【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第20讲 解直角三角形单元总复习

第20讲  《解直角三角形》单元总复习

考点一 特殊角的三角函数值

【知识点睛】

        基本定义：如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，

则

        范围：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞1

        各三角函数间的转化公式：、、

、

        特殊角的三角函数值：

【类题训练】

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（　　）

A． B．3 C． D．

2．已知sina＞，那么锐角a的取值范围是（　　）

A．60°＜a＜90° B．0°＜a＜60° C．45°＜a＜90° D．0°＜a＜30°

3．三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　）

A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° 

C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70°

4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（　　）

A．a•tanα B．a•cotα C． D．

5．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（　　）

A． B． C． D．

6．tan60°•cos30°﹣sin245°＝　  　．

7．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

8.如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值（　　）

A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 

C．没有变化 D．不能确定

9．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

考点二 解直角三角形

【知识点睛】

        解直角三角形是指求出一个直角三角形三条边长、三个内角的度数共六个元素的过程

        解直角三角形口诀——“直乘斜除，对正邻余”

释义：一个直角三角形中，要求直角边，一般用乘法，要求斜边一般用除法；

         求已知角的对边一般用正弦或正切，求已知角的斜边一般用余弦；

        锐角是可以存在与所有三角中的，如果需要用的锐角不在直角三角形中，通常通过做垂线，构造直角三角形，之后再利用解直角三角形的方法继续求解。

【类题训练】

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）

A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝2，则AB等于（　　）

A． B．4 C．4 D．6

3．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为（　　）

A． B．1 C． D．

4.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为 　  　，△ABC的面积为 　   　．

6．在△ABC中，AB＝AC＝13，△ABC的面积为78，则tanB的值为　      　．

7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（　　）

A．a•sinα+b•sinα B．a•cosα+b•cosα 

C．a•sinα+b•cosα D．a•cosα+b•sinα

考点三 利用直角三角形解决实际问题

【知识点睛】

        在实际问题中用三角函数求解未知量一般步骤：

1. 审题——审图形、审已知、审未知
2. 找出有关的直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题（当所需用直角三角形不存在时，常做垂直构造）；
3. 根据直角三角形边角之间的关系解有关的直角三角形

【类题训练】

1．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（　　）

A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°

2．工人师傅将截面为矩形的木条锯成矩形ABCD和矩形AEFG两部分如图所示，C，B，G在一条直线上，CB＝a，BG＝b，∠AGB＝β，则点E到CG的距离等于（　　）

A．acosβ+bsinβ B．asinβ+btanβ 

C．acosβ+btanβ D．asinβ+btanβ

3．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A．60+8 B．60+8 C．64 D．68

4．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需 　 　小时到达事故船C处，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

5．如图1是一款“雷达式”懒人椅．当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接．金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合．

（1）如图2，已知∠BOD＝120°，∠OBF＝140°，则点A，C之间的距离为 　   　cm．

（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，则CF与CD的比为 　     　．

6．若sin（x﹣10°）＝，则锐角x＝　 　°．

7．铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（　　）

A．米 B．米 

C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米

8．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为α，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（　　）

A．hsinα B． C．hcosα D．

9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　）

（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm

10．如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（　　）米．

A． B． 

C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα

11．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交AD的延长线于点M，如tanM＝，则的值为（　　）

A．2 B． C． D．1.4

12.△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．

13．临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），小明测得桥面宽度AB＝32米，∠OAB＝73°，求点O到桥面AB的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin73°≈0.96，cos73°≈0.29，tan73°≈3.27）

14．（2021秋•雁塔区校级期中）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．