浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定教学设计

两个三角形相似的判定

【教学目标】

1．知识与技能目标：

（1）理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角。

（2）掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。

2．过程与方法目标：

（1）通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法。

（2）利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力。

3．情感与态度目标：

（1）通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。

（2）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。

【教学重点】

相似三角形判定定理的预备定理的探索。

【教学难点】

相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。

【教学方法】

探究法。

【教学过程】

一、教学准备

1．全等三角形的基础知识。

2．三角形中位线定理及其证明方法。

3．平行四边形的判定和性质。

4．相似多边形的定义。

5．比例的性质。

二、复习引入

（一）复习 

1．相似图形指的是什么？

2．什么叫做相似三角形？

（二）引入 

如图1，△ABC与△A’B’C’相似。

图1

记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”。

[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。

对于△ABC∽△A’B’C’，根据相似形的定义，应有

∠A＝∠A’，∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，＝＝。

[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1，△A’B’C’与△ABC相似比记为k2，那么k1与k2有什么关系？k1＝k2能成立吗？

三、探索交流

（一）探究

1．在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

（1）“角”

∠BAC＝∠DAE。

∵DB∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．

（2）“边”

要证明对应边的比相等，有哪些方法？

Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理

∵DB∥BC，D为AB的中点，

∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线。

（三角形中位线定理的逆定理）

∴DE＝BC．（三角形中位线定理）

∴＝＝＝。

∴△ADE∽△ABC．

Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识

过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．

则△ADE≌△ABC，（ASA）

且四边形DFCE为平行四边形。

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴DE＝BF＝FC．     

∴＝＝＝。

∴△ADE∽△ABC．

2．当D1．D2为AB的三等分点，如图4．过点D1．D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1．E2，那么△AD1E1．△AD2E2与△ABC相似吗？

由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等。

过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1．F2，设D1F1与D2F2相交于G点。

则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2，（ASA）

且四边形D1F1CE1．D2F2CE2．D1GE2E1．D2F2F1G为平行四边形。

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）                  

∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C，       

∴AE1＝E1E2＝E2C，                             

∴＝＝＝。

∴△AD1E1∽△ABC．    

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．

则四边形D2F2CE2为平行四边形，

且△AD1E1≌D2BF2，（ASA）    

∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．

由（1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2，

∴D1E1＝BC，AE1＝AC．

∴＝＝＝。

∴△AD1E1∽△ABC．

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

（二）［猜想］

3．通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．

图6

（三）［归纳］定理 

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

这个定理可以证明，这里从略。

四、应用迁移

[操作]：

练习1．如图案，点D在△ABC的边AB上，DB∥BC交AC于点E。写出所有可能成立的比例式。

练习3．在第1题中，如果＝，AC＝8cm。求AE长。