人教版17.1 勾股定理导学案

这是一份人教版17.1 勾股定理导学案，共12页。学案主要包含了学习目标等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即：化简可得 。
二、合作交流（小组互助）思考：
（1）观察图1－1。 A的面积是__________个单位面积；
B的面积是__________个单位面积；
C的面积是__________个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________
_____________________________________________________________________。
（3）展示提升（质疑点拨）
第4题图
S1
S2
S3
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？
四、达标检测
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。
4、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
《17.1勾股定理》导学案（2）
小组名称 学生姓名： 小组评价： 教师评价___
学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
A
C
B
（1）两锐角之间的关系： ；
（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
（4）三边之间的关系： 。
（5）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
c= 。（已知a、b，求c）
a= 。（已知b、c，求a）
b= 。（已知a、c，求b）.
2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
B
C
1m

2m
A
实际问题
数学模型
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。
二、合作交流（小组互助）
1：一个门框的尺寸如图所示．若薄木板长3米，宽2.2米
长方形薄木板能否从门框内通过？为什么呢？
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）
3、在△ABC中，AB=15CM,AC=13cm.高AD=12CM.求BC的长。
B
A
C




（三）展示提升（质疑点拨）1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。
2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为 。
3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为 （结果保留根号）
第2题
4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高
如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方
向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，
你能求出A、B两点间的距离吗?
A
E
B
D
C
5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
（四）达标检测
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )
A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm
2、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为 ，斜边上的高的长为 。
3、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。
求：（1）AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。


《17.1勾股定理》导学案（3）
小组名称 学生姓名： 小组评价： 教师评价___
学习目标：
1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。
2．会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：运用勾股定理解决数学和实际问题 学习难点：勾股定理的综合应用。
一、自学导航（课前预习）
1、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=5，c=13，则b= 。
2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。
3、自学教材27页，在数轴上作出的点，在作图中表示________的______边，而我们要作的是_________的_____________________边。
二、合作交流1、在数轴上作出对应的点
2、展示提升（质疑点拨）
（1）、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
（2）、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
求等边△ABC的高。 求S△ABC。

四、达标检测
1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
4、在数轴上作出表示的点。
5、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，
求线段AB的长。
《17.2勾股定理的逆定理》导学案（1）
小组名称 学生姓名： 小组评价： 教师评价_———
学习目标：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.
重点：勾股定理的逆定理及其应用。 难点：勾股定理的逆定理的证明。
一、自学导航
A
B
C
1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.
2、填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，8，15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，3，4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ，
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：
（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半．
二、合作交流
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17 3、4、5
（1）这三组数满足吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是 三角形，由此得到
勾股定理逆定理：
3、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）； （2）．
勾股定理：
勾股定理逆定理：
和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做
2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
（1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
（3）全等三角形的对应角相等．
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、达标检测
1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）
①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24
2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12
3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A、a=9，b=41，c=40 B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15
4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）
A．42 B．52 C．7 D．52或7
5、命题“全等三角形的对应角相等”
（1）它的逆命题是 。
（2）这个逆命题正确吗？
（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。
《17.2勾股定理的逆定理》导学案（2）
小组名称 学生姓名： 小组评价： 教师评价_———
学习目标：1、勾股定理的逆定理的实际应用；
2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合.
学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。
学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。
学习过程
一、自主学习
1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）；（2） （3）
2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（3）全等三角形的对应边相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
二、合作交流
1、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理.
2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 .
3、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
4、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.
四、达标检测
1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=，
∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
C
A
B
E
N
13
3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
《17章复习课》导学案
小组名称 学生姓名： 小组评价： 教师评价_———
学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.
学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。
学习难点：利用定理解决实际问题。
学习过程
一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边
1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为，，，，则 。
9
15
10
24
公式变形①：若知道，，则 ；
公式变形②：若知道，，则 ；
公式变形③：若知道，，则 ；
2：求图中的直角三角形中未知边的长度：
， .
(1)在Rt中，若，，，则 .
(2)在Rt中，若，，，则 .
(3)在Rt中，若，，，则 .
二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。
1：在数轴上画出表示的点.
2、在数轴上作出表示的点．
三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。
1、：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。
2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4
3、判断由下列各组线段，，的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由.
（1），，； （2），，；
（3），，； （4），，；
四、知识要点4：利用列方程求线段的长
A
D
E
B
C
1：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2、 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题
A
B
C
1：如图，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?
2、一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是 体.
六、课后巩固练习
（一）填空选择
1、写出一组全是偶数的勾股数是 .
2、直角三角形一直角边为12 cm，斜边长为13 cm，则它的面积为 .
3、斜边长为l7 cm，一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是（ ）
A．60 cm2 B．30 cm2 C．90 cm2 D．120 cm2
4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、,则以为边的正方形的面积为 .
5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .
6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为
cm2．
7、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm．
（二）解答题1、在数轴上作出表示的点．
2、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求：①AD的长；②ΔABC的面积．
3、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
C
A
B
D
图4
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（结果保留根号）
5、（如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．
6、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
7、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：≈1．414，≈1．732）