【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-高分必刷解答题（二）20题

高分必刷解答题（二）20题

1．已知关于x的方程.

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

2．“一方有难，八方支援”2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，南海区某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉．

（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；

（2）求恰好选中医生丙和护士B的概率．

3．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．

（1）求该商品平均每月的价格增长率；

（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．

4．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值；

（3）以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．

5．如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+2的图象交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD的正切值；

（3）在（2）的条件下，点E在直线x＝1上，如果∠CBE＝45°，求点E的坐标．

6．某个盒中装有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：

（1）根据表中数据估计，从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________（精确到0.01）；

（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜色不同的概率．

7．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出当时，的取值范围；

（3）若点在轴上，求的最小值．

8．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；

（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；

（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，BC与⊙O的交点为点D，过点D作DE⊥AC垂足为点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若AB＝15，BD＝12，求DE的长．

11．已知是边长为4的等边三角形，边在射线上，且，点是射线上的动点，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转60°得到，连接．

（1）如图1，求证：是等边三角形．

（2）设，

①如图2，当时，的周长存在最小值，请求出此最小值；

②如图1，若，直接写出以、、为顶点的三角形是直角三角形时的值．

12．如图，是的直径，弦、的延长交于点，于，连接、．

（1）求证：．

（2）连，若，求的半径．

13．如图，四边形内接于，，，垂足为．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

14．如图，点是直径的延长线上一点，点在上，连接、，若，，．

（1）求证是的切线；

（2）求点到的距离．

（3）求阴影部分的面积．

15．如图，为的直径，是上的点，是外一点，于点平分．

求证：是的切线；

若，求的半径．

16．如图，已知A､B､C､D､E是上五点，的直径，A为的中点，延长到点P，使，连接．

（1）求证：直线是的切线．

（2）若，求线段的长．

17．如图，是的直径，弦垂直半径，为垂足，，连接，，过点作，交的延长线于点．

（1）求的半径；

（2）求证：是的切线；

（3）若弦与直径相交于点，当时，求图中阴影部分的面积．

18．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

（1）求出直线的表达式．

（2）直线写出的时，的取值范围是_________．

（3）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．

19．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速（千米/小时）与时间（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．

（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；

（2）当时，求出风速（千米/小时）与时间（小时）的函数关系式；

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．

20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）．

（1）求△DOC的面积；

（2）将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图像只有1个交点？

（3）双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1．

解析：（1）设方程的另一根为x1，

∵该方程的一个根为1，∴.解得.

∴a的值为，该方程的另一根为.

（2）∵，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.

2．

解：（1）画树状图如图：

所有可能出现的结果由6个；

（2）由树状图得：所有可能出现的结果由6个，恰好选中医生丙和护士B的结果有1个，

∴恰好选中医生丙和护士B的概率为．

3．（1）20%;（2）60元

【详解】

解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，

依题意，得：50（1+m）2＝72，

解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该商品平均每月的价格增长率为20%．

（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，

整理，得：x2﹣300x+14400＝0，

解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）．

答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．

4．

解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）图象经过A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的表达式是y＝，

∵反比例函数y＝的图象过点B（m，1），

∴m＝3，

∴B（3，1）．

∵一次函数y＝ax+b图象相交于A（1，3），B（3，1）．

∴ ，

解得 ，

∴一次函数的表达式是y＝﹣x+4；

（2）由图象知，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的值大于一次函数的值；

（3）如图所示△OA′B′和△OA″B″即为所求．

5．

解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣5ax+2的图象交x轴于点A（1，0），

∴0＝a﹣5a+2，

∴a＝，

∴二次函数的解析式y＝x2﹣x+2；

（2）∵二次函数y＝x2﹣x+2的图象交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C．

∴点C（0，2），点B（4，0），

∵点D（1，3），

∴CD＝＝，DB＝＝3，BC＝＝2，

∵CD2+DB2＝20，BC2＝20，

∴CD2+DB2＝BC2，

∴∠CDB＝90°，

∴tan∠CBD＝＝＝；

（3）如图，当点E在x轴上方时，在AB上截取AH=AF，连接HF

∵点C（0，2），点B（4，0），
∴直线BC解析式为y=-x+2，
当x=1时，y=，
∴点H（1，），
∴AH=，
∴AH=AF=，HF=，
∴∠AFH=45°，BF=，
∴∠BFH=135°，
∵点A（1，0），点B（4，0），点D（1，3），
∴AD=3=AB，DB=3，
∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE，
∴∠ABC=∠EBD，∠BDE=∠HFB=135°，
∴△BFH∽△BDE，
∴，
∴，
∴DE=6，
∴点E（1，9）；
当点E'在x轴下方时，
∵∠E'BC=45°=∠EBC，
∴∠EBE'=90°，
∴∠BEE'+∠EE'B=90°=∠BEE'+∠ABE=∠BE'E+∠ABE'，
∴∠BEE'=∠ABE'，∠EBA=∠AE'B，
∴△ABE∽△AE'B，
∴，
∴9=9×AE'，
∴AE'=1，
∴点E'（1，-1），
综上所述：点E（1，9）或（1，-1）．

6．

解：（1）根据表中重复试验的数据，黑棋的频率稳定在0.25左右，故从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率0.25．

（2）画树状图如下：

由树状图可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋子颜色不同的结果有6种．

所以这两枚棋子颜色不同的概率为．

7．（1）；；（2）；（3）

解：（1）将点，两点坐标分别代入反比例函数可得

，．

∴点的坐标为，

将点，分别代入一次函数，可得

解得

∴一次函数的解析式为，

反比例函数的解析式为．

（2）当时，的取值范围是．

（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长．

过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点．

在中，，

∴的最小值为．

8．

【详解】

（1）证明：连接OA、OD，如图，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，

在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），

即⊙O的半径为6；

（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，

∴△BOD为等腰直角三角形，

∴OB=BD=，

∴OA=，

∵∠AOB=2∠ADB=120°，

∴∠AOE=60°，

在Rt△OAC中，AC=OA=，

∴阴影部分的面积=••﹣=．

9．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣6；

（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，

、

∵B（6，0），C（0，﹣6），

∴直线BC解析式为y＝x﹣6，

设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），

∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，

∵△BCD面积＝×DE×OB＝（﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27，

∴当x＝3时，△BCD面积的最大值为27；

（3）存在，理由如下：

当点M在原点右侧时，过点M作MN⊥BC，连接CM，如图所示：

∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0），

∴OB＝OC＝6，OA＝1，

∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6，

∵∠ACO+∠OCM＝45°，

∴∠ACO＝∠BCM，

∵MN⊥BC，

∴∠MNC＝90°＝∠AOC，

∴△AOC∽△MNC，

∴，

∵MN⊥BC，∠OBC＝45°，

∴∠NMB＝∠MBN＝45°，

∴MN＝BN＝BM＝（6﹣OM）＝，

∴CN＝，

∴，

∴OM＝，

∴点M（，0）；

当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，如图所示，

∴点M'（﹣，0）；

综上所述：点M坐标为（，0）或（﹣，0）．

10

证明：（1）连接OD，

∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠CBA，
∵在△OBD中，OB、OD均为⊙O的半径，
∴∠BDO=∠CBA，
∴∠C=∠BDO，

∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．

（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥CD；

∴∠CDA=90°

∵AB=AC=15，

∴CD=BD=12，

∵DE⊥AC，

∴∠CED =90°，

∴∠CED=∠CDA，

∵∠C=∠C，
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE，

∴，

∴，

∴，

∴

11．

解：（1）∵证明：将绕点C逆时针方向旋转60°得到，

∴，，

∴是等边三角形：

（2）①∵是等边三角形，

∴的周长，

当时，由垂线段最短可知，当时，的周长最小，

此时，，∴的最小周长；

②存在，当0＜t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED=90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠CEB=30°，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴DA=CA=4，
∴OD=OA-DA=6-4=2，
∴t=2．

12．

（1）证明：如图，连接AC．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°．

∵AB⊥DE，

∴∠BHF＝90°．

∴∠F＋∠ABC＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°．

∴∠F＝∠BAC．

∵∠BEC＝∠BAC，

∴∠BEC＝∠F．

（2）解：如图，连接AE，

∵OE∥BC，

∴∠OEB＝∠EBC．

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB．

∴∠OBE＝∠EBC．

∴AE＝EC＝13．

∵AB⊥DE，

∴DH＝EH＝12．

在Rt△AEH中，AH＝．

在Rt△OEH中，设OA＝OE＝r，则OH＝r−5．

 由勾股定理得：OE2＝OH2＋EH2．

∴r2＝122＋（r−5）2．

解得，

∴的半径为．

13．

（1）解：，，

，

四边形是的内接四边形，

，

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

；

14

（1）如图，连接，则，

，，

，

，

，

，

故是的切线；

（2）如图，作，

由（1）可知，中，，，

,

又中，，

；

（3）由（1）可知，中，，，

，

由（2）知，，

，

15．

（1）证明： ∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠DAE．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．　

∴∠ODA＝∠DAE．

∴OD∥AE．

∵AC⊥PD，

∴∠AEP＝90°．

∴∠ODP＝∠AEP＝90°．

∴OD⊥PE．

∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线．

（2）解：如图，连接BD，

∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠DAE＝30°．

∵AC⊥PE，DE＝，

∴AD＝2DE＝．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴AB＝2BD．

设BD＝x，则AB＝2x，

∵AD2＋BD2＝AB2，

∴x2＋（）2＝（2x）2，解得x＝

即BD＝，AB＝，

∴AO＝，

∴⊙O的半径为．

16．

解：（1）证明：连接，如图，

∵为直径，

∴，

∵A为的中点，

∴，

∵，而，

∴为等腰直角三角形，

∴，∴，

∴直线是的切线．

（2）解：连接，如图，

∵，

∴

∵为直径，

∴

在中，，

；

17．

解：（1）连结，如图:

∵垂直，，

∴，，

∴，

∴，，

由勾股定理得；即圆的半径为．

（2）∵，

∴，，

∴，即，

∴是的切线；

（3）再连结，

当时，，

∴，

．

18．

（1）将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，

故反比例函数表达式为：，

将点的坐标代入上式并解答：，故点，

将点，的坐标代入一次函数表达式得：

，解得：，

故直线的表达式为：．

（2）当时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

∵，，

∴当时，取值范围是或．

（3）连接，，

设直线与轴的交点为，

当时，，

故点，

分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，

则

，

∴，

故点的坐标为（3，0）或（-5，0）．

19．

解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为2010=10小时；

故答案为：32，10．

（2）设，将代入，得：，

解得：．

所以当时，风速（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系为：．

（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，

∴4.5时风速为10千米/时．

将代入，

得，解得，

（小时）

故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．

20．

（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，

把（4，m）代入y= ，得m=1；

∴反比例函数的解析式为y= ，m=1；

把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，

解得，

∴一次函数的解析式为

当x=0时，y=5；当y=0时，x=5，即A点坐标为（5，0），B点坐标为（0，5）

∴

∴；

（2）设平移后的解析式为

∵直线与反比例函数图像只有1个交点

∴平移后的直线和反比例函数相切，即联立形成的方程判别式为0

∴联立平移后的直线和反比例函数解析式，得，

∴整理得：

∴，整理得

解得或9

∴直线AB向下平移1或9个单位，直线与反比例函数图像只有1个交点

（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：

∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），

∴OD=OC=，

∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，

∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．

∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），

可得∠COB=∠DOA，

又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，

∴∠BOP=∠POA，

∴P点横纵坐标坐标相等，

即xy=4，x2=4，∴x=±2，

∵x＞0，

∴x=2，y=2，

故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．

利用点CD关于直线y=x对称，得到另一点坐标为

综上所述，P点坐标为或．