D．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，8]C．D．
【答案】A。
【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，
即不等式a＜x+在（2，7）上有实数解，
由对勾函数的性质可知，函数f（x）＝x+在（2，）上单调递减，在（，7）上单调递增，
又f（2）＝，f（7）＝8，
∴a＜8，
即a的取值范围是为（﹣∞，8），
故选：A．
8．（2022•锦江区校级开学）下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（ ）
A．f（x）＞0恒成立B．f（x）最大值是5
C．f（x）与y轴无交点D．f（x）没有最小值
【答案】A。
【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3x+4＝（x+）2+≥，
∴f（x）＞0恒成立，且最小值为，无最大值，
当x＝0时，y＝4，即与y轴有交点，
故选：A．
9．（2022秋•椒江区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象上有两个不重合的点A（m，y1），B（n，y2），若y1＝y2，则点P（m，n）可能在下列哪个一次函数图象上（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为函数的对称轴x＝1，
若y1＝y2，则m+n＝2，即n＝2﹣m，
所以P（m，n）在直线 y＝﹣x+2上，
因为y＝﹣x+2在第一二四象限，
故P可能在第一二四象限．
故选：B．
10．（2022•天心区校级开学）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤2022
【答案】C。
【解答】解：把y＝x代入y＝ax2+bx+1，得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
因为抛物线与直线只有一个交点M，所以（b﹣1）2﹣4a＝0得a＝（b﹣1）2．
因为a≠0，所以b≠1，ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为[（b﹣1）x+2]2＝0，可得M（，）．
因为点M在第一象限，所以1﹣b＞0，解得b＜1．
因为2≤|M|≤4，所以1≤||≤2，解得﹣1≤b≤0．
所以令t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，
因为﹣1≤b≤0，抛物线开口向下，对称轴为b＝﹣1，所以t随b的增大而增大，
故2020≤t≤2021
故选：C．
11．（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由题意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，则4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，则两根为x＝，
不等式的解满足，即，∵0＜a＜4，∴，
为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足，即，解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D．
12．（2021秋•浦东新区校级期中）已知f（x）＝（x2﹣6x+c1）（x2﹣6x+c2）（x2﹣6x+c3）（x2﹣6x+c4），集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2…，x7}⊆Z，且c1＜c2＜c3＜c4，则c4﹣c1不可能的值是（ ）
A．9B．16C．25D．35
【答案】D。
【解答】解：设xi，yi是方程x²﹣6x+ci＝0（i＝1，2，3，4）的根，
则由根与系数的关系有：xi+yi＝6，xiyi＝ci，
又M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2……x7}⊆Z，说明方程x2﹣6x+ci＝0（i＝1，2，3，4）有一个方程是两个相等根，其他三个方程是两个不同的根，
由于根均为整数且和为6，则方程的根有以下这些情况（3，3），（4，2），（5，1），（6，0），（7，﹣1），（8，﹣2），（9，﹣3）……，
乘积分别为9，8，5，0，﹣7，﹣16，﹣27，……，
因为c1＜c2＜c3＜c4，
所以c4＝9，c1，c2，c3来自比9小的任意三个不同的数字，c1最小，
当c1＝0时，c4﹣c1＝9，
当c1＝﹣7时，c4﹣c1＝16，
当c1＝﹣16时，c4﹣c1＝25，
当c1＝﹣27时，c4﹣c1＝36
……
故不可能为35，
故选：D．
二、填空题。
13．（2022秋•硚口区校级月考）设关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0（a＜0）的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围为 [﹣1， ．
【答案】[﹣1，。
【解答】解：由题意可知，Δ＝a²﹣8a＞0，得a＜0或a＞8（舍去），
设f（x）＝x2﹣ax+2a＜0（a＜0），则f（0）＝2a＜0，且对称轴x＝在y轴的左侧，
所以A中的两个整数为﹣1和0，
所以f（﹣1）＝1+3a＜0且f（﹣2）＝4+4a≥0，得﹣1，
故答案为：[﹣1，．
14．（2022秋•金水区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 {x|﹣2＜x＜1} ．
【答案】{x|﹣2＜x＜1}。
【解答】解：不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，即方程ax2﹣bx+c＝0的解为x＝﹣1，x＝2，且a＜0，
∴a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣2，x＝1，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．
15．（2022秋•宝山区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是 [1，2] ．
【答案】[1，2]。
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x+4的对称轴为x＝1，此时，函数取得最小值为3，
当x＝0或x＝2时，函数值等于4．
且函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]（m＞0）上的最大值为4，最小值为3，
∴实数m的取值范围是[1，2]，
故答案为：[1，2]．
16．（2022•天宁区校级开学）已知f（x）＝1+lg2x，x∈[1，8]，设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ ．
【答案】。
【解答】解：由题意得，
所以1，
所以g（x）＝（1+lg2x）2+1+lg2x2＝（lg2x）2+4lg2x+2，
令t＝lg2x，则t∈[0，]，
则h（t）＝t2+4t+2在[0，]上单调递增，
∴g（x）max＝h（）＝，g（x）min＝h（0）＝2，
∴．
17．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，若关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有一个整数，则实数m的取值范围为 [﹣2，﹣1） ．
【答案】[﹣2，﹣1）。
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x2+x+m+2，所以不等式f（x）≥|x|可化为x2﹣x+|x|﹣2﹣m≤0，
设g（x）＝x2﹣x+|x|﹣2﹣m，所以g（x）＝，
则g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
关于x的不等式f（x）≥|x|的解集中有且仅有1个整数，
即g（x）≤0的解集中有且仅有1个整数，
所以只需g（x）满足：，即，
解得﹣2≤m＜﹣1，
所以实数m的取值范围是[﹣2，﹣1）．
故答案为：[﹣2，﹣1）．
18．（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n＝ ．
【答案】。
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，
则有﹣＝＝1，即b＝4，
且﹣2+4+c＝1，解可得c＝﹣1，
则f（x）＝﹣2x2+4x﹣1，
又有x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，
则≤1，解可得m≥1，
f（x）在[m，n]上单调递减，
则有f（m）＝，f（n）＝，
即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1＝的两个根，
﹣2x2+4x﹣1＝⇒（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）＝0，
其根为1、、，
又有1≤m＜n，
则m＝1，n＝，
则m+n＝；
故答案为：．
三、解答题。
19．（2022秋•历下区校级月考）求下列不等式的解集．
（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1；
（2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
【解答】解：（1）x（x+2）＞x（3﹣x）+1．
（2x+1）（x﹣1）＞0．
∴x＞1或x＜﹣．
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．
（2）x2﹣2ax﹣8a2≤0（a∈R）．
（x+2a）（x﹣4a）≤0，
当a＞0时，﹣2a≤x≤4a；
当a＝0时，x＝0，
当a＜0时，4a≤x≤﹣2a；
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣2a≤x≤4a}，
当a＝0时，不等式的解集为{0}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|4a≤x≤﹣2a}．
20．（2022秋•新密市校级月考）已知关于x的不等式ax2+3x+2≥0（a∈R）．
（1）若ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．
【解答】解：（1）∵ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，
∴方程ax2+3x+2＝0的两个根为b，1（b＜1），
由根与系数关系可得，，解得a＝﹣5，b＝．
（2）∵ax2﹣3x+2＞ax﹣1，
∴ax2﹣（a+3）x+3＞0，即（ax﹣3）（x﹣1）＞0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当a＞0时，方程ax2﹣3x+2＝ax﹣1 的两个根分别为：，1，
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}，
当a＞3时，，不等式的解集为{x|或x＞1}，
当0＜a＜3时，，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}，
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}，
当a＝3时，故不等式的解集为{x|x≠1}，
当a＞3时，不等式的解集为{x|或x＞1}．
21．（2022秋•碑林区校级月考）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求解关于x的不等式y＞0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣（a+2）x+a＝2x2﹣x﹣1，
令y＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣，
故关于x的不等式y＞0的解集为{x|x＞1或x＜}．
（2）∵方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，
∴，解得a＞1，
＝＝＝，
令t＝，
则a＝2t，
＝＝，当且仅当t＝2，即a＝2时，等号成立，
综上所述，当a＝5时，的最小值为6．
22．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2，且f（1）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，4]时，函数f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，f（1）＝a+b+c＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣3，c＝2，
所以f（x）＝x2﹣3x+2；
（2）由题意得x2﹣3x+2＞kx2在x∈[1，4]时恒成立，
所以k在x∈[1，4]时恒成立，
令t＝，则t∈[]，
所以k＜2t2﹣3t+1在t∈[]时恒成立，
根据二次函数的性质可知，当t＝时，2t2﹣3t+1取得最小值﹣，
故k＜﹣，
所以k的取值范围为{k|k＜﹣}．
23．（2021秋•西青区校级期末）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）当a＜1时，解关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（3）当a∈（0，1）是否存在实数a，使得对任意x∈[1，2]时，关于x的函数g（x）＝f（ax）﹣3ax+1有最小值﹣5．若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得x＝﹣1是方程mx2﹣2x﹣3＝0的根，
所以m＝1，此时f（x）＝x2﹣2x﹣3＜0可得﹣1＜x＜3，
故n＝3，m＝1；
（2）当a＜1时，关于x的不等式ax2+n+1＞（m+1）x+2ax可转化为ax2﹣（2a+2）x+4＞0，即（ax﹣2）（x﹣2）＞0，
因为a＜1，
当0＜a＜1时，不等式解集为；
当a＝0时，不等式解集为{x|x＜2}；
当a＜0时，不等式解集为；
（3）假设存在满足条件的a，
由（1）得f（x）＝x2﹣2x﹣3，
所以g（x）＝f（ax）﹣3ax+1＝a2x﹣（3a+2）ax﹣3，
令t＝ax（a2≤t≤a），则y＝t2﹣（3a+2）t﹣3，对称轴t＝，
因为0＜a＜1，
所以0＜a2＜a＜1，1＜＜，
所以函数y＝t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]上单调递减，
所以当t＝a时，函数取得最小值y＝﹣2a2﹣2a﹣3＝﹣5，
解得a＝．
24．（2022秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．
（1）若点（1，0）在该二次函数的图象上，求y≥0的解集；
（2）若点（1，4）在该二次函数的图象上，且b＞﹣1，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得f（1）＝a+b+1＝0，
所以y＝ax2+（b﹣2）x+3＝ax2﹣（a+3）x+3≥0，
即（ax﹣3）（x﹣1）≥0，a≠0，
当a＜0时，解得，
若a＞0，不等式可化为（x﹣1）（x﹣）≥0，
当0＜a＜3时，解得x或x≤1，
当a＝3时，解得x∈R，
当a＞3时，解得x≥1或x，
综上，a＜0时，不等式的解集为{x|}，
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x|x或x≤1}，
当a＝3时，解集为R，
当a＞3时，解集为{x|x≥1或x}；
（2）由f（1）＝a+b+1＝4得a+b＝3，b+1＞0，
所以＝+＝+++1，当且仅当＝即b+1＝2|a|时取等号，
当a＞0时，+1＝，所求最小值为，此时a＝，b＝，
当a＜0时，+1＝，所求最小值为，此时a＝﹣4，b＝7，
综上的最小值为．
25．（2022•浙江开学）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a＝b，且f（x）在[0，1]上的最大值为a+2，求a的值；
（Ⅱ）若对任意实数t，在区间[t﹣2，t+2]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，1]时f（x）max＝max{f（0），f（1）}＝a+2＞f（0），
故f（1）＝a+2，得a＝1．
（Ⅱ）存在两实数x1，x2∈[t﹣2，t+2]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥b成立，
则在区间[t﹣2，t+2]上，有f（x）max﹣f（x）min≥b成立，
设h（t）＝f（x）max﹣f（x）min，函数f（x）对称轴为，x∈[t﹣2，t+2]，
①当即时，f（x）在[t﹣2，t+2]上单调减，f（x）max﹣f（x）min＝f（t﹣2）﹣f（t+2）＝﹣8t﹣4a，
此时；
②当即时，，
③当即时，，
④当即时，f（x）max﹣f（x）min＝f（t+2）﹣f（t﹣2）＝8t+4a≥16，
综合①②③④得，h（t）最小值为4，因为对任意实数t，都有h（t）≥b，
故b的取值范围为（﹣∞，4]．
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