专题03 勾股定理突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

这是一份专题03 勾股定理突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题03 勾股定理突破核心考点 【聚焦考点+题型导航】 考点一 用勾股定理解三角形 考点二 勾股定理的证明方法 考点三 勾股数 考点四 勾股定理与网格问题 考点五 勾股定理与折叠问题 考点六 用勾股定理求几何体上最短路径问题 考点七 用勾股定理构造图形解决问题 考点八 勾股定理逆定理证明是直角三角形 【知识梳理+解题方法】 1 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意：  = 1 \* GB3 ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．  = 2 \* GB3 ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高  = 1 \* GB3 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．  = 2 \* GB3 ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 3勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 4 如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 5 勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意：  = 1 \* GB3 ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．  = 2 \* GB3 ②当满足时，是斜边，是直角．  = 3 \* GB3 ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 【专题过关+能力提升】 考点一 用勾股定理解三角形 例题：（2022·山西实验中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠B＝90°， （1）若AB＝3，BC＝4，则AC＝________； （2）若AC＝13，AB＝5，则BC＝________． 【答案】     5     12 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 由勾股定理得：， 故答案为：5； （2）在△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，AB＝5， 由勾股定理得：， 故答案为：12； 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，分清直角边和斜边是解答的关键． 【变式训练】 1．（2022·广东·东莞市南城阳光实验中学八年级期中）直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 【答案】或 【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：， 当3是斜边时，第三边长为：， 所以，第三边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论． 2．（2022·江西赣州·八年级期中）在△ ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长． 【答案】 【分析】在△ ABC中，根据勾股定理直接求得BC即可 【详解】解：在△ ABC中 ∵∠C＝90° ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，易错点为学生不注意区分直角边与斜边，容易把6，8看成直角边长，而误把10作为斜边长，解题时要注意数形结合思想的运用． 3．（2022·安徽·合肥市五十中学东校八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； (2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； 【答案】(1) (2)或6 【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案； （2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可． （1） 解：如图1，连接BP， ∵在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴， ∴PC＝8﹣PA， 在Rt△BCP中，由勾股定理得，， 当PA＝PB时， ， 解得， 则； （2） 解：如图2，作PG⊥AB于G， ∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB， ∴CP＝GP， 又∵AP=AP， ∴△ACP≌△AGP（HL）， ∴AG＝AC＝8cm， ∴BG＝10﹣8＝2cm， 设CP＝xcm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝xcm， ∴Rt△BGP中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴AC+CP＝cm， ∴， 当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上， 此时，t＝（10+8+6）÷4＝6， 综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 4．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图1，在中，，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且． (1)如果，连接CD． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，如果，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，．由，可证明．即可利用“ASA”证明，即得出；②由全等三角形的性质可知，结合题意可求出．在Rt中，再由勾股定理，得，即得出； （2）延长FD至点M，使，连接AM，EM．易证，得出，从而判断，即证明．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知．最后在中，由勾股定理，得，即得出． （1） ①证明：， 是等腰直角三角形． 点D是AB的中点， ∴． 又， ． ， ． 在与中． ． ； ②由①可知， ． ， ∴，即． 在Rt中，由勾股定理，得， ； （2） ．证明如下： 如图，延长FD至点M，使，连接AM，EM． 点D为AB中点， ． ， ， ， ． ． 又∵， 是FM的垂直平分线， ． 在中，由勾股定理，得， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点二 勾股定理的证明方法 例题：（2022·山西实验中学八年级阶段练习）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等面积法列出等式，进而化简等式，结合勾股定理即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，故选项A能证明勾股定理，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，故选项B能证明勾股定理，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故选项C能证明勾股定理，不符合题意； D．是证明完全平方公式，不能证明勾股定理，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题是证明勾股定理，熟记基本图形的面积公式和完全平方公式，利用等面积法正确得出等量关系是解答的关键． 【变式训练】 1．（2022·全国·八年级专题练习）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2． 【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理． 【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c． 求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 【答案】【尝试探究】见解析；【定理应用】见解析 【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+（a2+b2）＝ab+c2，即可证得a2+b2=c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2）， 利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2， ∴ab+（a2+b2）＝ab+c2， ∴a2+b2＝c2； 【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2， ∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立． 2．（2022·广西·南宁三中八年级期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）． 【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断、、的数量关系并说明理由． 【答案】【实践操作】见解析；【探索发现】，理由见解析 【分析】在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得．在图2中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得．在图3中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：． 由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 整理得：， 在图2中，连接MN， 则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和， 即， 整理得：； 在图3中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 整理得：； 【探索发现】，理由如下： 设是等边三角形ABC的面积， 如图4，过点A作AD⊥BC于D， 则∠BAD＝30°，∠ADB＝90°， ∴BD＝AB， ∴ADAB， ∴c•， 同理：b•，a•， ∴+（+）， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理的证明、三角形面积公式、正方形面积公式、梯形面积公式、等边三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理的证明和应用是解题的关键． 3．（2021·山西·晋中新大陆双语学校八年级阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理； S大正方形=_____，还可以表示为_____， 所以可得到_______=______， 化简后最终得到____． (2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． (3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②；；；；； (2) (3)7.5 【分析】（1）①根据勾股定理的内容即可得； ②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得； （2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得； （3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得． （1） 解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； 故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ②图2：大正方形的面积为， 还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 所以可得到， 化简后最终得到：； 故答案为：；；；；； （2） 解：设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为， 由圆的面积公式得：， ， ， 由勾股定理得：， 则， 即， 故答案为：； （3） 解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为， 由（2）可知，， 则阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 考点三 勾股数 例题：（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）以下数组中，其中是勾股数的是（    ） A． ， ， B．9 ，40 ， 41 C．1 ， ，1 D．2 ，3 ，4 【答案】B 【分析】勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．根据直角三角形中斜边的长度大于另外两条直角边中任意一条边的长度，且斜边的平方等于两条直角边平方的和，即可求出答案． 【详解】解：A选项， ， 不是正整数，不符合题意； B选项， ， ， ，92+402=412符合题意； C选项，不是正整数 ， 不符合题意； D选项， ， ， ，22+32≠42不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据两条较小边的平方和等于较大边的平方，则这三条边能组成直角三角形，理解和掌握直角三角形的勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·江西·赣南师范大学附属中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、不满足三个数都是正整数，故本选项不符合题意； B、不满足三个数都是正整数，故本选项不符合题意； C、1+1=2不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、三个数都是正整数且，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 2．（2022·陕西·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）在下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．4，5，6 D．1，，2 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义：有、、三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故该选项不符合题意； B、，是勾股数，故该选项符合题意； C、，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、因为不是整数，所以不是勾股数，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 3．（2022·广西柳州·八年级期中）下列四组数中不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．8，15，17 【答案】C 【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】A、32+42=52，是勾股数的一组； B、52+122=132，是勾股数的一组； C、12+22≠32，不是勾股数的一组； D、82+152=172，是勾股数的一组． 故选：C． 【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 考点四 勾股定理与网格问题 例题：（2022·安徽·巢湖市第七中学八年级期中）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h， ∵， AB=， ∴， ∴h=， 故点C到AB的距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：由题可知，，，， ， 又平分， ，且,即三角形ABD是直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．（2022·新疆克孜勒苏·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1，则三角形的面积为______． 【答案】5 【分析】如图，，列式计算即可． 【详解】如图，= ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了网格中三角形的面积，利用割补法，掌握三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积是解题的关键． 3．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°． 【答案】90 【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果． 【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=， 且满足， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠BCA+∠ABC=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 4．（2022·天津北辰·二模）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中． （1）线段的长等于______； （2）在给定的网格中画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点（画出一个满足题意的三角形并保留作图痕迹即可）．______ 【答案】          见解析 【分析】利用网格根据勾股定理即可求出BC的长；确定对称轴再根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）． 【详解】解： 如图，△DEF即为所求作（答案不唯一） 故答案为：，见图片 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点五 勾股定理与折叠问题 例题：（2022··八年级期末）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______． 【答案】3 【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，然后根据翻折的性质和勾股定理，即可求得CD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8， ∵将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处， ∴AE=AB=10，BD=ED， ∴CE=AE-AC=10-6=4， 设CD=x，则BD=8-x， ∵∠DCE=90°， ∴CD2+CE2=ED2， 即， 解得x=3， ∴CD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：，， 在中，，， 由勾股定理可得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键． 2．（2021·陕西·西安市曲江第一中学八年级期中）如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得，CE=EF=，ED=AE=，从而求得，在中，由勾股定理即可求得的长，进而得出BF的长． 【详解】解：根据折叠的性质可知∶ CD=AC=3，，∠ACE=∠DCE，，CE⊥AB， ∴，∠DCE+=∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC==135°， ∴， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CE， ∴AC•BC=AB•CE， ∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE= ， ∴EF=，， ∴DF=EF-ED=， ∴． ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得是本题的关键． 3．（2021·河南周口·八年级期中）在△ABC中，，，，点是边上一动点，过点作，交AC于点E，将△AED沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当△FEC是直角三角形时，求出的长． 【答案】2或4##4或2 【分析】若△FEC是直角三角形，有两种情况：①当∠EFC=90°时，∠FCE=30°；②当∠FCE=90°时，点F，B重合． 【详解】解： ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 若△FEC是直角三角形，有两种情况： ①当时，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ②当时，点F，B重合． ∴． ∴当△FEC是直角三角形时，的长为2或4． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质；分类讨论是解题的关键． 4．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分为直角三角形时，CE的长为_____． 【答案】2或 【分析】根据题意可得要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：①当时，②当，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由翻折可知：要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图： ①当时， 由翻折可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴； ②当， 由翻折可知：，， ∴点E在∠BAC的平分线上， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 综上所述：CE的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是分情况讨论并准确画图． 考点六 用勾股定理求几何体上最短路径问题 例题：（2022·河南·金明中小学九年级阶段练习）如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，，两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 __．取 【答案】75cm 【分析】根据题意画出图形，进而得出最短路径即可． 【详解】解：如图1所示：，， 故． 答：螳螂绕行的最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·江西·赣南师范大学附属中学八年级期中）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）． 【答案】13 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， ∴=5cm，=3cm， ∴BD=12cm， =13（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 2．（2022·吉林·八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S． (1)画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； (2)求出蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)10cm 【分析】（1）根据画出圆柱体半个侧面的展开图，连接即可求解； （2）在中，由勾股定理即可求解． （1） 如图，蚂蚁爬行的圆柱的半个侧面的展开图为矩形ABCD，爬行的最短路程即线段AS的长． （2） 由题意，得（cm），（cm），， 在中，由勾股定理，得（cm）． 答：蚂蚁爬行的最短路程为10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，画圆柱体的侧面展开图，掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2022·全国·八年级）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少? 【答案】 【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解． 4．（2022·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学八年级阶段练习） (1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______； (2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】(1) (2)昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）将长方体展开，连接，结合题意，利用勾股定理求解即可； （2）由题意得最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，根据勾股定理，列出方程求解即可． （1） 解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的长、宽、高分别为，，， ∴这根细线最短的长为：m； 故答案为： （2） 解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟， 如图，在中， ∵长方体的棱长分别为，， ∴cm，cm，cm，cm， ∴， 解得：． 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解本题的关键． 考点七 用勾股定理构造图形解决问题 例题：（2022·安徽六安·八年级期末）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 【答案】当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°， 由题意可知，CD＝BE＝1.5m，AB＝4.5m， 在Rt△ACE中，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3，AC＝5， 由勾股定理，得， ∴CE＝4（m）． ∴当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m． (1)求BC的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1)40m (2)这辆小汽车超速了． 【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． (1) 解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m； 据勾股定理可得： BC= = =40（m） 故答案为：40m (2) 解：小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人． (1)_________米，_________米； (2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）； ②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，） 【答案】(1)米，米 (2)①消防车在处离楼房的距离为；②消防车两次救援移动的距离约为 【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为的长． （2）①根据题意，可得的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在处离楼房的距离．②根据题意，可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据，即可算出消防车两次救援移动的距离． （1）根据题意，可得消防车的高为的长，∴m；根据题中图形，可得云梯的长为的长，∴m．故答案为：3；10． （2）①由题意得，，，∴，在中，，即消防车在处离楼房的距离为；②由题意得，，，∴在中，，∴．即消防车两次救援移动的距离约为． 【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 3．（2021·广东佛山·八年级阶段练习）如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成． (1)如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？ (2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？ (3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？ 【答案】(1)这辆车能通过该隧道； (2)这辆车能通过该隧道； (3)这辆车不能通过该隧道． 【分析】（1）根据题意，在图1写出合适的字母，然后利用勾股定理，可以得到的长，然后与2.8比较大小即可； （2）根据题意，在图2写出合适的字母，然后利用勾股定理，可以得到的长，然后与2.8比较大小即可； （3）根据题意，在图3写出合适的字母，然后利用勾股定理，可以得到的长，然后与2.8比较大小即可． (1) 解：如图1所示， 设于点，， ， ， ， 这辆车能通过该隧道； (2) 设于点，，连接，如图2所示， ， ， ， 这辆车能通过该隧道； (3) 设于点，，连接，如图3所示， ， ， ， 这辆车不能通过该隧道． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，作出合适辅助线，利用数形结合的思想解答． 考点八 勾股定理逆定理证明是直角三角形 例题：（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【答案】24m2 【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答． 【详解】 解： 如图，连接AC， ∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝5m． ∴SRt△ADC＝＝6m2． 在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m， ∴， ∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°， ∴SRt△CAB＝＝30m2， ∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·湖北黄冈·八年级期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm． (1)判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求△ABC的周长． 【答案】(1)△BDC为直角三角形，理由见解析； (2)△ABC的周长为=cm． 【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形； （2）由此可求出AC的长，周长即可求出． （1） 解：△BDC为直角三角形，理由如下， ∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm， 而102=62+82， ∴BC2=BD2+CD2． ∴△BDC为直角三角形； （2） 解：设AB=xcm， ∵等腰△ABC， ∴AB=AC=x，则AD=x-6， ∵AB2=AD2+BD2， 即x2=（x-6）2+82， ∴x=， ∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答． 2．（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设千米，则千米，在中根据勾股定理解答即可． （1） 是直角三角形， 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形且； （2） 设千米，则千米， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ． 解得， 答：原来的路线的长为千米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理． 3．（2021·福建三明·八年级期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求的周长； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由. 【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长； （2）利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得 ，， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=， （2）△ABC不是直角三角形，理由是： ∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64， 即AB2+BC2≠AC2， ∴△ABC不是直角三角形. 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．