【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第03讲 全等三角形常见模型专题探究

第3讲  全等三角形常见模型专题探究

模型一  K型图

【知识点睛】

        K型图模型总结

K型全等模型变形——三垂定理：

如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS)

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

【类题训练】

1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　）

A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm

2．（2021秋•惠民县月考）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S＝　   　．

3．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．

4．（2020秋•永年区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与BC点重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E．

（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝　   　°，∠DEC＝　   　°；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．

5．（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．

（1）如图1，当AB＝AD时

①请直接写出BF与DF的数量关系：BF　   　DF（填“＞”、“＜”、“＝”）

②求证：CE＝2AF

（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

6．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：

（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝　   　度；

（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．

（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．

模型二  手拉手模型

【知识点睛】

        手拉手模型总结

手拉手模型在第一章只是表面应用，后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究

【类题训练】

1．（2021秋•诸暨市月考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）线段BD与线段CE的关系为　   　，请说明理由．

2．（2021秋•宣化区期末）已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠ABD＝45°；③∠BAE+∠DAC＝180°；④BD⊥CE．其中正确的是 　   　．（只填序号）

3．（2021秋•长沙期末）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．

（1）求证：CD＝BE；

（2）求∠CFB的度数．

4．（2021秋•大连期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数，得到线段AE，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，当点D在线段CB延长线上时，补全图形，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明．

模型三  对称全等模型

【知识点睛】

        对称全等模型总结

常见基本图形：

模型提取：1.对称变换基本特征：必有对称轴

                 2.对称型全等模型常隐含的条件：

具有公共边、公共角、有时全等三角形不止一对、对称轴会平分公共角

3.全等证明常用解决手段：

多想角度间的等量代换方法—角平分线的定义、内角和公式、外角定理等

             4.其特殊应用环境：角平分线的常见辅助线

        角平分线基本性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

（对称类全等经常和角平分线结合，可以考察角平分线的定义，也可以考察角平分线的性质定理）

【类题训练】

1．（2022•梧州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（　　）

A．14 B．8 C．16 D．6

2．（2021秋•泗水县期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A．4cm2 B．5cm2 

C．6cm2 D．7cm2

3．（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD与BE交于O点，则∠EOC的度数为（　　）

A．80° B．85° C．90° D．100°

4．（2022•永嘉县模拟）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点F，AB＝AC．

（1）求证：△ABD≌△ACE．

（2）当∠A＝40°时，求∠BFC的度数．

5．（2022•嘉兴一模）在①OA＝OD，②∠ABC＝∠DCB，③∠ABO＝∠DCO这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．

若 　   　，求证：AB＝DC．

6．（2021秋•台安县月考）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．

7．（2021春•西安期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？

（2）求∠FAE的度数；

（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．