高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品习题

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§5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
学习目标　
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.

知识点　两角差的余弦公式
公式
cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β
简记符号
C(α﹣β)
使用条件
α，β为任意角
思考　两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
答案为：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正.

1.cos(60°﹣30°)＝cos 60°﹣cos 30°.(　×　)
2.当α，β∈R时，cos(α﹣β)＝cos αcos β﹣sin αsin β.(　×　)
3.对于任意实数α，β，cos(α﹣β)＝cos α﹣cos β都不成立.(　×　)
4.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　√　)

一、两角差的余弦公式的简单应用
例1　求下列各式的值：
(1)cos ； (2)cos cos ＋cos sin ； (3)cos 105°＋sin 105°.
解：(1)cos ＝cos(π＋)＝﹣cos ＝cos(﹣)＝﹣.
(2)原式＝cos cos ＋cos(﹣)sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝.
(3)cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°﹣105°)＝cos(﹣45°)＝.
反思感悟　两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
跟踪训练1　化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ﹣24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ﹣24°)；
(2)﹣sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°；
(3)sin ＋cos .
解：(1)原式＝cos[θ＋21°﹣(θ﹣24°)]＝cos 45°＝.
(2)原式＝﹣sin(180°﹣13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°﹣47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°﹣43°)＝cos(﹣30°)＝.
(3)原式＝2(sin＋cos)＝2cos＝.
二、给值求值
例2　(1)已知cos α＝，α∈(,2π)，则cos(α﹣ )＝ .
答案为：.
解析：因为cos α＝，α∈(,2π)，所以sin α＝﹣，
所以cos(α﹣ )＝cos αcos ＋sin αsin ＝.
(2)已知α，β∈(0,)，且sin α＝，cos(α＋β)＝﹣，求cos β的值.
解：因为α，β∈(0,)，所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝﹣，得sin(α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)﹣α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
(学生留)
反思感悟　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α＝(α﹣β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α﹣β)；
④2β＝(α＋β)﹣(α﹣β).
跟踪训练2　已知sin(α＋)＝﹣，α∈(，)，则cos α＝ .
答案为：.
解析：∵α∈(，)，∴α＋∈(，2π)，
∴cos(α＋)＝＝，
∴cos α＝cos[(α＋)﹣]＝cos(α＋)cos ＋sin(α＋)sin 
＝×＋(﹣)×＝.
三、给值求角
例3　已知cos α＝，cos(α﹣β)＝，且0<β<α<，求β的值.
解：由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝.
由0<β<α<，得0<α﹣β<.
又∵cos(α﹣β)＝，∴sin(α﹣β)＝＝.
∵β＝α﹣(α﹣β)，
∴cos β＝cos[α﹣(α﹣β)]＝cos αcos(α﹣β)＋sin αsin(α﹣β)
＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝.
反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α﹣β的值.
解：∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又sin α 故α﹣β＝﹣.

1.cos 20°等于(　　)
A.cos 30°cos 10°﹣sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°﹣sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
答案为：B
解析：cos 20°＝cos(30°﹣10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°.
2.cos(α﹣35°)cos(25°＋α)＋sin(α﹣35°)sin(25°＋α)的值为(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：B
解析：原式＝cos[(α﹣35°)﹣(α＋25°)]＝cos 60°＝.
3.已知cos α＝，α∈(﹣,0)，则cos(α﹣)的值为(　　)
A. B. C. D.
答案为：D
解析：因为α∈(﹣,0)，所以sin α＝﹣，
所以cos(α﹣)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋(﹣)×＝.
4.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝﹣，则cos β的值为(　　)
A. B.﹣ C. D.﹣
答案为：A
解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝﹣，所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)﹣α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝(﹣)×＋×＝.
5.若cos(α﹣β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ .
答案为：
解析：因为0<α<，0<β<，α<β.所以﹣<α﹣β<0.
又cos(α﹣β)＝，所以sin(α﹣β)＝﹣＝﹣.
又因为0<2α<π，cos 2α＝，所以sin 2α＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α﹣(α﹣β)]＝cos 2αcos(α﹣β)＋sin 2αsin(α﹣β)
＝×＋×(﹣)＝﹣. 又0<α＋β<π，故α＋β＝.

1.知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值，给值求值，给值求角.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求角时忽视角的范围.


1.下列各式化简错误的是(　　)
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°
D.cos(α﹣)＝cos α＋sin α
答案为：D
解析：根据两角差的余弦公式知，A，B，C均正确，D选项错误.
2.已知sin α＝，α∈(0,)，则cos(＋α)等于(　　)
A. B. C.﹣ D.﹣
答案为：B
解析：由题意可知cos α＝，
cos(＋α)＝cos(2π﹣＋α)＝cos(α﹣)＝cos αcos＋sin αsin ＝×＋×＝.
3.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝﹣，则cos(α﹣β)的值为(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：A
解析：∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝﹣，∴cos β＝﹣＝﹣，
∴cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(﹣)＋×(﹣)＝﹣.
4.(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：AC
解析：对比公式特征知，cos φ＝，sin φ＝﹣，故φ＝﹣，都合适.
5.若α∈(0，π)，且cos(α＋)＝，则cos α等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：C
解析：因为α∈(0，π)且cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝.
cos α＝×＋×＝.
6.已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝ ，cos(α﹣60°)＝ .
答案为：﹣,.
解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝﹣，所以tan α＝＝﹣，
cos(α﹣60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝(﹣)×＋×＝.
7.化简：cos(α﹣55°)cos(α＋5°)＋sin(α﹣55°)sin(α＋5°)＝ .
答案为：
解析：原式＝cos[(α﹣55°)﹣(α＋5°)]＝cos(﹣60°)＝.
8.已知cos( ﹣α)＝，则cos α＋sin α的值为 .
答案为：
解析：因为cos( ﹣α)＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝2(cos α＋sin α)＝.
9.已知cos(α﹣β)＝﹣，cos(α＋β)＝，且α﹣β∈(,π)，α＋β∈(,2π)，求角β的值.
解：由α﹣β∈(,π)，且cos(α﹣β)＝﹣，得sin(α﹣β)＝.
由α＋β∈(,2π)，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝﹣.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)﹣(α﹣β)]＝cos(α＋β)cos(α﹣β)＋sin(α＋β)sin(α﹣β)
＝×(﹣)＋(﹣)×＝﹣1.
又∵α＋β∈(,2π)，α﹣β∈(,π)，∴2β∈(,).
∴2β＝π，则β＝.



10.已知tan α＝4，cos(α＋β)＝﹣，α，β均为锐角，求β的值.
解：因为α∈(,)，tan α＝4，所以sin α＝4cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝，cos α＝.
因为α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝﹣，
所以sin(α＋β)＝，所以cos β＝cos[(α＋β)﹣α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(﹣)×＋×＝.
所以cos β＝.又0<β<，所以β＝.

11.已知cos(x﹣)＝﹣，则cos x＋cos(x﹣)的值是(　　)
A.﹣ B.± C.﹣1 D.±1
答案为：C
解析：cos x＋cos(x﹣)＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝cos(x﹣)＝﹣1.
12.已知sin α﹣sin β＝1﹣，cos α﹣cos β＝，则cos(α﹣β)的值为(　　)
A. B. C. D.1
答案为：B
解析：因为sin α﹣sin β＝1﹣，所以sin2α﹣2sin αsin β＋sin2β＝﹣.①
又因为cos α﹣cos β＝，所以cos2α﹣2cos αcos β＋cos2β＝.②
所以①＋②得2cos(α﹣β)＝，所以cos(α﹣β)＝，故选B.
13.已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，则f(x)的最小正周期为 ，值域为 .
答案为：π　[﹣，]
解析：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝(cos 2x＋sin 2x)＝cos(2x﹣).
∴T＝＝π，f(x)的值域为[﹣，].
14.已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝﹣，则sin B＝ ，cos A＝ .
答案为：　.
解析：在△ABC中，因为cos B＝﹣<0，所以B为钝角，
则sin B＝，所以A＋B∈(,π)，由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝﹣，
所以cos A＝cos [(A＋B)﹣B]＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝﹣×(﹣)＋×＝.

15.化简：＝ .
答案为：
解析：原式＝＝
＝＝＝.
16.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈[0,]，f (5α＋)＝﹣，f (5β﹣)＝，求cos(α﹣β)的值.
解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f (5α＋)＝﹣，所以2cos[(5α＋)＋]＝2cos(α＋)＝﹣，所以sin α＝，
又因为f (5β﹣)＝，所以2cos[((5β﹣)＋]＝2cos β＝，所以cos β＝，
因为α，β∈[0,]，所以cos α＝，sin β＝，
所以cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
学习目标　
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.

知识点一　两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α﹣β)
cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos αcos β﹣sin αsin β
α，β∈R
思考　利用cos(α﹣β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？
答案为：推导过程中，利用了角的代换的方法.α＋β＝α﹣(﹣β).
知识点二　两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α﹣β)
sin(α﹣β)＝sin αcos β﹣cos αsin β
α，β∈R

1.cos 57°cos 3°﹣sin 57°sin 3°＝________.
答案为：
解析：原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.
2.sin ＝________.
答案为：
解析：sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝.
3.若cos α＝﹣，α是第三象限的角，则sin(α﹣ )＝________.
答案为：﹣
解析：∵cos α＝﹣，α是第三象限的角，∴sin α＝﹣＝﹣，
∴sin(α﹣ )＝sin α﹣cos α＝×(﹣)﹣×(﹣)＝﹣.
4.计算sin 15°＋cos 15°＝________.
答案为：
解析：原式＝sin 15°·cos 30°＋cos 15°·sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝.

一、给值(式)求值
例1　(1)的值是(　　)
A. B. C.1 D.
答案为：A
解析：原式＝＝
＝＝＝.
(2)已知<β<α<π，cos(α﹣β)＝，sin(α＋β)＝﹣，求cos 2α的值.
解：∵<β<α<π，
∴﹣π<﹣β<﹣.
∴0<α﹣β<，π<α＋β<π.
∴sin(α﹣β)＝＝，
cos(α＋β)＝﹣＝﹣.
∴cos 2α＝cos[(α﹣β)＋(α＋β)]
＝cos(α﹣β)cos(α＋β)﹣sin(α﹣β)sin(α＋β)＝×(﹣)﹣×(﹣)＝﹣，
即cos 2α＝﹣.


(学生留)反思感悟　给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
跟踪训练1　(1)化简：＝________.
答案为：
解析：＝
＝＝＝sin 30°＝.
(2)已知cos(α＋)＝(α为锐角)，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：D
解析：因为α∈(0,)，cos(α＋)＝>0，所以α＋∈(,).
所以sin(α＋)＝＝.
所以sin α＝sin[(α＋)﹣]＝sin(α＋)cos ﹣cos(α＋)sin ＝×﹣×＝.
二、给值求角
例2　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值.
解：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝.
又因为0<β<，所以0<α＋β<π.
因为sin(α＋β)＝ 所以sin β＝sin[(α＋β)﹣α]＝sin(α＋β)cos α﹣cos(α＋β)sin α＝×﹣(﹣)×＝.
又因为0<β<，所以β＝.
反思感悟　解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是(,)或(﹣,)时，选取求正弦值.
跟踪训练2　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α﹣β的值.
解：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝.
所以sin(α﹣β)＝sin αcos β﹣cos αsin β＝×﹣×＝﹣.
又因为α，β均为锐角，所以﹣<α﹣β<.故α﹣β＝﹣.
三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用
例3　(1)(多选)f(x)＝sin 2x﹣cos 2x，则f(x)在下列区间上递增的是(　　)
A.[﹣,﹣] B.[﹣，] C.[π,] D.[﹣,]
答案为：BC
解析：f(x)＝sin 2x﹣cos 2x＝(sin 2x﹣cos 2x)＝sin(2x﹣).
令﹣＋2kπ≤2x﹣≤＋2kπ，k∈Z，整理得﹣＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的增区间为[﹣＋kπ，＋kπ]，k∈Z.经检验B，C正确.
(2)若方程sin x﹣cos x＝m﹣1有解，则m的取值范围是________.
答案为：[﹣1,3].
解析：sin x﹣cos x＝m﹣1，即2(sin x﹣cos x)＝m﹣1，即2sin(x﹣)＝m﹣1，
∵sin(x﹣)∈[﹣1,1].∴﹣2≤m﹣1≤2，即﹣1≤m≤3.
反思感悟　对形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式.即y＝Asin(ωx＋φ)的形式.
跟踪训练3　(1)已知sin(x＋)＝，则cos x＋cos(﹣x)的值为(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：B
解析：cos x＋cos(﹣x)＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin(x＋)＝.
(2)函数y＝cos x＋cos(x＋)的最小值是________，最大值是________.
答案为：﹣　.
解析：y＝cos x＋cos xcos ﹣sin xsin ＝cos x﹣sin x＝(cos x﹣sin x)
＝cos(x＋)，当cos(x＋)＝﹣1时，ymin＝﹣. 当cos(x＋)＝1时，ymax＝.

1.sin 20°cos 10°﹣cos 160°sin 10°等于(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：D
解析：sin 20°cos 10°﹣cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2.若cos α＝﹣，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：A
3.化简sin(54°﹣x)cos(36°＋x)＋cos(54°﹣x)sin(36°＋x)＝________.
答案为：1
解析：原式＝sin[(54°﹣x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
4.计算：sin 15°﹣cos 15°＝________.
答案为：﹣
解析：sin 15°﹣cos 15°＝2sin(15°﹣60°)＝﹣2sin 45°＝﹣.
5.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案为：
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β﹣sin αsin β＝×﹣×＝﹣.
又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.

1.知识清单：
(1)公式的推导.
(2)给式求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.


1.sin 40°cos 10°﹣sin 130°sin 10°等于(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：D
解析：sin 40°cos 10°﹣sin 130°sin 10°＝cos 50°cos 10°﹣sin 50°sin 10°
＝cos(50°＋10°)＝cos 60°＝，故选D.
2.(多选)cos α﹣sin α化简的结果可以是(　　)
A.cos(﹣α) B.2cos(＋α) C.sin(﹣α) D.2sin(﹣α)
答案为：BD
解析：cos α﹣sin α＝2(cos α﹣sin α)＝2cos(＋α) ＝2sin(﹣α).
3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　)
A. B.﹣ C. D.﹣
答案为：A
解析：因为cos B＝且0 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝.


4.函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
答案为：A
解析：f(x)＝sin(x＋)＋sin(x﹣)＝sin x＋cos x＋sin x﹣cos x＝sin x.
∴f(x)为奇函数.
5.若α是锐角，且满足sin(α﹣)＝，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
答案为：B
解析：因为α是锐角，且sin(α﹣)＝>0，所以α﹣也为锐角，
所以cos(α﹣)＝＝，
cos α＝cos[(α﹣)＋]＝cos(α﹣)cos ﹣sin(α﹣)sin ＝×﹣×＝.
6.已知sin α＝﹣，α∈(π,)，cos β＝﹣，β∈(,π)，则cos(α＋β)＝________，sin(α＋β)＝________.
答案为：，.
解析：由题意得cos α＝﹣，sin β＝，
所以cos(α＋β)＝(﹣)×(﹣)﹣(﹣)×＝，
sin(α＋β)＝(﹣)×(﹣)＋(﹣)×＝.
7.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad﹣bc，则行列式 的值是________.
答案为：﹣1
解析：＝sin 15°﹣cos 15°＝2(sin 15°﹣cos 15°)
＝2sin(15°﹣45°)＝2sin(﹣30°)＝﹣1.

8.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案为：﹣.
解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝﹣.
9.已知sin(α﹣β)cos α﹣cos(β﹣α)sin α＝，β是第三象限角，求sin(β＋ )的值.
解：∵sin(α﹣β)cos α﹣cos(β﹣α)sin α
＝sin(α﹣β)cos α﹣cos(α﹣β)sin α
＝sin(α﹣β﹣α)＝sin(﹣β)＝﹣sin β＝，
∴sin β＝﹣，又β是第三象限角，
∴cos β＝﹣＝﹣，
∴sin(β＋ )＝sin βcos ＋cos βsin ＝(﹣)×＋(﹣)×＝﹣.
10.已知cos α＝，sin(α﹣β)＝，且α，β∈(0,).求：
(1)cos(2α﹣β)的值；
(2)β的值.
解：(1)因为α，β∈(0,)，所以α﹣β∈(﹣,).
又因为sin(α﹣β)＝>0，所以0<α﹣β<.
所以sin α＝＝，cos(α﹣β)＝＝.
所以cos(2α﹣β)＝cos[α＋(α﹣β)]＝cos αcos(α﹣β)﹣sin αsin(α﹣β)
＝×﹣×＝.
(2)cos β＝cos[α﹣(α﹣β)]＝cos αcos(α﹣β)＋sin α·sin(α﹣β)
＝×＋×＝，
因为β∈(0,)，所以β＝.

11.在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
答案为：C
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＝π﹣(B＋C)，
由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B
⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B
⇒sin Bcos C﹣cos Bsin C＝0⇒sin(B﹣C)＝0.
∵0 ∴B＝C.故△ABC为等腰三角形.
12.设α∈(0,)，β∈(0,)，且tan α＝，则(　　)
A.3α﹣β＝ B.3α＋β＝ C.2α﹣β＝ D.2α＋β＝
答案为：C
解析：＝，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α﹣β)＝cos α＝sin(﹣α)，
又α﹣β∈(﹣,)，﹣α∈(0,).∴α﹣β＝﹣α，即2α﹣β＝.
13.若sin(﹣α)＝﹣，sin(＋β)＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________.
答案为：
解析：∵<α<，<β<，∴﹣<﹣α<0，<＋β<.
∴cos(﹣α)＝，cos(＋β)＝﹣，
∴cos(α＋β)＝cos[(＋β)﹣(﹣α)]＝(﹣)×＋×(﹣)＝﹣，
又<α＋β<π，∴α＋β＝.
14.计算：(tan 10°﹣)·＝________.
答案为：﹣2
解析：原式＝(tan 10°﹣tan 60°)·＝·
＝·＝﹣·＝﹣＝﹣2.

15.在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A. B.π C.或π D.或π
答案为：A
解析：由题意知
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.则sin(A＋B)＝.
∴在△ABC中，sin C＝，∴C＝或C＝.
若C＝，则A＋B＝，∴1﹣3cos A＝4sin B>0.
∴cos A<.又<，∴A>.此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠，∴C＝.
16.已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f ＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)＝，θ∈(0,)，求f (﹣θ).
解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋)，且f ()＝，
∴Asin(＋)＝，即Asin ＝，∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin(x＋)，
∵f(θ)﹣f(﹣θ)＝，∴3sin(θ＋)﹣3sin(﹣θ＋)＝，化简得sin θ＝.
∵θ∈(0,)，∴cos θ＝.
∴f (﹣θ)＝3sin[(﹣θ)＋]＝3sin(﹣θ)＝3cos θ＝.






第3课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标　
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.

知识点　两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式
tan(α﹣β) ＝
T(α﹣β)
α，β，α﹣β≠kπ＋(k∈Z)

1.tan 105°的值为________.
答案为：﹣2﹣
2.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α﹣β)＝________.
答案为：
3.若tan α＝2，则tan( α＋)＝________.
答案为：﹣3
4.计算：＝________.
答案为：

一、化简求值
例1　化简求值：
(1)； (2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.

解：(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝﹣.
(2)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝1.
(3)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝﹣tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(学生留)
反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
跟踪训练1　化简求值：
(1)； (2)tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°).
解：(1)＝＝tan(45°﹣15°)＝tan 30°＝.
(2)∵tan(10°＋20°)＝＝，
∴tan 10°＋tan 20°＝(1﹣tan 10°·tan 20°).
∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1﹣tan 10°·tan 20°)
＝tan 10°·tan 20°＋1﹣tan 10°tan 20°
＝1.
二、给值求值(角)
例2　(1)已知tan(α﹣)＝，则tan α＝________.
答案为：
解析：tan(α﹣)＝tan(α﹣)＝.
方法一　＝，解得tan α＝.
方法二　tan α＝tan[(α﹣)＋]＝＝.
(2)已知tan(α﹣β)＝，tan β＝﹣，α，β∈(0，π)，求2α﹣β的值.
解：∵tan β＝﹣，tan(α﹣β)＝，
∴tan α＝tan[(α﹣β)＋β]＝＝，
tan(2α﹣β)＝tan[(α﹣β)＋α]＝＝1.
∵tan α＝>0，tan β＝﹣<0，
∴α∈(0,)，β∈(,π)，∴α﹣β∈(﹣π，0).
又∵tan(α﹣β)＝>0，
∴α﹣β∈(﹣π，﹣).，2α﹣β＝α＋(α﹣β)∈(﹣π，0).
而tan(2α﹣β)＝1，∴2α﹣β＝﹣π.
反思感悟　
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
跟踪训练2　已知tan α＝，tan β＝﹣2，且0<α<<β<π，
求：(1)tan(α﹣β)的值；
(2)角α＋β的值.
解：(1)tan(α﹣β)＝＝＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝＝＝﹣1，
又0<α<，<β<π，∴<α＋β<π，∴α＋β＝π.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3　△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2﹣6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状.
解：依题意
∴tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，
∴A∈(0,)，B∈(0,)，
又tan C＝tan[π﹣(A＋B)]＝﹣tan(A＋B)＝﹣＝﹣＝﹣6<0.
∴C∈(,π)，∴△ABC为钝角三角形.
反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
跟踪训练3　如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.

解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，解得BP＝a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝＝，tan β＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝﹣18，
∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.

1.计算tan 255°等于(　　)
A.﹣2﹣ B.﹣2＋ C.2﹣ D.2＋
答案为：D
解析：tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋.
2.若tan β＝3，tan(α﹣β)＝﹣2，则tan α等于(　　)
A. B.﹣ C.1 D.﹣1
答案为：A
解析：tan α＝tan[(α﹣β)＋β]＝＝＝.
3.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
答案为：
解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.又∵0 4.计算tan 72°﹣tan 42°﹣tan 72°tan 42°＝________.
答案为：
解析：原式＝tan(72°﹣42°)(1＋tan 72°tan 42°)﹣tan 72°tan 42°
＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)﹣tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝.
5.计算＝________.
答案为：1
解析：＝＝tan 45°＝1.

1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.





1.与相等的是(　　)
A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21°
答案为：B
解析：原式＝＝tan(45°﹣21°)＝tan 24°.
2.(多选)已知cos α＝﹣，则tan(﹣α)等于(　　)
A.﹣ B.﹣7 C. D.7
答案为：CD
解析：因为cos α＝﹣，所以sin α＝±＝±，所以tan α＝±.
当tan α＝时，tan(﹣α)＝＝；
当tan α＝﹣时，tan(﹣α)＝＝7.
3.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　)
A.m B.(1﹣m) C.(m﹣1) D.(m＋1)
答案为：B
解析：∵28°＋32°＝60°，
∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1﹣m).
4.已知tan(α＋β)＝，tan(β﹣)＝，那么tan(α＋)等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：C
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)﹣(β﹣)]＝＝.


5.若α＋β＝，则(1﹣tan α)·(1﹣tan β)等于(　　)
A. B.2 C.1＋ D.不确定
答案为：B
解析：∵α＋β＝π，∴tan(α＋β)＝＝﹣1，∴tan α＋tan β＝tan α·tan β﹣1，
∴(1﹣tan α)(1﹣tan β)＝1﹣(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1﹣(tan α·tan β﹣1)＋tan α·tan β＝2.
6.已知tan α＝2，tan β＝﹣3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α﹣β＝________.
答案为：﹣7　﹣45°
解析：＝＝﹣7.因为tan(α﹣β)＝＝﹣1，
又0°<α<90°，90°<β<180°，所以﹣180°<α﹣β<0°，所以α﹣β＝﹣45°.
7.＝________.
答案为：﹣
解析：＝＝＝tan(15°﹣45°)
＝tan(﹣30°)＝﹣.
8.已知tan(α﹣β)＝，tan(β﹣α)＝﹣，则tan＝________.
答案为：.
解析：tan＝tan[(α﹣β)＋(β﹣α)]＝.
9.已知tan(＋α)＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值.
解：(1)∵tan(＋α)＝2，
∴＝2，∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝＝tan(β﹣α)＝＝.
10.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
解：由tan B＋tan C＋tan Btan C＝得
tan(B＋C)＝＝＝，
又0 又由tan A＋tan B＋1＝tan Atan B得
tan(A＋B)＝＝＝﹣.
又0 由①②及A＋B＋C＝π，解得B＝，C＝，A＝.
∴△ABC为等腰三角形.

11.在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
答案为：B
解析：因为C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以tan(A＋B)＝＝，
因为tan A＋tan B＝，所以tan A＋tan B＝(1﹣tan A·tan B)＝，
解得tan A·tan B＝.
12.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为(　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
答案为：C
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
13.已知＝3，tan(α﹣β)＝2，则tan(β﹣2α)＝________.
答案为：
解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2，因为tan(α﹣β)＝2，
所以tan(β﹣α)＝﹣2.
故tan(β﹣2α)＝tan[(β﹣α)﹣α]＝＝＝.
14.已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________.
答案为：
解析：∵tan(α＋β)＝＝，tan(α＋β＋γ)＝＝1，
∵α，β，γ∈(0,)，∴α＋β∈(0，π)，
又tan(α＋β)＝>0，∴α＋β∈(0,)，∴α＋β＋γ∈(0，π)，∴α＋β＋γ＝.

15.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为________.
答案为：3
解析：因为tan(α＋β)＝4，所以＝4，
又tan α＋tan β＝2，所以tan αtan β＝，
所以tan2α＋tan2β＝(tan α＋tan β)2﹣2tan αtan β＝22﹣2×＝3.
16.是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2﹣同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由.
解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，
(2)tan tan β＝2﹣同时成立.
由(1)得＋β＝，
所以tan(＋β)＝＝.
又tan tan β＝2﹣，所以tan ＋tan β＝3﹣，
因此tan ，tan β可以看成方程x2﹣(3﹣)x＋2﹣＝0的两个根，
设方程的两根为x1，x2，解得x1＝1，x2＝2﹣.
若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2﹣，tan β＝1，所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.

























第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标　
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.

知识点　二倍角公式
三角函数
公式
简记
正弦
sin 2α＝2sin αcos α
S2α
余弦
cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
C2α
正切
tan 2α＝
T2α
思考　倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
答案为：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况.

1.已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝ .
答案为：
2.已知cos α＝，则cos 2α＝ .
答案为：﹣
3.计算cos245°﹣sin245°＝ .
答案为：0
4.已知tan α＝，则tan 2α＝ .
答案为：﹣





一、二倍角公式的正用、逆用
例1　求下列各式的值：
(1)sin2π﹣cos2π； (2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解：(1)原式＝﹣(cos2π﹣sin2π)＝﹣cos π＝﹣cos(π﹣)＝cos ＝.
(2)原式＝＝2×＝2×＝2.
(3)原式＝＝
＝＝＝＝.
反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)sin cos ； (2)； (3)cos4﹣sin4.
解：(1)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝.
(2)原式＝·＝×tan 45°＝.
(3)原式＝(cos2﹣sin2)(cos2＋sin2)＝cos2﹣sin2＝cos ＝.



二、给值求值
例2　(1)已知sin(α＋)＝，则sin 2α的值为(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
答案为：C
解析：∵2α＝2(α＋)﹣，
∴sin 2α＝sin[2(α＋)﹣]＝﹣sin[﹣2(α＋)]＝﹣cos 2(α＋)＝﹣.
(2)已知sin(﹣α)＝，那么cos(＋2α)等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：A
解析：∵＋2α＝π﹣2(﹣α)，
∴cos(＋2α)＝cos[π﹣2(﹣α)]＝﹣cos 2(﹣α)＝﹣[1﹣2sin2(﹣α)]＝﹣.
(学生留)
反思感悟　解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos(﹣2x)＝cos[2(﹣x)]＝2cos2(﹣x)﹣1＝1﹣2sin2(﹣x).
②cos 2x＝sin(﹣2x)＝sin[2(﹣x)]＝2sin(﹣x)cos(﹣x).
跟踪训练2　已知sin(﹣x)＝，0 解：原式＝＝＝2sin.
∵sin(﹣x)＝cos(＋x)＝，且0 ∴＋x∈(，)，∴sin(＋x)＝，∴原式＝2×＝.
三、化简与证明
例3　(1)化简：.
解：原式＝
＝
＝＝＝﹣4.
(2)求证：＝tan4A.
证明　因为左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以＝tan4A.
反思感悟　证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
跟踪训练3　(1)化简：＋.
解：原式＝＋
＝|sin 20°﹣cos 20°|＋＝cos 20°﹣sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.
(2)求证：cos2(A＋B)﹣sin2(A﹣B)＝cos 2Acos 2B.
证明　左边＝﹣
＝＝(cos 2Acos 2B﹣sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立.

1.下列各式中，值为的是(　　)
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°﹣sin215° C.2sin215° D.sin215°＋cos215°
答案为：B
解析：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；cos215°﹣sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°＝1﹣cos 30°＝1﹣；sin215°＋cos215°＝1，故选B.
2.若sin＝，则cos α等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：C
解析：因为sin ＝，所以cos α＝1﹣2sin2 ＝1﹣2×()2＝.
3.sin 2α＝﹣，则cos2(α﹣)的值为(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：C
解析：cos2＝＝＝＝＝.
4.设sin 2α＝﹣sin α，α∈(，π)，则tan 2α的值是 .
答案为：
解析：∵sin 2α＝﹣sin α，∴2sin αcos α＝﹣sin α.由α∈(，π)知sin α≠0，
∴cos α＝﹣，∴α＝，∴sin α＝，tan α＝﹣，
∴tan 2α＝＝＝.
5.＝ .
答案为：2
解析：原式＝＝＝2.

1.知识清单：
(1)二倍角公式的推导.
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围.


1.(多选)下列各式中，一定成立的是(　　)
A.sin 8α＝2sin 4α·cos 4α B.1﹣sin2α＝(sin α﹣cos α)2
C.sin2α＝ D.tan 2α＝
答案为：AC
2.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A. B. C. D.1＋
答案为：C
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
3.若α∈(0,)，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：D
解析：∵sin2α＋cos 2α＝，∴sin2α＋cos2α﹣sin2α＝cos2α＝.∴cos α＝±.
又α∈(0,)，∴cos α＝，sin α＝.∴tan α＝.
4.若＝，则cos(﹣2 α)的值为(　　)
A. B.﹣ C.﹣ D.
答案为：A
解析：因为＝，所以＝，所以cos α﹣sin α＝，
平方得1﹣2cos αsin α＝，所以sin 2α＝，所以cos(﹣2 α)＝sin 2α＝.
5.已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为(　　)
A. B. C. D.
答案为：C
解析：tan 2β＝＝，tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈(0,)，所以α＋2β∈(0,)，所以α＋2β＝.
6.化简：＝ .
答案为：﹣1
解析：原式＝＝﹣＝＝﹣1.
7.已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ﹣2cos2θ＝ .
答案为：﹣
解析：由已知，得＝3，解得tan θ＝.
所以sin 2θ﹣2cos2θ＝＝＝﹣.
8.已知cos(α﹣)＝，则sin(α＋)＝ ，sin 2α＝ .
答案为：　﹣
解析：∵α＋＝α﹣＋，∴sin(α＋)＝sin[(α﹣)＋]＝cos(α﹣)＝，2α＝2(α﹣)＋.
∴sin 2α＝sin[2(α﹣)＋]＝cos 2(α﹣)＝2cos2(α﹣)﹣1＝﹣.
9.已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值.
解：原式＝＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，所以sin α＋cos α≠0，cos α＝﹣，
所以原式＝＝﹣.
10.已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝﹣.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α﹣β)的值.
解：(1)因为tan α＝＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
所以cos 2α＝2cos2α﹣1＝﹣.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝﹣，
所以sin(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝﹣2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝﹣.
所以tan(α﹣β)＝tan[2α﹣(α＋β)]＝＝﹣.

11.设sin(＋θ)＝，则sin(2θ﹣)等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：B
解析：因为sin(＋θ)＝，所以sin(2θ﹣)＝sin[(2θ＋)﹣]＝﹣cos(2θ＋)
＝﹣[1﹣2sin2(＋θ)]＝﹣.
12.函数f(x)＝sin(2x＋)﹣3cos x的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣4
答案为：D
解析：∵f(x)＝sin(2x＋)﹣3cos x＝﹣cos 2x﹣3cos x＝﹣2cos2x﹣3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[﹣1,1]，∴g(t)＝﹣2t2﹣3t＋1.
又函数g(t)图象的对称轴t＝﹣∈[﹣1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，g(t)有最小值﹣4.综上，f(x)的最小值为﹣4.
13.已知函数f(x)＝，则(　　)
A.函数f(x)的最大值为，无最小值
B.函数f(x)的最小值为﹣，最大值为0
C.函数f(x)的最大值为，无最小值
D.函数f(x)的最小值为﹣，无最大值
答案为：D
解析：因为f(x)＝＝＝＝﹣tan x,0 所以函数f(x)的最小值为﹣，无最大值，故选D.
14.(2π<α<3π)的化简结果为 .
答案为：2sin 
解析：因为2π<α<3π，所以π<<，<<，
所以＝＝＝＝2sin.

15.已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
答案为：A
解析：由sin α＋cos α＝，平方得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝﹣.
∴(cos α﹣sin α)2＝1﹣2sin αcos α＝.
∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴cos α﹣sin α＝﹣，
∴cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α﹣sin α)＝﹣.
16.在△ABC中，sin Acos A＝sin Bcos B.且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin A＋sin B的取值范围；
(3)若(sin Asin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围.
(1)证明　因为sin Acos A＝sin Bcos B，
所以sin Acos A﹣sin Bcos B＝0，即sin 2A＝sin 2B，
解得2A＝2B或2A＋2B＝π，
化简可得A＝B，或A＋B＝，
但A≠B，所以A＋B＝.
(2)解：由(1)可知A＋B＝，故sin A＋sin B
＝sin A＋sin(﹣A)＝sin A＋cos A＝sin(A＋)，
因为0 所以1 故sin A＋sin B的取值范围是(1，].
(3)解：由题意可知x＝＝，
设sin A＋cos A＝t∈(1，]，则t2＝1＋2sin Acos A，
故sin Acos A＝，代入得x＝＝＝≥＝2，
故实数x的取值范围为[2，＋∞).





5.5.2　简单的三角恒等变换
学习目标　
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用.

知识点一　半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±＝＝.
知识点二　辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).(其中tanθ=)

1.cos ＝.(　×　)
2.对任意α∈R，sin ＝cos α都不成立.(　×　)
3.若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝.(　√　)
4.对任意α∈R都有sin α＋cos α＝2sin(α＋).(　√　)

一、半角公式的应用
例1　已知θ∈(,3π)且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值.
解：∵θ∈(,3π)，且sin θ＝.
∴cos θ＝﹣，∈(，)，
∴sin ＝﹣＝﹣，cos ＝﹣＝﹣，∴tan ＝2.
(学生留)
反思感悟　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.
跟踪训练1　已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　)
A.2﹣ B.2＋ C.﹣2 D.±(﹣2)
答案为：C
解析：方法一　∵sin α＝，cos α＝，∴tan ＝＝﹣2.
方法二　因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan >0，故tan ＝＝﹣2.
二、三角恒等式的证明
例2　求证：＋＝.
证明　方法一　左边＝＋
＝＋＝＝＝右边.
所以原式成立.
方法二　左边＝
＝＝＝＝右边.
所以原式成立.
反思感悟　三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
(4)比较法：设法证明“左边﹣右边＝0”或“左边/右边＝1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
跟踪训练2　求证：
＝.
证明　左边＝
＝＝＝＝＝＝右边.
所以原等式成立.
三、三角恒等变换的综合问题
例3　(1)已知f(x)＝sin x＋2cos x，则f(x)的最大值为________.
答案为：
解析：f(x)＝sin x＋2cos x＝(sin x＋cos x)＝sin(x＋φ)，
其中tan φ＝2，∴f(x)max＝.
(2)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值；
②讨论f(x)在区间[0,]上的单调性.
解：①f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin((2ωx＋))＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
②由①知，f(x)＝2sin((2x＋))＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，即 综上可知，f(x)在区间[0,]上单调递增，在区间(,]上单调递减.
反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin2x﹣sin2(x﹣)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.
解：(1)由已知，有f(x)＝＝sin 2x﹣cos 2x＝sin(2x﹣).
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[﹣,﹣]上单调递减，在区间[﹣,]上单调递增，
且f (﹣)＝﹣，f (﹣)＝﹣，f ()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为﹣.






三角函数的实际应用
典例　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.

(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
解： (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈(0,).
因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈(0,)，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2).
此时AO＝DO＝10(m).
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB＝20sin θ，
AD＝40cos θ，
∴AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin(θ＋)，
又θ∈(0,)，∴θ＋∈(,)，
当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40，
此时AO＝DO＝10，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.

[素养提升]　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.

1.已知cos α＝，α∈(,2π)，则sin等于(　　)
A. B.﹣ C. D.
答案为：A
解析：∵α∈(,2π)，∴∈(,π)，sin＝＝.
2.下列各式与tan α相等的是(　　)
A. B. C. D.
答案为：D
解析：＝＝＝tan α.
3.函数y＝﹣sin x＋cos x在[﹣，]上的值域是________.
答案为：[0，]
解析：y＝﹣sin x＋cos x＝2sin(﹣x).
又∵﹣≤x≤，∴0≤﹣x≤.∴0≤y≤.
4.已知sin ﹣cos ＝﹣，<α<π，则tan ＝________.
答案为：2
解析：∵(sin ﹣cos )2＝，∴1﹣sin α＝，∴sin α＝.
又∵<α<π，∴cos α＝﹣.∴tan ＝＝2.
5.化简：＝________.
答案为：1
解析：原式＝＝＝1.

1.知识清单：
(1)半角公式.
(2)辅助角公式.
(3)三角恒等变换的综合问题.
(4)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.


1.设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　)
A. B. C.﹣ D.﹣
答案为：D
解析：∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin ＝﹣＝﹣.
2.设a＝cos 6°﹣sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A.c 答案为：C
解析：由题意可知，a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，而当0° 3.计算的值为(　　)
A.1 B. C. D.2
答案为：C
解析：原式＝＝＝＝.


4.(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)关于x＝﹣对称 D.f(x)在(0，)上单调递增
答案为：BCD
解析：∵f(x)＝sin 2x＋＝(sin 2x﹣cos 2x)＋＝sin(2x﹣)＋.
∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.
当x＝﹣时，sin(2x﹣)＝﹣1，∴x＝﹣为对称轴.
当x∈(0，)时，2x﹣∈(﹣，)，
∴f(x)在(0，)上单调递增，综上有BCD正确，A不正确.
5.设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为﹣4，那么a的值等于(　　)
A.4 B.﹣6 C.﹣4 D.﹣3
答案为：C
解析：f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1.
当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，∴f(x)min＝2·(﹣)＋a＋1＝﹣4.∴a＝﹣4.
6.已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝，则sin ＝________，tan ＝________.
答案为：　﹣3.
解析：∵sin(α＋270°)＝﹣cos α＝，∴cos α＝﹣，又90°<<135°，
∴sin ＝＝，tan ＝﹣＝﹣3.
7.若3sin x﹣cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(﹣π，π)，则φ＝________.
答案为：﹣
解析：因为3sin x﹣cos x＝2(sin x﹣cos x)＝2sin(x﹣)，
因为φ∈(﹣π，π)，所以φ＝﹣.
8.化简：··＝________.
答案为：tan .
解析：原式＝··＝·
＝·＝＝tan .
9.求证：sin2x＋cos 2x＝sin(2x＋).
证明：左边＝sin2x＋cos 2x
＝sin2x·＋cos 2x＝sin2x·＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)＝右边，原等式得证.
10.已知函数f(x)＝sin(2x﹣)＋2sin2 (x﹣)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解：(1)∵f(x)＝sin(2x﹣)＋2sin2 (x﹣)
＝sin[2 (x﹣)]＋1﹣cos[2 (x﹣)]
＝2sin[2 (x﹣)﹣]＋1
＝2sin(2x﹣)＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin(2x﹣).＝1，
有2x﹣＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}.

11.化简(sin ＋cos )2＋2sin2(﹣)得(　　)
A.2＋sin α B.2＋sin(α﹣) C.2 D.2＋sin(α＋)
答案为：C
解析：原式＝1＋2sin cos ＋1﹣cos[2(﹣)]
＝2＋sin α﹣cos(﹣α)＝2＋sin α﹣sin α＝2.
12.已知函数f(x)＝sin x＋acos x，当x＝时，f(x)取得最大值，则a的值为(　　)
A.﹣ B.﹣1 C.1 D.
答案为：C
解析：∵f(x)＝sin x＋acos x＝sin(x＋φ)，
∴f(x)max＝，依题意f ()＝＋a＝，解得a＝1.
13.已知cos θ＝﹣，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为________.
答案为：
解析：因为θ∈(π，2π)，所以∈(，π)，
所以sin ＝＝，cos ＝﹣＝﹣，所以sin ＋cos ＝.
14.化简：tan 70°cos 10°(tan 20°﹣1)＝________.
答案为：﹣1
解析：原式＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝﹣·
＝﹣1.



15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.

答案为：
解析：由题意5cos θ﹣5sin θ＝1，θ∈(0,).所以cos θ﹣sin θ＝.
又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ﹣sin θ)2＝2.所以cos θ＋sin θ＝.
所以cos 2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ﹣sin θ)＝.
16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积.

解：如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝＝DM＝CN＝sin α，

所以MN＝ON﹣OM＝cos α﹣sin α，即AB＝cos α﹣sin α，
而BC＝2CN＝2sin α，
故S矩形ABCD＝AB·BC＝·2sin α
＝2sin αcos α﹣2sin2α
＝sin 2α﹣(1﹣cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α﹣
＝2sin(2α＋)﹣.
因为0<α<，所以0<2α<，<2α＋<.故当2α＋＝，
即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，
此时S矩形ABCD＝2﹣.