人教版八年级下册17.1 勾股定理同步练习题

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理同步练习题，共42页。

注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3B．103C．5D．83
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103B．3C．5D．83
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152B．254C．4D．5
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3B．103C．154D．5
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13B．10C．7D．5
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2B．83C．3D．103
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185B．165C．125D．95
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911B．4513C．175D．5717
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
专题17.5勾股定理与折叠问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3B．103C．5D．83
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得AD=AF，FE=ED；根据S△ABF=12×AB×BF=24，解出BF，可得AF的值，根据直角三角形△EFC，利用勾股定理，即可求出EC．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC=8，AD=BC，
∵△AFE是△ADE沿折痕AE折叠得到的，
∴AD=AF，FE=ED，
∵S△ABF=12×AB×BF=24，
∴BF=6，
∴在直角三角形△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴82+62=AF2，
∴AF=10，
∴BC=AD=AF=10，FC=4，
设CE=x，
∴DE=EF=8−x，
∴在直角三角形△EFC，CE2+FC2=EF2，
∴x2+42=8−x2，
∴x=3，
∴CE=3．
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103B．3C．5D．83
【答案】A
【分析】根据勾股定理即可求出BD的长，设A'E=x，则BE=12−x，在Rt△A'EB中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD=122+52=13，
根据折叠可得：AD=A'D=5，
∴A'B=13−5=8，
设AE=x，则A'E=x，BE=12−x，
在Rt△A'EB中：(12−x)2=x2+82，
解得：x=103，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152B．254C．4D．5
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，再设AE=x，再根据图形翻折变换的性质得出BE=x，CE=8−x，再根据勾股定理求出x的值．
【详解】解：设AE=x，则CE=8−x，
∵△BDE是△ADE翻折而成，
∴BE=x，
在RtΔBCE中，BE2=BC2+CE2，即x2=62+8−x2，
解得x=254．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3B．103C．154D．5
【答案】B
【分析】设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根据勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出x的方程，解方程即可．
【详解】解：设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，
根据勾股定理可知，AB=AC2+BC2=52+122=13，
则BE=AB−AE=13−5=8，
在Rt△BDE中，根据勾股定理可得，BD2=BE2+DE2，
即12−x2=82+x2，
解得：x=103，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是根据勾股定理列出关于x的方程．
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折叠得DE=AE=3，根据勾股定理得CD的长，据此求解可判断①正确；因为BD=4−22，CE=1，所以BD>CE，可判断②正确；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推导出∠CDE=135°−∠BDF，则∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，据此求解可判断③正确；根据勾股定理求得AB的长，可△DCE与△BDF的周长相等，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵CE=1，AC=4，
∴AE=AC−CE=3，
由折叠得DE=AE=3，
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴CD=DE2−CE2=32−12=22，
∴2CD=2×22=4，
∴BC=2CD，故①正确；
∵BD=4−22，CE=1，且4−22>1，
∴BD>CE，故②正确；
∵∠EDF=∠A=∠B=45°，
∴2∠EDF=90°，
∵∠CDE=180°−∠EDF−∠BDF=135°−∠BDF，
∠DFB=180°−∠B−∠BDF=135°−∠BDF，
∴∠CDE=∠DFB，
∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，
∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正确；
∵AB=AC2+BC2=42+42=42，BD=4−22，DF=AF，
∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD
=42+4−22=22+4，
∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22+4，
∴CD+DE+CE=BF+DF+BD，
∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确，
综上，①②③④均正确，
故选：D．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据勾股定理求得CD=22、AB=42是解题的关键．
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折叠可得，DE=AE=3，即CD=DE2−CE2=22，则有BD=BC−DC=4−22＞1，可判断①正确；根据BC=4，CD=22，可得BC=4，2CD=4，即②正确；根据△DCE的周长为：CE+DE+CD=4+22，由折叠可得，DF=AF，则有△BDF的周长为：AB+BD=4+22，可得③正确，即问题得解．
【详解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，
∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC，
∴AB=AC2+BC2=42+42=42，
∵CE=1，
∴AE=AC−CE=3，
即由折叠可得，DE=AE=3，
∴在Rt△CDE中，CD=DE2−CE2=22，
∴BD=BC−DC=4−22＞1，
∴BD>CE，故①正确；
∵BC=4，CD=22，
∴BC=4，2CD=4，
∴BC=2CD，故②正确；
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=42，
∵△DCE的周长为：CE+DE+CD=1+3+22=4+22，
由折叠可得，DF=AF，
∴△BDF的周长为：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42+4−22=4+22，
∴△DCE与△BDF的周长相等，故③正确；
即正确的有三个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13B．10C．7D．5
【答案】B
【分析】利用折叠和中线的性质，得到ΔABD的面积，利用勾股定理求出BF，利用三角形的面积公式求出AD，进而求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【详解】解：∵DG=EG,
∴AG为ΔAEG的中线，
∴S△ADE=2SΔAEG=152，
∵翻折，
∴S△ADB=S△ADE=152，AD⊥BE，
∴∠AFD=∠BFD=90°，
∵AF=4,AB=5，
∴BF=AB2−AF2=52−42=3，
∵S△ADB=12AD⋅BF=12AD×3=152，
∴AD=5，
∴DF=AD−AF=5−4=1，
∴BD=BF2+DF2=32+12=10；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2B．83C．3D．103
【答案】B
【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，AE2+DE2=AD2，
∴22+x2=6−x2，
解得：x＝83，
∴CD＝83，
即点D到顶点C的距离是83．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185B．165C．125D．95
【答案】A
【分析】连接BF，由翻折变换可知BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可得12×AB×BE=12×AE×BH，据此可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可．
【详解】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=AB2+BE2=5，
∵12×AB×BE=12×AE×BH，
∴BH=125，
则BF=245，
∴FE=BE=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC =90°，
∴ CF=62−(245)2=185．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形与折叠，勾股定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911B．4513C．175D．5717
【答案】C
【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB，EF=BP，从而有BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的长，再有勾股定理求得x的值从而得到DF的长．
【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，
由折叠的性质，得：DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，
在△OEF、△OBP中，
∠EOF=∠BOP∠E=∠BOF=OP，
∴△OEF≌△OBP
∴OE=OB、EF=BP，
∴BF=EP=CP
设BF=EP=CP=x，
则AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2 ，
即（4−x）2+9=（x+1）2，
∴x=125，
∴DF=x+1=175
【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP是关键．
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
【答案】53##123
【分析】由折叠的性质，可知EF=AE，BF=AB=5，在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2−BC2=4，即可知DF=CD−CD=1，设AE=EF=x，则DE=3−x，在Rt△DEF中，由勾股定理可得DF2+DE2=EF2，即有12+(3−x)2=x2，求解即可获得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=3，
∴∠A=∠D=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=3，
由折叠的性质，可知EF=AE，BF=AB=5，
∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2−BC2=52−32=4，
∴DF=CD−CD=5−4=1，
设AE=EF=x，则DE=AD−AE=3−x，
∴在Rt△DEF中，由勾股定理可得DF2+DE2=EF2，
即12+(3−x)2=x2，
解得x=53，
∴AE=53．
故答案为：53．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
【答案】5
【分析】先根据长方形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC−BF=4，设CE=x，则DE=EF=8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+42=(8−x)2，再解方程得到DE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可知，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，∵BF=AF2−AB2=6，
∴CF=BC−BF=10−6=4，
设CE=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
即DE=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键．
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
【答案】2
【分析】假设△AD′B为直角三角形，可得Rt△BCE，设DE=x，则D′E=x，EC=10−x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
△ADE与△AD′E关于直线AE对称，AD=BC=6，AB=CD=10，当△AD′B为直角三角形时，
∵∠D=∠AD′E=∠AD′B=90°，
∴点E，D′，B在同一条直线上，则有Rt△AD′B，Rt△BCE，
∴设DE=x，则D′E=x，EC=10−x，
∴BD′=AB2−D′A2=102−62=8，则BE=8+x，
∴BE2=CE2+CB2，即(8+x)2=(10−x)2+62，解方程得，x=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考察长方形的性质与直角三角形的勾股定理得综合，掌握长方形的性质，勾股定理是解题的关键．
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
【答案】83
【分析】由折叠可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x,则DE=EF=6−x.在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°
由折叠可知：AD=AF=10，DE=EF，
设EC=x,则DE=EF=6−x,
在Rt△ABF中BF=AF2−AB2=102−62=8，
∴CF=BC−BF=10−8=2，
在Rt△ECF中，EF2=CE2+CF2，
∴6−x2=x2+22，
∴x=83，
∴EC=83，
故答案为：83．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
【答案】16−473
【分析】根据对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，求得AF，根据将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上，得到AB=AB′=4，BM=B′M，在Rt△AB'F和Rt△MEB'中，应用勾股定理即可求解．
【详解】解：在长方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，
∴ AF=12AD=3， BE=12BC=3，∠AFE=∠DFE=90°，∠BEF=∠CEF=90°，
∴ ∠BAF=∠B=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴ EF=AB=4，
∵将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上，
∴ AB=AB′=4，BM=B′M，
在Rt△AB'F中，AB′2=AF2+B′F2，
即42=32+B′F2，
∴B′F=7，
∴B′E=EF−B′F=4−7，
在Rt△MEB'中，B′M2=ME2+B′E2，
即B′M2=3−B′M2+4−72，
∴B′M=16−473，
∴BM=B′M=16−473，
故答案为：16−473．
【点睛】本题考查矩形的判定及其性质，折叠性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握图形折叠的性质求得相等的量．
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
【答案】74
【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，从而可证∠FEC=90°，设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，用勾股定理即可得答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=AB2−BC2=8，
由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，
∴EF2+CE2=CF2，
设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，
∴x2+62=8−x2，
解得x=74，
∴AF=74，
故答案为：74．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∠FEC=90°，从而用勾股定理解决问题．
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
【答案】31
【分析】根据折叠的性质得到△ABD≌△AED，可得BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，根据等边三角形的判定和性质得∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，根据S△ACD=S△AED，S△ABD=S△AED，得CD=DB，设BH=x，则DH=DB+BH=3+x，根据含30°得直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥CB交CB得延长线于点H，
∵将△ABD沿AD翻折，得到△AED，
∴△ABD≌△AED，
∴BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，
∵BE=DE，
∴BE=DE=DB，
∴△EDB时等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∴∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，
∵S△ACD=S△AED，S△ABD=S△AED，
∴S△ACD=S△ABD，即12CD·AH=12DB·AH，
∴CD=DB，
∵BC=CD+DB=23，
∴CD=DB=3，
设BH=x，则DH=DB+BH=3+x，
∵∠BDA=30°，∠H=90°，
∴AH=33DH=3+x·33=1+33x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得，BH2+AH2=AB2，
∴x2+1+33x2=72，
解得x1=3，x2=−332（舍去），
∴BH=3，AH=2，
∴CH=CB+BH=23+3=33，
在Rt△CHA中，由勾股定理得，CH2+AH2=AC2，
∴332+22=AC2，
∴AC=332+22=31，
故答案为：31．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程的应用、含30°得直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
【答案】0，78
【分析】由A0，4、B6，0，A′ 是OB边的中点，可得OA′， 设点C的坐标表示出OC、AC，在RtΔA′OC中，用勾股定理即可得答案．
【详解】解：∵A0，4、B6，0，
∴OA=4 ，OB=6，
∵A′是OB边的中点，
∴OA′=12OB=3，
∵ΔACD折叠得到ΔA′CD，
∴AC=A′C ，AD=A′D，
设C点坐标为(0，m) ，
OC=m ，
∴AC=OA−OC=4−m ，
在RtΔA′OC中由勾股定理可得，
m2+32=(4−m)2 ，
解得：m=78 ，
故答案为：0，78．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
【答案】5
【分析】根据翻折的性质可知BC′=BC=8，C′D′=AB=10，∠C′=∠D′=∠DAB=90°，在Rt△AC'B中，由勾股定理可得AC′=AB2−BC′2=102−82=6，则AD′=C′D′−AC′=10−6=4，在 Rt△AD'E中，设AE=x，则 D′E=DE=AD−AE=8−x，由勾股定理可列出方程42+(8−x)2=x2，即可求解．
【详解】解：∵ 四边形ABCD为长方形，
∴根据翻折的性质可得：BC′=BC=8，C′D′=AB=10，∠C′=∠D′=∠DAB=90°，
在Rt△AC'B中，由勾股定理可得AC′=AB2−BC′2=102−82=6，
∴ AD′=C′D′−AC′=10−6=4，
在 Rt△AD'E中，设AE=x，则 D′E=DE=AD−AE=8−x，
由勾股定理可得：AD′2+D′E2=AE2,
即42+(8−x)2=x2
解得：x=5，
即 AE=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握矩形的性质和勾股定理等是解题的关键．
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
【答案】2或2+63
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠MPB=90°时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，
在Rt△ACM中，
∵∠A=45°，AC=2，
∴AM=CM=2，
在Rt△BCM中，
∵∠B=30°，CM=2，
∴BM=3CM=6，
∴AB=AM+BM=2+6，
如图2中，当∠MPB=90°时，
由翻折可知，AM=PM，
在Rt△PMB中，
∵∠B=30°，
∴BM=2PM=2AM，
∴3AM=AB，
∴AM=2+63．
综上所述，满足条件的AM的值为2或2+63．
故答案为：2或2+63．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
【答案】15
【分析】设BF＝x，由折叠的性质可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，根据勾股定理可求出BF、CD的长，再设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，根据勾股定理即可求解AD．
【详解】由折叠的性质可知AE=EF，AD=DF，
设BF＝x，则AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，
在Rt△BEF中：BE2+BF2=EF2，
42+x2=(3x−4)2
解得：8x2=24x
x=3或x=0（舍）
∴BF＝3，CD＝9，
设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，
在Rt△DFC中：CD2+CF2=DF2，
92+(y−3)2=y2
解得：y=15
∴AD的长为15．
【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，合理利用勾股定理转换是解题关键．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B′EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF．
（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由如下：
由（1）知B′E=BF=c，由折叠的性质，
得∠A′=∠A=90°，A′E=AE=a，A′B′=AB=b．
在△A′B′E中，∠A′=90°，
所以A′E2+A′B′2=B′E2，所以a2+b2=c2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
【答案】(1)见解析
(2)125
【分析】（1）根据折叠的性质可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；
（2）根据全等三角形的性质可得出EF=BP,GF=GP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
Rt△ADF中，根据勾股定理，可得到x的值．
【详解】（1）解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4,CP=EP．
在△GEF和△GBP中，
∠EGF=∠BGPGE=GB∠E=∠B，
∴△GEF≌△GBPASA；
（2）解：∵△GEF≌△GBP，
∴EF=BP,GF=GP，
∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴4−x2+32=1+x2，
∴x=125，
∴BF=125．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)74
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）由折叠知：DA=DB，设CD=x，则AD=BD=8−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
即∠BAC+∠ABC=90°；
（2）解：由折叠知：DA=DB，△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，AC2＋CD2=AD2①，
设CD=x，则AD=BD=8−x，
代入①式得62+x2=8−x2
化简得36=64−16x，
解得：x=74，
即CD的长为74．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
【答案】(1)103
(2)AF=1或132
【分析】（1）设CE=x，则BE=12−x，根据折叠的性质得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：设CE=x，则BE=12−x
∵∠ACB=90°，AC=5，AB=13
∴BC=12
∵△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合
∴DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，
∴BD=AB−AD=8
在Rt△BDE中，∠BDE=90°
∴82+x2=12−x2
解得x=103，
∴CE=103；
（2）解：∵△BCF是等腰三角形，
①BC=BF =12，
∴AF=AB−BF=13−12=1，
②当FB=FC时，如图，
∴∠B=∠FCB，
又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠FCA，
∴FC=FA，
∴FA=FB=12AB=132．
③∵点F为斜边上AB上动点，所以CB=CF不存在，
综上所述，AF=1或132．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
【答案】(1)74；
(2)5516．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；
（2）点B′是直角边AC的中点，可以得到B′C的长度，再利用翻折得到B′E=BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=AC2+BC2=10
根据折叠的性质，
∴△ADE≌△BDE
∴AE=BE
设CE为x，则：AE=BE =8-x
在Rt△ACE中：x2+62=8−x2
解得：x=74
即CE的长为：74．
（2）
解：∵点B′是直角边AC的中点
∴B′C=12AC=3
根据折叠的性质，
∴△B'DE≌△BDE
∴B′E=BE
设CE为x，则：B′E=BE =8-x
在Rt△B'CE中：x2+32=8−x2
解得：x=5516
即CE的长为：5516．
【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
【答案】(1)AE=10
(2)AE∥B′C，理由见解析
(3)B′C=365
【分析】（1）由BC=12，点E为BC的中点，得出BE=12BC=6，再由勾股定理求解即可；
（2）由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，得到BE=B′E，再由点E为BC的中点，得到B′E=CE，由三角形外角和定理，得出∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，则∠AEB=∠ECB′，即可判断
（3）连接BB′交AE于H，由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面积不变，得：AB⋅BE=AE⋅BH，得到BH的长度，由AE∥B′C，得∠BB′C=90°，用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ BC=12，点E为BC的中点，
∴BE=12BC=6，
∴AE=AB2+BE2=10；
（2）AE∥B′C，
理由如下：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴B′E=CE，
∴∠EB′C=∠ECB′，
而∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴∠AEB+∠AEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴2∠AEB=2∠ECB′，
∴∠AEB=∠ECB′，
∴AE∥B′C；
（3）连接BB′交AE于H，如图：
由（1）得AE=10，
∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，
∴BH=B′H，
由面积不变，得：
AB⋅BE=AE⋅BH
∴BH=AB⋅BEAE=6×810=245
∴BB′=BH+B′H=485，
由（2）知，AE∥B′C，
∴∠BB′C=∠BHE=90°，
∴B′C=BC2−BB′2=365．
【点睛】本题考查直角三角形得性质，等腰三角形得判定，两直线平行的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能够准确识图，并化出辅助线是解题关键．
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见详解
(2)78或43
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，再根据平角的性质可得∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，从而推算出∠AB′D+∠C′DE=90°，最终得到∠ADE=90°；
（2）根据AD=DC′和AD=AC′两种情况展开讨论，当AD=DC′，设BD=x可得DC=4−x，根据折叠的性质得AD=DC=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD=AC′，可得B′是DC′的中点，设BD=x，DC=4−x，可得DB′=4−x2，根据折叠的性质得BD=DB′，建立方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，
∵∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，
∴2∠AB′D+2∠C′DE=180°，
∴∠AB′D+∠C′DE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）当AD=DC′时，设BD=x，
得DC=4−x，
∵DC′=DC，
∴AD=DC=4−x，
在Rt△ABC中AB2+BD2=AD2,
∴9+x2=4−x2，
∴x=78；
当AD=AC′时，
∵AB′⊥DC′，
∴B′是DC′的中点，
∵DC′=DC，
∴DB′=12DC，
设BD=x，则DC=4−x，
∴DB′=4−x2，
∵BD=DB′，
∴x=4−x2，
∴x=43，
∴当BD=78或BD=43时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
【答案】(1)3
(2)53或910
(3)2或8
【分析】（1）根据折叠的性质可得AB=AQ=5，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．先证明△DEA≌△DEJ，可得AE=EJ=JB′，从而得到BE=2AE，可求出AE，当DE=EB′时，设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，根据DE2=AD2+AE2，求出x，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点M在线段AB上时，当点M在AB的延长线上时，即可求解．
【详解】（1）解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，
由翻折变换的性质可知AB=AQ=5，
∵AD=4，
∴DQ=AQ2−AD2=52−42=3，
故答案为：3；
（2）解：如图，当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE=DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ=JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB′+∠DEB′=90°，
∵∠BEF=∠B′EF，
∴∠DEJ=∠DEA，
∵∠A=∠DJE=90°，DE=DE，
∴△DEA≌△DEJAAS，
∴AE=EJ=JB′，
∵EB=EB′，
∴BE=2AE，
∵AB=5，
∴AE=13AB=53；
如图，当DE=EB′时，
设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，
∵DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+5−x2，
∴x=4110，
∴AE=AB−BE=5−4110=910．
综上所述，AE的长为53或910；
（3）解：如图，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∵∠AMD=∠A′MD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，
∴BM=CM2−BC2=52−42=3，
∴AM=AB−BM=5−3=2．
如图，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，CB=4，
∴BM=CM2−CB2=52−42=3，
∴AM=AB+BM=5+3=8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
【答案】(1)证明见解析
(2)AF=132
(3)12
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质证明∠FAP=∠APF，即可证明FA=FP；
（2）由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得： x2=x−42+62，据此求解即可；
（3）由题意得C△PCB′=8+B′C则要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，故当A、B′、C三点共线时B′C最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FAP，
由折叠的性质可知∠APB=∠APF，
∴∠FAP=∠APF，
∴FA=FP
（2）解：∵P是BC的中点，
∴BP=12BC=4，
由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，
设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，
在Rt△AB′F中，由勾股定理得：AF2=B′F2+AB′2，
∴x2=x−42+62，
解得x=132，
∴AF=132；
（3）解：由题意得C△PCB′=PC+B′C+B′P=PC+B′C+BP=8+B′C，
∴要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，
∴当A、B′、C三点共线时B′C最小，
连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=10，
∴B′C最小值=AC−AB′=4，
∴△PCB′的周长最小值为8+4=12；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键．