【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型06 5类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）

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技法01 函数对称性的应用及解题技巧
技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
技法03 整数解的应用及解题技巧
技法04 零点的应用及解题技巧
技法05 切线与公切线的应用及解题技巧
技法01 函数对称性的应用及解题技巧
本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式考查.
例1．（全国·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则
A．B．C．D．
反解的解析式，可得，即，
因为，所以，解得解得，故选C
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】根据图象的对称性得点，在函数的图象上，列方程组求解即可得解.
【详解】函数的图象与的图象关于直线对称，
所以点，在函数的图象上，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
由得，∴，把互换得：，即，
因为，所以．
故选：B．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可
【详解】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故选：D.
技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解
例2．（全国·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
【特值法】
当时，不成立，排除D，当时，则判断是否成立，
计算，，不成立，故排除B、C,
【答案】A
1．（全国·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集.
【详解】根据题意当时,，
当时, ,
作出函数的图象如图，
在同一坐标系中作出函数的图象，
由图象可得不等式解集为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.
3．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得.
【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，
又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以，
所以关于直线对称，且在单调递增．
所以，
两边平方，化简得，解得．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.
技法03 整数解的应用及解题技巧
在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一闭，能做到快速求解.
例3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
若整数解为2，则整数解3不可取，代入有，
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
1．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式等价转化为有3个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可.
【详解】函数的定义域为．
由，得，则不等式有3个整数解．
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以当时，，当时，，
易知的图象恒过点，
在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示．
由图象可知，
要使不等式有3个整数解，
则，解得，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】解：由题意，恰有3个正整数解，转换为的图象与的图象交点问题，
作出和的图象，如图：
要使恰有3个正整数解，
则需满足：，
解得：，
故选：A．
【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
4．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有100个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意得到是周期函数，且周期为，且关于对称，转化为不等式在上有且只有1个整数解，根据时，得到在上有一个整数解，结合对数运算及性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数为偶函数，所以，
所以，所以是周期函数，且周期为，且关于对称，
又由在上含有50个周期，且在每个周期内都是对称图形，
关于的不等式在上有且只有100个整数解，
所以关于不等式在上有且只有1个整数解，
当时，，则，令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
因为当时，，且，，，所以当时，可得，
当时，在上有且只有3个整数解，不合题意；
所以，
由，可得或，
因为，当时，令，可得，
当时，，且在为增函数，
所以在上无整数解，所以在上有一个整数解，
因为，
所以在上有一个整数解，这个整数解只能为，
从而有且，解得，
即实数a的取值范围是．
故选：C
技法04 零点的应用及解题技巧
零点问题是高考中常考内容，解决唯一零点问题在于观察发现零点的具体值，多个零点数形结合能做到快速求解.
例4-1．（全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
通过观察发现关于对称，也关于对称，
则唯一零点为1，解得解得.故选：C.
例4-2．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．
故选：A．
2．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，
则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
，
由于函数有唯一零点，
则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
3．（2022上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出.
【详解】有零点，则，
令，则上式可化为，
因为恒成立，所以，
令，则，
故为偶函数，
因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，
结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故.
故选：D
4．（2023·湖南岳阳·统考二模）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，
则，
等价于函数与图象有两个不同的交点.
令，，
则函数与图象有一个交点，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
且趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
5．（全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.
【详解】由函数，其中，
当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，
当时，，
由可得或，
则在上，有一个零点，
所以在内有3个零点，即在内有3个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
技法05 切线与公切线的应用及解题技巧
对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助于快速解题.
例5-1．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
例5-2．（全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
1．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义推出公共切线斜率为，结合切点坐标满足函数解析式，可得，构造函数，利用导数求得其最大值，即可求得答案.
【详解】由题可知，，，
设与曲线相切的切点为，与相切的切点为，
则有公共切线斜率为，则，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
设，，，
可得时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，,
可得处取得极大值，且为最大值，
则正实数a的取值范围，
故答案为：
2．（2024·全国·高三专题练习）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.
3．（2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点
（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；
（3）构建关系解得；
（4）由点斜式求得切线方程.